李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

1、第六章李雅普諾夫穩(wěn)定性分析在反饋控制系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是首先需要考慮的問(wèn)題之一。因?yàn)樗P(guān)系到系統(tǒng)是 否能正常工作。經(jīng)典控制理論中已經(jīng)建立了勞斯判據(jù)、Huiwitz穩(wěn)定判據(jù)、Nquist判據(jù)、對(duì)數(shù)判據(jù)、根軌跡判據(jù)等來(lái)判斷線(xiàn)性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但不適用于非線(xiàn)性和時(shí)變系統(tǒng)。分析非線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性及自振的描述 函數(shù)法，則要求系統(tǒng)的線(xiàn)性部分具有良好的濾除諧波的性能；而相平面法則只適合于一階、二階非線(xiàn) 性系統(tǒng)。1892年俄國(guó)學(xué)者李雅普諾夫(Lyapunov)提出的穩(wěn)定性理論是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的更一般的理論， 它采用狀態(tài)向量來(lái)描述，不僅適用于單變量、線(xiàn)性、定常系統(tǒng)，還適用于多變量、非線(xiàn)性、時(shí)變系統(tǒng)。

2、§ 6-1外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有輸入輸出描述(即外部描述)和狀態(tài)空間描述(即內(nèi)部描述)，相應(yīng)的穩(wěn)定性便分為外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性。一、外部穩(wěn)定性1、定義(外部穩(wěn)定性)：若系統(tǒng)對(duì)所有有界輸入引起的零狀態(tài)響應(yīng)的輸出是有界的，則稱(chēng)該系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。(外部穩(wěn)定性也稱(chēng)為 BIBO( Boun ded In put Bou nded Output)穩(wěn)定性)說(shuō)明：(1) 所謂有界是指如果一個(gè)函數(shù)h(t)，在時(shí)間區(qū)間0,：中，它的幅值不會(huì)增至無(wú)窮，即存在一個(gè)實(shí)常數(shù)k，使得對(duì)于所有的t e 0 co ,恒有h(t)蘭k £ 成立。(2) 所謂零狀態(tài)響應(yīng)，是指零初始狀態(tài)時(shí)非零

3、輸入引起的響應(yīng)。2、系統(tǒng)外部穩(wěn)定性判據(jù)線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)、(A,B,C)的傳遞函數(shù)矩陣為x 二 Ax Buy =CxsX =AX BUY =CX(sI -A)X =BUX =(sI -A)BUG(s) =C(sI _ A) / B當(dāng)且僅當(dāng)G(s)極點(diǎn)都在s的左半平面內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)才是外部穩(wěn)定(或BIBO穩(wěn)定)的。【例6.1.1】已知受控系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為y 二'0 1x0 6 -2X = IX 十 I u'1 -t 11 一試分析系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性。一621 s+計(jì) b J解：系統(tǒng)為SISO系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為_(kāi) sG（S） =C（sl _ A）B = 0 1 1-1s 2= （s2）（

4、s 3）1一 s+3由于傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位于s左平面，故系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。二、內(nèi)部穩(wěn)定性對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng)x = Ax Bu， x（t0） = x0y = Cx如果外部輸入U(xiǎn)（t）二0，初始條件x0為任意，且由x0引起的零輸入響應(yīng)為x（t）二（t,to）Xo滿(mǎn)足lim （t,to）xo 二 0t ）:則稱(chēng)系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，或稱(chēng)為系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。說(shuō)明：線(xiàn)性定常系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定與經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性一致?！纠?.1. 2】已知受控系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為0 6 -2x=h _irii，試分析系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性。解：該系統(tǒng)為線(xiàn)性定常系統(tǒng)，其特征方程為：樹(shù) 一 A =入（九 + 1） 6 =（九-2）（人 +

5、 3） = 0于是系統(tǒng)的特征值為'1 = 2 , ' 2 = 3，故系統(tǒng)不是內(nèi)部穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定）的。三、內(nèi)部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性的關(guān)系1、若系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定）的，則一定是外部穩(wěn)定（BIB O穩(wěn)定）的。2、 若系統(tǒng)是外部穩(wěn)定（BIB O穩(wěn)定）的，且又是可控可觀(guān)測(cè)的，則系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定）的。此 時(shí)內(nèi)部穩(wěn)定和外部穩(wěn)定是等價(jià)的。§ 6-2李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本概念、自治系統(tǒng)沒(méi)有外界輸入作用的系統(tǒng)叫自治系統(tǒng)。自治系統(tǒng)可用如下的顯含時(shí)間t的狀態(tài)方程來(lái)描述X = f (X,t) , x(to) = X。, t _to (6-1)其中X為n維狀態(tài)向量。f (x,t)為線(xiàn)

