高一數(shù)學(xué)教材習(xí)題變式訓(xùn)練(數(shù)列)

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載數(shù)學(xué)教材習(xí)題變式訓(xùn)練（數(shù)列）一、有關(guān)通項(xiàng)問(wèn)題1、利用 anS1(n1)SnSn 1(n求通項(xiàng) 2)（北師大版第20 頁(yè)習(xí)題5）數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Snn21 （ 1）試寫(xiě)出數(shù)列的前5 項(xiàng)；（ 2）數(shù)列 an 是等差數(shù)列嗎？（3）你能寫(xiě)出數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式嗎？變式題1、設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn=2n 2，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；解：（1）：當(dāng) n1時(shí), a1S12;當(dāng)n時(shí)SnSn 12n22(n 1)24n2,2, an故 an 的通項(xiàng)公式為an4n2,即 an 是 a12,公差 d4 的等差數(shù)列 .變式題2、數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為n，且 a1

2、=1， an 11a2， a3，a4 的SSn ， n=1， 2，3，求3值及數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式解：（ I）由 a1=1， an 11Sn ， n=1 ，2， 3，得3a1 S1 a1 ， a1 S1 ( a a)4 ， a1 S1 ( a aa)16 ，2313133323129433312327由 an1an1 (Sn Sn 1 )1 an （ n 2），得 an14 an （ n 2），333又 a2= 1 ，所以 an= 1 ( 4 )n 2 (n 2),3331n 1 數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an14n 2n 2()33變式題 3、已知數(shù)列 an的首項(xiàng) a15, 前 n 項(xiàng)和為

3、 Sn ，且 Sn 1Sn n 5(n N * ) ，證明數(shù)列an 1 是等比數(shù)列解： 由已知 Sn 1Sn n5(n N * ) 可得 n2, Sn 2Sn 1 n4 兩式相減得Sn 1 Sn2 SnSn 11 即 an 12an1 從而 an 1 1 2 an1 當(dāng) n 1 時(shí) S2 2S1 1 5所以 a2a1 2a16 又 a15所以 a2 11 從而 a2 1 2 a1 1優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載故總有 an 1 12( an 1) ， nN * 又 a15, a11 0 從而 an 112 即數(shù)列 an1 是等比數(shù)an1列；2、解方程求通項(xiàng)： （北師大版第17 頁(yè)習(xí)題3）在等差 數(shù)列

4、an 中，（1）已知 S848, S12168,求 a1和 d ；（ 2）已知 a6 10,S55, 求 a8和 S8 ；(3) 已知 a3 a1540,求 S17 .變式題 1、 an 是首項(xiàng) a1 1 ，公差 d 3的等差數(shù)列，如果 an2005 ，則序號(hào) n 等于（A ） 667（B ） 668（ C） 669（D ） 670分析： 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，運(yùn)用公式直接求出.解： an a1 (n1)d 1 3(n1) 2005 ，解得 n 669 ，選 C點(diǎn)評(píng)：等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n 項(xiàng)和的公式是數(shù)列中的基礎(chǔ)知識(shí)，必須牢固掌握.而這些公式也可視作方程，利用方程思想解決問(wèn)題.3

5、、待定系數(shù)求通項(xiàng)：寫(xiě)出下列數(shù)列an的前 5 項(xiàng)：（1） a1 1 , an4an 11(n1).2N*).變式題1、已知數(shù)列 an滿(mǎn)足 a1 1,an 1 2an1(n求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；解：an 12an1(nN* ),an 11 2( an1),an1 是以 a11 2 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列an1 2n .即 an2n1(nN*).4、由前幾項(xiàng)猜想通項(xiàng)：（北師大版第8 頁(yè)習(xí)題 1）根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，在空格及括號(hào)中分別填上適當(dāng)?shù)膱D形和數(shù)，寫(xiě)出點(diǎn)數(shù)的通項(xiàng)公式.（1）（4）（ 7）（）（）變式題1、如下圖，第（ 1）個(gè)多邊形是由正三角形“擴(kuò)展“而來(lái)，第（2）個(gè)多邊形是由正

6、方形“擴(kuò)展”而來(lái)，如此類(lèi)推. 設(shè)由正 n 邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)為an ，優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載則 a61111；a4a5.a3a99解：由圖可得： an 2nn(n1)n2n ，所以 a642 ；又11111ann 2 n n n( 1) n n1所以 1111=(11111111973) (4)(100)100300a3a4a5a9945993變式題2、（北師大版第9 頁(yè)習(xí)題 2）觀察下列各圖，并閱讀下面的文字，像這樣， 10 條直線(xiàn)相交，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多是（），其通項(xiàng)公式為.A40 個(gè)B45 個(gè)C50 個(gè)D55 個(gè)2 條直線(xiàn)相3 條直線(xiàn)相4 條直線(xiàn)相交，最多有1交，最多有3交，最多有

