高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1橢圓2.1.2第1課時(shí)橢圓的簡單幾何性質(zhì)學(xué)案新人教A版選修110912293

1、高中數(shù)學(xué)選修精品教學(xué)資料第1課時(shí)橢圓的簡單幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì),并正確地畫出它的圖形(重點(diǎn))2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程,利用曲線的方程研究它的性質(zhì),并能畫出相應(yīng)的曲線(重點(diǎn),難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(a>b>0)范圍axa且bybbxb且aya對稱性對稱軸為坐標(biāo)軸,對稱中心為原點(diǎn)頂點(diǎn)a1(a,0),a2(a,0)a1(0,a),a2(0,a)b1(0,b),b2(0,b)b1(b,0),b2(b,0)軸長短軸長|b1b2|2b,長軸長|a1a2|2a

2、焦點(diǎn)f1(c,0),f2(c,0)f1(0,c),f2(0,c)焦距|f1f2|2c2.離心率(1)定義：橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率(2)性質(zhì)：離心率e的范圍是(0,1)當(dāng)e越接近于1時(shí),橢圓越扁；當(dāng)e越接近于0時(shí),橢圓就越接近于圓思考：(1)離心率e能否用表示？(2)離心率相同的橢圓是同一個(gè)橢圓嗎？提示(1)e21,所以e.(2)不是離心率相同的橢圓焦距與長軸的長的比值相同基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)橢圓1(a>b)的長軸長為a,短軸長為b.()(2)橢圓的離心率越大,則橢圓越接近于圓()(3)若一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上,則這四個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于橢圓的中心對稱()答案(1)

3、5;(2)×(3)2橢圓6x2y26的長軸的端點(diǎn)坐標(biāo)是()a(1,0),(1,0)b(6,0),(6,0)c(,0),(,0)d(0,),(0,)d橢圓方程可化為x21,則長軸的端點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±)3橢圓25x29y2225的長軸長、短軸長、離心率依次是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792060】a5,3,0.8b10,6,0.8c5,3,0.6 d10,6,0.6b橢圓方程可化為1,則a5,b3,c4,e,故b.合 作 探 究·攻 重 難根據(jù)橢圓的方程研究其幾何性質(zhì)設(shè)橢圓方程mx24y24m(m0)的離心率為,試求橢圓的長軸的長和短軸的長、焦點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)解橢圓方程可化

4、為1.(1)當(dāng)0m4時(shí),a2,b,c,e,m3,b,c1,橢圓的長軸的長和短軸的長分別是4,2,焦點(diǎn)坐標(biāo)為f1,f2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為a1,a2,b1(0,),b2(0,)(2)當(dāng)m4時(shí),a,b2,c,e,解得m,a,c,橢圓的長軸的長和短軸的長分別為,4,焦點(diǎn)坐標(biāo)為f1,f2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為a1,a2,b1(2,0),b2(2,0)規(guī)律方法用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)的步驟(1)將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式(2)確定焦點(diǎn)位置(焦點(diǎn)位置不確定的要分類討論)(3)求出a,b,c.(4)寫出橢圓的幾何性質(zhì)提醒：長軸長、短軸長、焦距不是a,b,c,而應(yīng)是a,b,c的兩倍跟蹤訓(xùn)練1已知橢圓c1：1,設(shè)橢圓c2與橢圓c1的長

5、軸長、短軸長分別相等,且橢圓c2的焦點(diǎn)在y軸上(1)求橢圓c1的長半軸長、短半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；(2)寫出橢圓c2的方程,并研究其性質(zhì)解(1)由橢圓c1：1可得其長半軸長為10,短半軸長為8,焦點(diǎn)坐標(biāo)(6,0),(6,0),離心率e.(2)橢圓c2：1.性質(zhì)：范圍：8x8,10y10；對稱性：關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱；頂點(diǎn)：長軸端點(diǎn)(0,10),(0,10),短軸端點(diǎn)(8,0),(8,0)；離心率：e.利用幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)橢圓過點(diǎn)(3,0),離心率e；(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直,且焦距為8；(3)求經(jīng)過點(diǎn)m(1,2)

6、,且與橢圓1有相同離心率的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792061】思路探究(1)焦點(diǎn)位置不確定,分兩種情況求解(2)利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解(3)法一：先求離心率,根據(jù)離心率找到a與b的關(guān)系再用待定系數(shù)法求解法二：設(shè)與橢圓1有相同離心率的橢圓方程為k1(k1>0)或k2(k2>0)解(1)若焦點(diǎn)在x軸上,則a3,e,c,b2a2c2963.橢圓的方程為1.若焦點(diǎn)在y軸上,則b3,e,解得a227.橢圓的方程為1.所求橢圓的方程為1或1.(2)設(shè)橢圓方程為1(ab0)如圖所示,a1fa2為等腰直角三角形,of為斜邊a1a2的中線(高),且|of|c,|a1a2

