方向?qū)?shù)與梯度69206

1、方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度實(shí)例實(shí)例：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在(3,2)處有一個(gè)處有一個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問題的問題的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行一、方向

2、導(dǎo)數(shù)的定義一、方向?qū)?shù)的定義 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點(diǎn)在一點(diǎn)p沿某一沿某一方向的變化率問題方向的變化率問題),(yxfz 引射線引射線內(nèi)有定義，自點(diǎn)內(nèi)有定義，自點(diǎn)的某一鄰域的某一鄰域在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)lppuyxpyxfz)(),(),( ).(),(,puplyyxxplx 上的另一點(diǎn)且上的另一點(diǎn)且為為并設(shè)并設(shè)為為的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角軸正向到射線軸正向到射線設(shè)設(shè) oyxlp xyp |pp,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且, z 考慮考慮當(dāng)當(dāng) 沿著沿著 趨于趨于 時(shí)，時(shí)，p pl ),(),(lim0yxfyyxxf 是否存在？是否存在？的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)沿方向沿方向則稱這

3、極限為函數(shù)在點(diǎn)則稱這極限為函數(shù)在點(diǎn)在，在，時(shí)，如果此比的極限存時(shí)，如果此比的極限存趨于趨于沿著沿著當(dāng)當(dāng)之比值，之比值，兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離與與函數(shù)的增量函數(shù)的增量定義定義lpplpyxppyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為.),(),(lim0 yxfyyxxflf 依依定定義義，函函數(shù)數(shù)),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)p沿沿著著x軸軸正正向向0 , 11 e、y軸軸正正向向1 , 02 e的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)分分別別為為yxff ,；沿沿著著x軸軸負(fù)負(fù)向向、y軸軸負(fù)負(fù)向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)是是 yxff ,.方向?qū)?shù)的幾何意義方向?qū)?shù)的幾何意義 ),(),(lim),(00000

4、00yxfyyxxflyxfx yyyxxx 00過直線過直線 作平行于作平行于 z 軸的平面軸的平面 與曲面與曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲線記為所交的曲線記為 c c上上考考察察在在 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的方方向向與與lpp0 ),(),(0000yxfyyxxf 表示表示c 的割線向量的割線向量 的的交交角角的的正正切切值值與與lpp0即即的斜率的斜率關(guān)于關(guān)于lpp0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 ),(),(0000yxyyxx 即即割線轉(zhuǎn)化為切線割線轉(zhuǎn)化為切線上式極限存在就意味著當(dāng)點(diǎn)上式極限存在就意味著當(dāng)點(diǎn)),(00yyxx ),(00yx趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) 曲線曲線c在點(diǎn)在點(diǎn) p0 有唯一的切線有唯一

5、的切線它關(guān)于它關(guān)于 方向的斜率方向的斜率l就是方向?qū)?shù)就是方向?qū)?shù)),(00yxlf lcm0tp0pml定理如果函數(shù)定理如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxp是可微分是可微分的，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向的，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向 l l 的方向?qū)?shù)都的方向?qū)?shù)都存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ， 其中其中 為為x軸到方向軸到方向 l l 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以兩邊同除以,得到得到 )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向?qū)?shù)故有方向?qū)?shù) l

6、f ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf cossin例例 1 1 求求函函數(shù)數(shù)yxez2 在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 1(p處處沿沿從從點(diǎn)點(diǎn) )0 , 1(p到到點(diǎn)點(diǎn))1, 2( q的的方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù).解解這這里里方方向向l即即為為1, 1 pq,故故x軸到方向軸到方向l的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角4 .; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向?qū)?shù)所求方向?qū)?shù) lz)4sin(2)4cos( .22 例例 2 2 求函數(shù)求函數(shù)22),(yxyxyxf 在點(diǎn)在點(diǎn)（1，1）沿與沿與x軸方向夾角為軸方向夾角為 的方向射線的方向射

