高三數(shù)學不等關(guān)系與不等式練習試題及答案

1、高三數(shù)學不等關(guān)系與不等式練習試題及答案作者：佚名 文章來源：網(wǎng)絡 點擊數(shù)： 更新時間：2014-4-18 17:46:41 一. 教學內(nèi)容：不等式高考復習一：不等關(guān)系與不等式 二. 教學目的1、復習不等式的性質(zhì)及應用2、復習平均值不等式及其應用 三. 教學重點、難點不等式的性質(zhì)及均值不等式 四. 知識分析（一）不等式的性質(zhì)及應用【考點梳理】考點一：不等式有關(guān)概念1. 不等式定義    用不等號（、）表示不等關(guān)系的式子叫不等式記作等等用“”或“”號連結(jié)的不等式叫嚴格不等式；用“

2、”或“”號連結(jié)的不等式叫非嚴格不等式  2. 同向不等式、異向不等式    對于兩個不等式，如果每一個的左邊都大于右邊，或每一個的左邊都小于右邊，這樣的兩個不等式叫同向不等式    對于兩個不等式，如果一個不等式的左邊大于右邊，而另一個不等式的左邊小于右邊，那么這兩個不等式叫異向不等式  3. 絕對不等式、條件不等式、矛盾不等式    （1）絕對不等式：如果不論用什么實數(shù)代替不等式中的字母它都能夠成立，這樣的不等式叫絕對不等式 

3、0;  （2）條件不等式：如果只有用某些范圍內(nèi)的實數(shù)代替不等式中的字母它才能夠成立，這樣的不等式叫條件不等式    （3）矛盾不等式：如果不論用什么樣的實數(shù)代替不等式中的字母它都不能成立，這樣的不等式叫矛盾不等式  4. 關(guān)于ab和ab的含義不等式“ab”的含義是“或者ab，或者ab”等價于“a不小于b”，即若ab或者ab之中有一個正確，則ab正確 考點二：實數(shù)的特征與實數(shù)比較大小  1. 實數(shù)的兩個特征（1）任意實數(shù)的平方不小于0，即。（2）任意兩個實數(shù)都可以比較大小，反之，可以比較

4、大小的兩個數(shù)一定是實數(shù)。  2. 實數(shù)比較大小的依據(jù)和方法（1）實數(shù)比較大小的依據(jù)：在數(shù)軸上不同的點A與點B分別表示兩個不同的實數(shù)a與b，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大，從實數(shù)減法在數(shù)軸上的表示如圖，可以看出a、b之間具有以下性質(zhì)：如果是正數(shù)，那么；如果是負數(shù)，那么；如果等于零，那么，反之也成立，就是；。（2）實數(shù)比較大小的基本方法。比較兩個實數(shù)的大小，基本方法是作差，對差的正、負作出判斷，進而得出結(jié)論。 考點三：不等式的性質(zhì)  1. （對稱性）；  2. （傳遞性）；  3. （可加性）；

5、0; 4. ；  5. ，；  6. ；  7. （n是大于1的整數(shù)）；  8. （n是大于1的整數(shù)）。【方法與技巧】方法一：特殊值法對于某些選擇題，可采取特殊值法巧妙求解。例：已知，且，設，則（    ）A.                     B. C

6、.                     D. 答案：A解析：（特殊值法）取。由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知。，故選A。方法二：排除法利用不等式的性質(zhì)，排除掉干擾項從而選出正確答案，也是解題的一種有效方法技巧。例：若，下列不等式不成立的是A.             

7、        B. C.                   D. 答案：B解析：（排除法），。故知不成立的是B。故選B。方法三：比差法作差比較兩數(shù)（式）大小的依據(jù)是：；。例：比較的大小，其中。解析：當時，；當時，。方法四：比商法作商比較兩數(shù)（式）大小的依據(jù)：；。例：設且，試比較與的大小。解析：當時，則，于是。當時，則，于是。

