方向?qū)?shù)、偏導(dǎo)數(shù)與全微分

1、 7.3 方向?qū)?shù)、偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)二、全微分三、梯 度一、方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù), )1(,222121 vvxoyvvv平面上的一個單位向量平面上的一個單位向量是是設(shè)設(shè), ),(),(000yxplvyxp上任取一點上任取一點的直線的直線平行平行且與方向且與方向在經(jīng)過點在經(jīng)過點, ,000yyxxpp 則有向量則有向量,0vpp平行于平行于且且,r0tvppt 使得使得從而必存在從而必存在,20102010 tvyytvxxtvyytvxx或?qū)懗苫驅(qū)懗杉醇?的參數(shù)方程的參數(shù)方程直線直線 l.),(),(,),(2010的一元函數(shù)的一元函數(shù)就變成了變量就變成了變量二元函數(shù)二元函數(shù)

2、變動時變動時沿著直線沿著直線當點當點ttvytvxfyxflyxp , ),()(2010tvytvxftg 令令. ),()0(00yxfg 則則tgtgtgtt)0()(limdd00 如果導(dǎo)數(shù)如果導(dǎo)數(shù),),(),(lim0020100存在存在tyxftvytvxft ,),(),(000的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)向向處沿方處沿方在點在點則稱此導(dǎo)數(shù)值為函數(shù)則稱此導(dǎo)數(shù)值為函數(shù)vyxpyxf.),(000yxpvfvf 或或記為記為例例1解解.014, 3)21(,),(22的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)，與方向與方向沿方向沿方向，函數(shù)在點函數(shù)在點分別計算此分別計算此設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) uwyxyxfttt

3、vft2lim202,1 ）（從從而而,54,53, wwvw得單位向量得單位向量單位化單位化將向量將向量),(),(002010yxftvytvxf 則則)2, 1(542,531fttf ,22tt .2 tttt2lim20 的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為沿方向沿方向可求得在點可求得在點類似地類似地u)2, 1(,tftfuft)2, 1()2,1(lim0)2, 1( .2 定義定義7.4,),(,),(),(),(),(0000000的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)和關(guān)于關(guān)于關(guān)于分別稱為分別稱為則他們則他們存在存在和和若方向?qū)?shù)若方向?qū)?shù)內(nèi)有定義內(nèi)有定義的某鄰域的某鄰域在在設(shè)二元函數(shù)

4、設(shè)二元函數(shù)yxyxfjfifyxpyxfzyxyx . ),(),(),(),(,00000000),(),(),(),(00000000yxzyxzyxfyxfyzxzyfxfyxyxyxyxyxyx 及及或或及及或或及及或或及及分別記為分別記為例例21)1, 1(e )1sin(dd yyyyyz解解1)1sin()1cos(e xxxx1)1, 1(e )1sin(dd xxxxxz1)1cos()1sin(e yyyy.)1,1(e)sin()1, 1()1, 1( yzxzyxzxy及及處偏導(dǎo)數(shù)處偏導(dǎo)數(shù)在點在點求求,e1 .e1 例例3 解解.)0, 0()ln()2, 1()2,

5、1(yxyxyzzzzyxxyxz 與與以及以及與與數(shù)數(shù)的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)求函數(shù)求函數(shù)xyyyxzyx 1可得可得看作常數(shù)看作常數(shù)將將時時求求,yzx xyxy11 ;3)2,1( xz從從而而可得可得看作常數(shù)看作常數(shù)將將時時求求類似地類似地,xzy yxxzyy1ln .21)2, 1( yz從而從而解解例例4 .)ecos(22的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求三元函數(shù)求三元函數(shù)zyxu xyxxuz2)esin(22 得得看作常數(shù)看作常數(shù)和和把把,zy),esin(222zyxx )2()esin(22yyxyuz 得得看作常數(shù)看作常數(shù)和和把把,zx),esin(222zyxy )e()esin(22zzyx