7、線l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).并并問在怎樣的方向上此方向?qū)栐谠鯓拥姆较蛏洗朔较驅(qū)?數(shù)有數(shù)有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零？解解由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf ,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）當(dāng)）當(dāng)4 時(shí)，時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最大大值值2;（2）當(dāng)當(dāng)45 時(shí)時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最小小值值2 ;（3）當(dāng)）當(dāng)43 和和47 時(shí)，時(shí)，方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于 0.推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?/p>

8、數(shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義對(duì)于三元函數(shù)對(duì)于三元函數(shù)),(zyxfu ，它在空間一點(diǎn)，它在空間一點(diǎn)),(zyxp沿著方向沿著方向 l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) ，可定義，可定義為為,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf （ 其中其中222)()()(zyx ）設(shè)設(shè)方方向向 l 的的方方向向角角為為 ,cos x,cos y,cos z 同理：當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時(shí)，那末函數(shù)在該點(diǎn)同理：當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時(shí)，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向沿任意方向 l的方向?qū)?shù)都存在，且有的方向?qū)?shù)都存在，且有.coscoscos zfyfxflf 例例 3 3 設(shè)設(shè)n是曲面是曲面632222 zyx 在點(diǎn)

9、在點(diǎn))1 , 1 , 1(p處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)2122)86(1yxzu 在此處沿方向在此處沿方向n的方向的方向?qū)?shù)導(dǎo)數(shù).解解令令, 632),(222 zyxzyxf, 44 ppxxf, 66 ppyyf, 22 ppzzf故故 zyxfffn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦為方向余弦為,142cos ,143cos .141cos ppyxzxxu22866 ;146 ppyxzyyu22868 ;148 ppzyxzu22286 .14 故故ppzuyuxunu)coscoscos( .711 二、梯度的概念二、梯度的概念?

10、:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)問題問題p定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 d 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)dyxp ),(，都可定出一個(gè)向量都可定出一個(gè)向量jyfixf ，這向量稱為函數(shù)，這向量稱為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxp的梯度，記為的梯度，記為 ),(yxgradfjyfixf .設(shè)設(shè)jie sincos 是是方方向向 l上上的的單單位位向向量量，由方向?qū)?shù)公式知由方向?qū)?shù)公式知sin,cos, yfxf sincosyfxflf eyxgradf ),(,cos| ),(|

11、 yxgradf 其中其中),(,eyxgradf 當(dāng)當(dāng)1),(cos( eyxgradf時(shí)，時(shí)，lf 有有最最大大值值. 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為 22| ),(| yfxfyxgradf.gradfgradf p當(dāng)當(dāng)xf 不不為為零零時(shí)時(shí)，x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為xfyf tan),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個(gè)曲面表示一個(gè)曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),(

12、czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖oyx1),(cyxf2),(cyxfpcyxf),(),(yxgradf梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量等高線等高線等高線的畫法等高線的畫法例如例如,圖形及其等高線圖形圖形及其等高線圖形函數(shù)函數(shù)xyzsin 梯度與等高線的關(guān)系：梯度與等高線的關(guān)系：向?qū)?shù)向?qū)?shù)的方的方于函數(shù)在這個(gè)法線方向于函數(shù)在這個(gè)法線方向模等模等高的等高線，而梯度的高的等高線，而梯度的值較值較值較低的等高線指向數(shù)值較低的等高線指向數(shù)從數(shù)從數(shù)線的一個(gè)方向相同，且線的一個(gè)方向相同，且在這點(diǎn)的法在這點(diǎn)的法高線高線的等的等的梯度的方向與點(diǎn)的梯度的方向與點(diǎn)在點(diǎn)

13、在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)cyxfpyxpyxfz ),(),(),(此時(shí)此時(shí) f ( x , y ) 沿該法線方向的方向?qū)?shù)為沿該法線方向的方向?qū)?shù)為2222yxyyyxxxffffffffnf 0 gradf 故應(yīng)從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等故應(yīng)從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線，梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向高線，梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)，這個(gè)法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的導(dǎo)數(shù)，這個(gè)法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向。方向。梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù) 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 g 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