7、|2b,cb4,a2b2c232,故所求橢圓的方程為1.(3)法一：由題意知e21,所以,即a22b2設(shè)所求橢圓的方程為1或1.將點(diǎn)m(1,2)代入橢圓方程得1或1解得b2或b23.故所求橢圓方程為1或1.法二：設(shè)所求橢圓方程為k1(k1>0)或k2(k2>0),將點(diǎn)m的坐標(biāo)代入可得k1或k2,解得k1,k2,故或,即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.規(guī)律方法利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路1利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),通常采用待定系數(shù)法,其步驟是：(1)確定焦點(diǎn)位置；(2)設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(對于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)；(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的

8、關(guān)系式,利用方程(組)求參數(shù),列方程(組)時(shí)常用的關(guān)系式有b2a2c2,e等2在橢圓的簡單幾何性質(zhì)中,軸長、離心率不能確定橢圓的焦點(diǎn)位置,因此僅依據(jù)這些條件求所要確定的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能有兩個(gè)提醒：與橢圓1(a>b>0)有相同離心率的橢圓方程為k1(k1>0,焦點(diǎn)在x軸上)或k2(k2>0,焦點(diǎn)在y軸上)跟蹤訓(xùn)練2(1)若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸,長軸長與短軸長的和為18,一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()a.1b.1c.1 d.1b由題意,得解得因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)已知橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸,o為坐標(biāo)原點(diǎn),f是一個(gè)焦點(diǎn),a是

9、一個(gè)頂點(diǎn),橢圓的長軸長為6,且cosofa,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_1或1因?yàn)闄E圓的長軸長是6,cosofa,所以點(diǎn)a不是長軸的端點(diǎn)(是短軸的端點(diǎn))所以|of|c,|af|a3,所以,所以c2,b232225,所以橢圓的方程是1或1.求橢圓的離心率探究問題1已知f是橢圓的左焦點(diǎn),a,b分別是其在x軸正半軸和y軸正半軸上的頂點(diǎn),p是橢圓上的一點(diǎn),且pfx軸,opab,怎樣求橢圓的離心率？提示：如圖,設(shè)橢圓的方程為1(ab0),p(c,m)opab,pfoboa,又p(c,m)在橢圓上,1.將代入,得1,即e2,e.2已知橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)為f1(c,0),a(a,0),b(0,b)是兩個(gè)頂點(diǎn),

10、如果f1到直線ab的距離為,求橢圓的離心率e.提示：由a(a,0),b(0,b),得直線ab的斜率為kab,故ab所在的直線方程為ybx,即bxayab0.又f1(c,0),由點(diǎn)到直線的距離公式可得d,·(ac).又b2a2c2,整理,得8c214ac5a20,即81450.8e214e50,e或e(舍去)綜上可知,橢圓的離心率e.已知f1,f2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過f1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于a,b兩點(diǎn),若abf2是正三角形,則該橢圓的離心率是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792062】思路探究abf2為正三角形af2f130°把|af1|,|af2|用c表示解析不妨設(shè)橢圓的焦

11、點(diǎn)在x軸上,因?yàn)閍bf1f2,且abf2為正三角形,所以在rtaf1f2中,af2f130°,令|af1|x,則|af2|2x,所以|f1f2|x2c,再由橢圓的定義,可知|af1|af2|2a3x,所以e.答案規(guī)律方法求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a,c可直接利用e求解若已知a,b或b,c可借助于a2b2c2求出c或a,再代入公式e求解(2)方程法：若a,c的值不可求,則可根據(jù)條件建立a,b,c的關(guān)系式,借助于a2b2c2,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程或不等式,再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪,得到關(guān)于e的方程或不等式,即可求得e的值或范圍跟蹤訓(xùn)練3(1)橢圓

12、1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為f,該橢圓上有一點(diǎn)a,滿足oaf是等邊三角形(o為坐標(biāo)原點(diǎn)),則橢圓的離心率是()a.1b2c.1d2(2)橢圓1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為f1,f2,以f1f2為邊作正三角形,若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊,則橢圓的離心率為_(1)a(2)1(1)如圖,設(shè)f(c,0),由oaf是等邊三角形,得a,因?yàn)辄c(diǎn)a在橢圓上,所以有1,在橢圓中有a2b2c2,聯(lián)立,得c2(42)a2,即c(1)a,則其離心率e1.(2)法一如圖,df1f2為正三角形,n為df2的中點(diǎn),f1nf2n,|nf2|c,|nf1|c,由橢圓的定義可知|nf1|nf2|2a,c

13、c2a,e1.法二注意到焦點(diǎn)三角形nf1f2中,nf1f230°,nf2f160°,f1nf290°,則由離心率的三角形式,可得e1.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1已知橢圓1(ab0)與橢圓1有相同的長軸,橢圓1(ab0)的短軸長與1的短軸長相等,則() aa215,b216ba29,b225ca225,b29或a29,b225da225,b29d由題意得,橢圓1的焦點(diǎn)在x軸上,且a225,b29.2已知中心在原點(diǎn)的橢圓c的右焦點(diǎn)為f(1,0),離心率等于,則c的方程是()a.1b.1c.1 d.1d右焦點(diǎn)為f(1,0)說明兩層含義：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,c1.又離心率為,故a2,b2a2c2413,故橢圓的方程為1.3若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列,則該橢圓的離心率是()a.b.c. d.b由題意得：2bac,4b2(ac)2,又a2b2c2,4(a2c2)a