6、zu 得得看作常數(shù)看作常數(shù)和和把把,yx. )esin(e22zzyx . ),(:),(0000軸的斜率軸的斜率對對處的切線處的切線在點在點曲線曲線xmyyyxfzyxfx . ),(:),(0000軸的斜率軸的斜率處的切線對處的切線對在點在點曲線曲線ymxxyxfzyxfy 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義0 x0yo例例5 5 解解.)0, 0(0, 00,),(222222關(guān)系關(guān)系點的偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性的點的偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性的在在討論函數(shù)討論函數(shù) yxyxyxxyyxf由偏導(dǎo)數(shù)的定義知道由偏導(dǎo)數(shù)的定義知道0)0, 0(), 0(lim)0, 0(0 yfyffyy0)0 , 0()0 ,(l

7、im)0, 0(0 xfxffxx.)0, 0(),(,72 . 7不不連連續(xù)續(xù)在在點點函函數(shù)數(shù)知知道道例例但但由由yxf,)0, 0(),(的偏導(dǎo)數(shù)都存在的偏導(dǎo)數(shù)都存在在點在點從而從而yxf性質(zhì)性質(zhì)7.3.)() ),(),(,)(),(),(000000連續(xù)連續(xù)點點或或點點在在或或則則偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在的的或或處關(guān)于處關(guān)于在在設(shè)設(shè)yyxxyxfyxfyxyxyxfz 二、全微分定義定義7.5(*)( oybxa 改改變變量量可可以以表表示示成成的的如如果果和和一一個個改改變變量量給給有有定定義義的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在設(shè)設(shè)zyxyxyxpyxfz,),(),(00000 ),(),(

8、0000yxfyyxxfz ,)0, 0(),()(,),(, ),(,22000的高階無窮小量的高階無窮小量時時表示表示無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)有關(guān)、與有關(guān)、與是只與是只與其中其中 yxoyxyxyxfyxpba)57(d),(00 ybxazyx即即或或,dd),(),(0000yxyxfz記為記為處的全微分處的全微分在在為為且稱且稱處可微處可微在點在點則稱則稱,),(),(,),(),(000000yxpyxfybxayxpyxf )47(d),(00 ybxazyx從而得到近似公式從而得到近似公式的主部的主部是是很小時很小時當當,d,),(00zybxazyxyx ),(),(0000yx

9、fyyxxfz .),(,),(內(nèi)內(nèi)的的可可微微函函數(shù)數(shù)是是稱稱內(nèi)內(nèi)處處處處可可微微時時在在區(qū)區(qū)域域當當dyxfdyxf定理定理7.1則則處處可可微微在在若若,),(),(000yxpyxfz ),(, ),(,(*),),()1(00000yxfbyxfabapyxfyx 分別為分別為中的中的式式且且處的偏導(dǎo)數(shù)都存在處的偏導(dǎo)數(shù)都存在在點在點)67(),(),(,)1(,),(),()2(200100),(2221210000 vyxfvyxfvfvvvvvyxyxfyxyx且且的方向?qū)?shù)存在的方向?qū)?shù)存在處沿任意方向處沿任意方向在點在點)(),(),(0000 xoxayxfyxxfz 由此

10、即得由此即得axzx 0lim. ),(00yxfax 因此因此. ),(00yxfby 同理可證同理可證),(),()1()2(0000yxfyyxxfz 可得可得由由)(),(),(0000 oyyxfxyxfyx 證明證明 ,(*),),(),()1(00式成立式成立有有可微時可微時在點在點當當yxyxf,0 xy 得得在其中令在其中令tyxftvytvxfvftyx),(),(lim0020100),(00 ttotvyxftvyxfyxt)(),(),(lim2001000 .1 . 7證證畢畢定定理理200100),(),(vyxfvyxfyx ,21ttvytvx 則則令令上的變