8、綜上所述，對于不相等的正數(shù)、b，都有。 【典例精析】  例1. 適當增加不等式條件使下列命題成立：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則。剖析：本小題考查不等式的性質(zhì)。解析：（1）原命題改為若且，則，即增加條件“”。（2）由可得，但只有時，才有，即增加條件“”。（3）由可得，但作為真數(shù)，應有，故應增加條件“”。（4）成立的條件有多種（如），與定理4的推論1相關(guān)的一個是、，因此，可增加條件“”。點悟：解這類開放性試題，要求我們在深刻理解不等式的性質(zhì)的同時，一定要注意它們成立的條件。   例2. 若，則

9、下列命題中正確的命題是（    ）A. 均不能成立B. 均不能成立C. 不等式均不能成立D. 不等式均不能成立剖析：本小題主要考查不等式的基本性質(zhì)、敏銳的判斷力、靈活運用知識解決問題的能力。答案：B解析：。又不成立。，故不成立。由此可選B。另外，A中成立，C與D中成立，證明如下：，。故。故選B。點悟：解決該題，除利用不等式的基本性質(zhì)正面推導外，還可利用舉例驗證排除錯誤答案。   例3. 如果，則下列各式正確的是（    ）A. 

10、;                 B. C.                                

11、        D. 剖析：本題是在條件“”的情況下，利用不等式的性質(zhì)，判斷出成立的一個不等式。答案：D解析：對于A，當時，當時，不成立，故應排除A；對于B，不成立，故應排除B；對于C，又由可知，但是的符號是不確定的，因此不成立，故應排除C；對于D，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，又，成立，故選D。點悟：本題綜合利用了不等式的基本性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的值域、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及“作差法”。   例4. 已知，分別求、的范圍。剖析：本小題考查利用不等式的性質(zhì)，求數(shù)（式）的取值范圍。解析：。又，。

12、又。（1）當時，；（2）當時，。綜合（1）（2）得。點悟：要準確運用不等式的性質(zhì)，如：同向不等式不能相減，同向不等式只有當它的兩邊都是正數(shù)時才能相乘。【易錯題剖析】易錯題一：設，求的最大值和最小值。解題思路：解法一：，。設，即比較兩邊系數(shù)：。又，解法二：以下同解法一。失分警示：誤區(qū)：對同向不等式可加性推論：，前后關(guān)系不是充要條件的關(guān)系認知不到位，錯因由求出的值域取代由原條件求出的值域。易錯題二：已知，求的取值范圍。解題思路：令，則。而，故有。失分警示：不能由，這是因為不可能同時取到或，故結(jié)論錯誤。同向不等式可以作加法運算，導向不等式可以作減法運算（不等號與被減不等式同向），當同向不等式兩邊為正

13、時，可以作乘法運算，但如果涉及到“等號能否取到”，則要看是否滿足取等號條件。這一點常易疏漏，請?zhí)貏e注意。 （二）均值不等式及其應用【考點梳理】考點一：兩個重要不等式利用不等式的性質(zhì)，可以推出下列重要不等式：  1. 如果，那么（當且僅當時取等號）。  2. 如果_，那么（當且僅當時取等號）。稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù)。 考點二：靈活變式  1. ；  2. ；  3. ；  4. ；  5. 當且僅當時，各式中等號成

14、立。 考點三：兩個重要結(jié)論  1. ，且（定值），那么當時，有最_值。  2. ，且（定值）那么當時，有最_值。【方法技巧】方法一：均值不等式的配湊技巧例：設，則M、N的最準確的大小關(guān)系是（    ）A.                    B. C.    

15、0;               D. 答案：C解析：因為注意到，且（定值），知。取“=”的條件是，即或，但這是不可能的。故。又因為，注意到，（定值），知，當?shù)忍柍闪r，即，故。，故選C。方法二：用函數(shù)的觀點解決不等式問題例：已知，試比較與的大小。解析：，易知，時，上是減函數(shù)，時，在上是增函數(shù)，方法三：三角換元例：若，則的最小值為_。答案：解析：令，則，（當且僅當時取等號），故的最小值為。【典例精析】  例1. 已知

16、，求證：。剖析：本題考查利用均值不等式證明不等式。證明：，同理，點悟：證明不等式時應根據(jù)求證式兩端的結(jié)構(gòu)，合理選擇基本不等式；本題的證明方法在證輪換對稱不等式時具有一定的普遍性。   例2. 已知，求的最小值。剖析：本題考查利用均值不等式求最值。解析：解法一：，當且僅當，又，即時，上式等號成立。故當時，。解法二：由，得（定值），又知，所以，當且僅當，即時，。點悟：應用均值不等式時熟練掌握定理成立的條件、重要不等式的變形，在運用重要不等式證明不等式或求最值時，注意掌握“湊”（湊項、湊因式）的技巧，其目的一是創(chuàng)造一個應用重要不等式的情境；二是使等號成立的條件