14、，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)gzyxp ),(，都可定義一個(gè)向量都可定義一個(gè)向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值.類似地類似地,設(shè)曲面設(shè)曲面czyxf ),(為函數(shù)為函數(shù)),(zyxfu 的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)),(zyxp的梯度的方向與的梯度的方向與過點(diǎn)過點(diǎn) p的等量面的等量面czyxf ),(在這點(diǎn)的法線的一在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的

15、等量面指向數(shù)值較個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)向的方向?qū)?shù).例例 4 4 求求函函數(shù)數(shù) yxzyxu2332222 在在點(diǎn)點(diǎn) )2 , 1 , 1 (處處的的梯梯度度，并并問問在在 哪哪些些點(diǎn)點(diǎn)處處梯梯度度為為零零？解解 由梯度計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 p處梯度為處梯度為 0.例例5 求函數(shù)求函數(shù))(12222byaxz 沿曲線沿曲

16、線12222 byax在點(diǎn)在點(diǎn))2,2(ba處處的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)解一解一用方向?qū)?shù)計(jì)算公式用方向?qū)?shù)計(jì)算公式 即要求出從即要求出從 x 軸正向沿逆時(shí)針軸正向沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)到內(nèi)法線方向的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)到內(nèi)法線方向的轉(zhuǎn)角在在12222 byax兩邊對(duì)兩邊對(duì)x 求導(dǎo)求導(dǎo)02222 dxdybyax解得解得yaxbdxdy22 abdxdym 0（切線斜率）（切線斜率）故法線斜率為故法線斜率為ba tan內(nèi)法線方向的方向余弦為內(nèi)法線方向的方向余弦為22cosbab 22cosbaa 而由而由)(12222byaxz 得得222,2byyzaxxz byzaxzmm2,200 cosco

17、syzxzlz )(2()(22222baabbaba )( 2122baab 解二解二用梯度用梯度梯度是這樣一個(gè)向量，其方向與取得最大方向梯度是這樣一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，它的模等于方向?qū)?shù)的最大導(dǎo)數(shù)的方向一致，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值值, 即梯度是函數(shù)在這點(diǎn)增長(zhǎng)最快的方向即梯度是函數(shù)在這點(diǎn)增長(zhǎng)最快的方向 從等高線的角度來看，從等高線的角度來看，f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) p 的梯度的梯度 方向與過點(diǎn)方向與過點(diǎn)p 的等高線的等高線 f ( x , y ) = c 在這點(diǎn)在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等高線的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向

18、數(shù)值較高的等高線指向數(shù)值較高的等高線)(1),(2222byaxyxfz 等高線為等高線為f ( x , y ) = c 即即cbyax 12222212111cccc 若若橢圓橢圓122221cbyax 222221cbyax 大于橢圓大于橢圓因此因此12222 byax在點(diǎn)在點(diǎn))2,2(ba處的內(nèi)法線恰好是梯度方向處的內(nèi)法線恰好是梯度方向故故22)()(|yzxzgradzlz pbyax424244 )(2122baab 1),(cyxf 2),(cyxf 三、小結(jié)三、小結(jié)1、方向?qū)?shù)的概念、方向?qū)?shù)的概念（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別區(qū)別）2、梯度

19、的概念、梯度的概念（注意梯度是一個(gè)（注意梯度是一個(gè)向量向量）3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系.),(最快的方向最快的方向在這點(diǎn)增長(zhǎng)在這點(diǎn)增長(zhǎng)梯度的方向就是函數(shù)梯度的方向就是函數(shù)yxf思考題思考題討討論論函函數(shù)數(shù)22),(yxyxfz 在在)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是否否存存在在？方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)是是否否存存在在？思考題解答思考題解答xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy |lim0故兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在故兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在.沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù), )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)均均存存在在且且相相等等.練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù)22yxz 在點(diǎn)在點(diǎn))2 , 1(處沿從點(diǎn)處沿