11、化率為上的變化率為在方向在方向,),(21vvvyxfz ,),(內(nèi)處處可微時內(nèi)處處可微時在區(qū)域在區(qū)域當當dyxfz 內(nèi)的全微分函數(shù)為內(nèi)的全微分函數(shù)為在在則則dyxfz),( )77(d),(d),(d yyxfxyxfzyx它的全微分公式為它的全微分公式為元函數(shù)元函數(shù)對對, ),(21nxxxfun )87(dddd2121 nxxxxfxfxfun可寫成可寫成則全微分則全微分處可微處可微在點在點若若,),(),(000yxpyxfz yyxfxyxfzyxyxd),(d),(d0000),(00 二元函數(shù)的可微性、偏導(dǎo)數(shù)存在及連續(xù)性之間二元函數(shù)的可微性、偏導(dǎo)數(shù)存在及連續(xù)性之間的關(guān)系為的關(guān)系

12、為偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)可微可微連續(xù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在定理定理7.2.),(),(,),(),(, ),(),(000000處可微處可微在點在點則則連續(xù)連續(xù)在點在點的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)若若yxpyxfzyxpyxfyxfyxfzyx 例例6求下列函數(shù)的全微分：求下列函數(shù)的全微分：;)1(33yxxyz .)2()2(zyxu 解解因此因此yzxzzyxddd ,323yxyzx .,)1(yxzz 先求先求.332xxyzy .d)3(d)3(3223yxxyxyxy 因此因此.,)2(zyxuuu 先求先求,)2(1 zxyxzu,)2(21 zyyxzu),2ln()2(yxy

13、xuzz zuyuxuuzyxdddd .d)2lnd22d2)2( zyxyyxzxyxzyxz（定義定義7.6),(, ),(grad000000yxfyxfffyxpp 三、梯度即即或或或或記為記為處的梯度處的梯度在點在點為函數(shù)為函數(shù)則稱向量則稱向量和和數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)處存在偏處存在偏在點在點設(shè)設(shè), )grad,(grad,),(),(, ),(, ),(),(),(),(00000000ppppyxyxzzffpyxfyxfyxfyxfyxfyxpyxfz . )(),(),(, ),(,),(函數(shù)函數(shù)內(nèi)的梯度內(nèi)的梯度在在為為則稱則稱內(nèi)處處存在偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)處處存在偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域在區(qū)域若若dyxfyx

14、fyxffdyxfyx 22),(),(,yxfyxfffyx 其長度為其長度為是一個向量是一個向量梯度梯度.,0的方向為梯度方向的方向為梯度方向稱稱時時當當ff ,),(),(000處可微處可微在在設(shè)設(shè)yxpyxfz ,)1(,21是任一給定的方向是任一給定的方向 vvvv)97(cos0 pf200100),(),(0vyxfvyxfvfyxp 的標量積形式的標量積形式與與寫成梯度寫成梯度可將方向?qū)?shù)可將方向?qū)?shù)vfvfpp00 vfp 0.之間的夾角之間的夾角表示梯度與表示梯度與其中其中v 性質(zhì)性質(zhì)7.4梯度的幾何意義：梯度的幾何意義：梯度方向是函數(shù)變化率最大的方向梯度方向是函數(shù)變化率最

15、大的方向.,),(),(,),(),(0000000pfyxpyxfyxpyxfz 并且等于梯度的長并且等于梯度的長方向的方向?qū)?shù)最大方向的方向?qū)?shù)最大沿梯度沿梯度點的所有方向?qū)?shù)中點的所有方向?qū)?shù)中在在則則處可微處可微在點在點設(shè)設(shè)例例7解解由于沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，由于沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，., )ln()2(;,)1(,)1, 1(),(,),()1(222212uuzyxuvvvvyxfxyyxf 及及求求設(shè)設(shè)大值方向的單位向量大值方向的單位向量導(dǎo)數(shù)的最大值和取得最導(dǎo)數(shù)的最大值和取得最并指出方向并指出方向的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)任意方向任意方向處沿處沿在點在點求求設(shè)設(shè),2),(,),()1(2xyyxfyyxfyx 由于由于21)1, 1()1,1()1,1(vfvfvfyx 212vv 且最大方向?qū)?shù)為梯度