17、。   例3. 已知數(shù)列。（1）若，求的取值范圍；（2）當時，求的最大值，并求出對應b的取值。剖析：本題考查利用均值不等式求變量的值。解析：（1）。（2），令，顯然，則，。當時，即時等號成立。由，則，又由，當時，。點悟：本題以數(shù)列知識為背景，考查學生靈活運用均值定理解決問題的能力。   例4. （2004全國）某村計劃建造一個室內(nèi)面積為的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地。當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？剖析：本題主要考查

18、把實際問題抽象為數(shù)學問題，應用不等式等基礎(chǔ)知識和方法解決問題的能力。解析：設矩形溫室的左側(cè)邊長為am，后側(cè)邊長為bm，則。蔬菜的種植面積。當且僅當，即時，取等號。答：當矩形溫室的左側(cè)邊長為40m，后側(cè)邊長為20m時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為。點悟：在本題的求解過程中有兩個難點：一是建立函數(shù)關(guān)系式，二是利用均值不等式求最值要注意等號成立條件以及要會對式子進行合理的分拆、組合等?！疽族e題剖析】易錯題一：已知且，求的最小值。解題思路：，。當且僅當即時，上式取等號，這時。故當，時，最小值是9。另解，。上式當且僅當即等號成立。又。故最小值是9，此時。失分警示：誤區(qū)：，因此，的最小值是8。上面解

19、法中，連續(xù)進行了兩次不等變形：與，且這兩次不等式中的等號不能同時成立，第一個不等式當且僅當時等號成立，第二個不等式是當且僅當，即時等號成立，因此不可能等于8。易錯題二：若實數(shù)滿足，則的最大值為（    ）A.                      B.        

20、;         C.                      D. 答案：B解題思路：令。故。所以的最大值是。故選B。錯因分析：誤區(qū)：連續(xù)使用不等式變形，而誤選A。取等號的條件是且，即與題設矛盾。使用均值不等式求值時，一定要注意等號成立的條件。易錯題三：求函數(shù)的最小值。解題思路：解法一：。由，

21、得，當且僅當，且，即時取“=”號。因此y的最小值為。解法二：令，則。又在上單調(diào)遞減（單調(diào)性的證明過程略）。當時，有最小值。失分警示：誤區(qū)：。的最小值為2。該式若取等號，需。即，不可能，所以取不到最小值。應用均值不等式求最值要注意三個條件：（1）各項或各因式為正；（2）和或積為定值；（3）各項或各因式都能取得相等的值。即所謂“一正、二定、三相等”。 【模擬試題】一、選擇題1. 若ab，則（    ）A.a2b2          

22、0;                                  B.a2b2              

23、0;                              C.a2b2                  

24、0;                          D.以上都不對  2. 若a>b，c>d，則下列不等式恒成立的是（    ）    3. 已知a、b都為正數(shù)，則（    

25、）A.ab2                                                 

26、            B.ab2C.ab2                                     &

27、#160;                       D.ab2  4. 已知，則下列命題成立的是（    ）    5. 若a0或b0，則（    ）A.a2+b2ab     

28、;              B.a2+b2ab                     C.a2+b2ab             D.a

29、2+b2ab  6. 若，則大小順序為（    ）      7. 若a，b是任意實數(shù)，且a>b，則（    ）      8. 已知，下列不等式恒成立的是（    ）    二、填空題9. 若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是f(x)_g(x).  10. 已知，則_。（填“>”，“<”或“=”）11. 設a0，1b0，則a、ab、ab2三者的大小關(guān)系為_.  12. 設，則從小到大的順序是_。  13. 若成立，則a的范圍是_。  14. 若，則a，b，c，d的大小關(guān)系是_。三、解答題15.  已知(n為奇數(shù))，試比較a2與b2的大小.16. 若，且a最大，試比較a+d與b+c的大