7、6個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn)解： 由題意可得：設(shè) an 為 n 條直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，則a21， anan 1 (n 1),( n3) ，因?yàn)閍nan 1n1，由累加法可求得： an 12n(n1)10945 ，(n 1)2，所以 a102選 B.二、有關(guān)等差、等比數(shù)列性質(zhì)問(wèn)題1、（北師大版第31頁(yè)習(xí)題3）一個(gè)等比數(shù)列前n 項(xiàng)的和為48，前2n 項(xiàng)的和為，則前3n 項(xiàng)60的和為（）A 83B 108C 75D 63變 式 題1 、 一 個(gè) 等 差 數(shù) 列 前 n 項(xiàng) 的 和 為48 ， 前2 n 項(xiàng) 的 和 為60 ， 則 前3 n 項(xiàng) 的 和為。解： 若數(shù)列 an 為等差數(shù)列，則 Sn , S2nSn

8、, S3 n S2 n 等差數(shù)列，可得：48， 12， S3n -60成等差數(shù)列，所以S3 n =36.變式題 2、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載等比數(shù)列 an 的各項(xiàng)為正數(shù)，且 a5 a6a4a7 18, 則 log 3 a1log 3a2log 3 a10（）A12B 10C 8D 2+ log 3 5解：因?yàn)?a5a6a4a7 18, 所以 a5a6a4a7 2a1a1018a1a109 ，而 log 3 a1log 3a2log 3 a10log 3 ( a1a2a10 )log 3 (a1a10 )510 ，所以選 B.點(diǎn)評(píng)：高考試題的一個(gè)重要特點(diǎn)就是考查學(xué)生對(duì)問(wèn)題敏銳的觀察能力和迅速有效的思

9、維能力，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)可提高我們的正確解題的速度 . 因此，對(duì)相關(guān)知識(shí)的性質(zhì)要深刻地理解和掌握并能靈活運(yùn)用 .2、（北師大版第19 頁(yè)習(xí)題4）設(shè)數(shù)列 an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是（）A 1B.2C.4D.8變式題1、在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列 an中，首項(xiàng)a13 ，前三項(xiàng)和為21，則 a3a4a5（）（ A） 33 （ B） 72（ C） 84（D ） 189分析： 本題主要是考查等比數(shù)列的基本概念和性質(zhì)，可利用方程思想將等比數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a1和 q 處理，也可利用等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解.解法一 ：設(shè)公比為a13得 q2 或 q3 0（舍去

10、)，q ，由題知，a1q2a1a1q21a3 a4 a5 84 ，故選 C.解法二 ：由 a13, a1a2a3 21 得， q2 ( q30舍去)，a3 a4 a5q2 ( a1a2a3 ) 84 .三、數(shù)列求和問(wèn)題1、（北師大版第20 頁(yè)習(xí)題 4）已知 an 是等差數(shù)列， 其中 a131 ，公差 d8 。（ 1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式， 并作出它的圖像； （ 2）數(shù)列 an 從哪一項(xiàng)開(kāi)始小于？（ ）求數(shù)列n前 n 項(xiàng)03 a和的最大值，并求出對(duì)應(yīng)n 的值變式題 1、已知 an 是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，其中 a10 ，公差 d0 ，若 S100 ,求數(shù)列 an 前 n 項(xiàng)和的最大值優(yōu)秀學(xué)習(xí)

11、資料歡迎下載解： S1010(a1a10 )0 ，所以 a5 0, a60 ，即數(shù)列 an 前 5 項(xiàng)和為最大值25(a5 a6 )變式題 2、在等差數(shù)列 an 中， a125 ， S17S9 ，求 Sn 的最大值解法一 ：由 S17S9 ，得： 251717 (171)d 2599 (9 1)d ，解得 d 2 n ( n 1)( 2)22Sn 25n(n13)2169 2由二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)n13時(shí)， Sn 有最大值 169解法二： 先求出 d2 ，a125 0，an252( n1)0n13 1由2 ，所以當(dāng) n13時(shí)， Sn 有最大值 169an 1252n0n12 12解法三： 由 S

12、17S9 ，得 a10a11a170 ，而 a10a17a11a16a12a15a13a14 ，故 a13a14 0d20, a10, a130, a140, 故當(dāng) n13時(shí)， Sn 有最大值 169點(diǎn)評(píng)：解決等差數(shù)列前n 項(xiàng)和最值問(wèn)題的方法通常有：、利用二次函數(shù)求最值；、利用通項(xiàng)公式 an 求 n 使得 an an 10 ；利用性質(zhì)求出符號(hào)改變項(xiàng)2、求和： Sn12x 3x2nxn1變式題 1、已知數(shù)列 a4n2和bn2，設(shè) can，求數(shù)列 c 的前n 項(xiàng)和 T nn4n1nnbn解：cnan4n2(2 n 1)4n1 ，bn24n 1Tnc1c2cn1341542(2n1)4n 1 ,4T

13、n14 342543(2n3)4n 1 (2 n1)4n兩式相減得3Tn1 2(414Tn1 ( 6n5)4923n 1n1n44)(2n1)4( 6n5) 45n5.優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載變式題 2、設(shè) an 是等差數(shù)列， bn 是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1b11 ， a3b521 ，a5b313（）求 an ， bn 的通項(xiàng)公式； （）求數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn bnan的公差為 d ， bn的公比為 q ，則依題意有 q12dq421，解：（）設(shè)0 且4dq213，1解得 d2 ， q2 所以an1 (n1)2n1， bqn 12n 1dn（） an2n1352n 32n1bn2n

14、 1 Sn121222n 22n 1 ，2Sn2352n32n1 ，22n 3n222222n1得 Sn222n2n1，22222211112n12222n22n 1112n1222n 1112n126 2n 3 2n 1點(diǎn)評(píng)：錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)公式形容an bn 的數(shù)列，其中 an 是等差數(shù)列，bn 是各項(xiàng)不為 0 的等比數(shù)列變式題 2設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為 q，前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 Sn+1,Sn，Sn+2 成等差數(shù)列，則q 的值為.分析： 本題主要考查等比數(shù)列的求和公式，等差數(shù)列的概念運(yùn)用，可直接求得.解： Sna1(1qn ) ， 2SnSn 1Sn 2 ，則有 2a1 (1

15、qn )a1 (1qn 1 )a1 (1qn 2 ) ，1q1q1q1qq2q 2 0 ， q2 .，若 q1 ，則 2Sn2n Sn 1Sn 2(n 1) (n 2)2n 3 。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載3、利用等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式證明anan 1b an 2b2ab n 1bn = an 1bn 1( n N , a 0, b 0)ab變式題 、已知 un a nan 1ba n 2 b2abn1b n( nN , a0,b0) .當(dāng) ab 時(shí)，求數(shù)列 u n的前 n 項(xiàng)和 Sn 解：（）當(dāng) ab 時(shí)， un( n1)an 這時(shí)數(shù)列 un 的前 n 項(xiàng)和Sn2a 3a 24a 3nan 1(

16、n 1)a n 式兩邊同乘以 a ，得aSn2a23a 34a4na n( n 1)a n 1式減去式，得(1a) Sn2aa 2a 3a n( n1)a n1若 a 1 ，(1a) Sna(1an )( n 1)an 1a ，1aSna(1a n )a (n1) an 1(n1)a n 2( n2)a n 1a 22a(1a) 21a(1a) 2若 a1 ， Sn2 3n(n3)n (n 1)2na1 (q1)點(diǎn)評(píng)：在使用等比數(shù)列的求和公式時(shí)，要注意對(duì)公比q 的討論，即 Sn，這a1 (1q )n(q 1)1q是學(xué)生平時(shí)容易忽略的問(wèn)題，應(yīng)引起足夠的重視，另外要求學(xué)生有運(yùn)算化簡(jiǎn)的能力.4、（

17、）已知數(shù)列 a 的通項(xiàng)公式為a1，求前 n 項(xiàng)的和；（2）已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公1nn1)n(n式為 an1，求前 n 項(xiàng)的和nn1變式題1、已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an n1 ，111，求 Tn 2設(shè) Tna2 a4a1 a3an an 2解：142（11）an an 2(n 1)(n 3)n 1 n 3Tn1112（1 1）（11）（ 11）（1 1）a1a3a2 a4an an 22 43 54 6n n 2優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載111111（）2（ ）.n 1n 323n 2n 3變式題 2、數(shù)列 a n 中， a1 8， a4 2，且滿(mǎn)足： an+2 2an+1 an 0（ nN* ），（）求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式；（）設(shè)bn1*，b1 b2bn，是否存在最大的整數(shù)m，使得任意n(12( n N ) Snan )的 n 均有 Sm 總成立？若存在，求出m；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由n32解：（） an+2 2an+1 an0， an+2 an+1 an+1 an（ n N* ）， an 是等差數(shù)列，設(shè)公差為d， a1 8， a4 a1 3d 8 3d 2， d 2， an 8（ n 1） &#