6、性或非線(xiàn)性、定?；驎r(shí)變的n維向量函數(shù)。假定方程的解為X(t；Xo,t。),式中X。和to分別為初始狀態(tài)向量和初始時(shí)刻，那么初始條件X。必滿(mǎn)足X(t。； Xo,t。)=X。如果系統(tǒng)為線(xiàn)性系統(tǒng)，則(6-1)方程中的f(x,t)為X的線(xiàn)性向量函數(shù)，或按習(xí)慣表示為：X 二 A(t)x ,x(to)二 X。, t _to (6-2)二、平衡狀態(tài)設(shè)控制系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：X 二 f (x,t) , x(t。)= X。, t _t。對(duì)于所有t，如果存在某個(gè)狀態(tài)xe ,滿(mǎn)足：Xe 二 f(Xe，t)二。則稱(chēng)Xe為系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)或平衡狀態(tài)。平衡狀態(tài)的各分量相對(duì)時(shí)間不再發(fā)生變化。若已知系統(tǒng)狀態(tài)方程，令X二。所

7、求得的解x，便是平衡狀態(tài)。在大多數(shù)情況下，Xe =。(狀態(tài)空間原點(diǎn))為系統(tǒng)的一個(gè)平衡狀態(tài)。當(dāng)然，系統(tǒng)也可以有非零平衡狀態(tài)。如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在狀態(tài)空間中表現(xiàn)為彼此分隔的孤立點(diǎn)，則稱(chēng)其為孤立平衡狀態(tài)。對(duì)于孤立平衡狀態(tài)，總是可以通過(guò)移動(dòng)坐標(biāo)系而將其轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間的原點(diǎn)，所以在下面的討論中，假定原點(diǎn)即Xe =。為平衡狀態(tài)。所謂系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，就是研究其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，也即偏離平衡狀態(tài)的受擾運(yùn)動(dòng)，能否只依靠系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)因素而返回到平衡狀態(tài)，或者限制在平衡狀態(tài)的附近。線(xiàn)性定常系統(tǒng)X = AX，其平衡狀態(tài)滿(mǎn)足 AXe二。，只要A非奇異，系統(tǒng)只有唯一的零解，即存 在一個(gè)位于狀態(tài)空間原點(diǎn)的平衡狀態(tài)；當(dāng)

8、A為奇異矩陣時(shí)， Axe =。有無(wú)數(shù)解，也就是系統(tǒng)有無(wú)數(shù)個(gè) 平衡狀態(tài)。對(duì)于非線(xiàn)性系統(tǒng)，f(xe,t)=。的解可能有多個(gè)，由系統(tǒng)狀態(tài)方程決定。、李雅普諾夫意義下穩(wěn)定設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài) X0位于以平衡狀態(tài) Xe為球心、半徑為：的閉球域SG）內(nèi)，即X0 -'xe 一 -；（ ；,to）t = to若能使系統(tǒng)方程的解X（t；Xo，to）在t-:的過(guò)程中，都位于以Xe為球心、任意規(guī)定的半徑為:的閉球 域S（；）內(nèi)，即X（t；X°,to） - Xe 乞；t -to則稱(chēng)該Xe是穩(wěn)定的，通常稱(chēng) Xe為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。以二維系統(tǒng)為例，上述定義的平 面幾何表示如圖6-1所示。X2s(

9、；)XesC)XiXo-初始狀態(tài)Xe-平衡狀態(tài)圖6-1二維空間李雅普諾夫意義下穩(wěn)定性的幾何解釋示意圖式中*稱(chēng)為向量的范數(shù)，其幾何意義是空間距離的尺度。如Xo-Xe表示狀態(tài)空間中Xo至Xe點(diǎn)之間的距離的尺度，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為Xo _Xe、(Xio - Xie)2 (Xno - Xne)2在上述穩(wěn)定性的定義中，如果、：只依賴(lài)于:而和初始時(shí)刻to的選取無(wú)關(guān)，則稱(chēng)平衡狀態(tài)Xe是一致穩(wěn)定的。對(duì)于定常系統(tǒng)，Xe的穩(wěn)定等價(jià)于一致穩(wěn)定。但對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)，Xe的穩(wěn)定并不意味著其為一致穩(wěn)定。要注意到，按李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義，當(dāng)系統(tǒng)作不衰減的振蕩運(yùn)動(dòng)時(shí)，將在平面描繪出一條封閉曲線(xiàn)，但只要不超過(guò) S（），則認(rèn)為穩(wěn)

10、定，這同經(jīng)典控制理論中線(xiàn)性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義是有差異的。四、漸近穩(wěn)定設(shè)Xe是系統(tǒng)X = f （X,t），x（to） =xo , t -to的一個(gè)孤立平衡狀態(tài)，如果（1）Xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的;則稱(chēng)此平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。Xo-初始狀態(tài)Xe-平衡狀態(tài)圖6-2二維空間漸近穩(wěn)定性的幾何解釋示意圖實(shí)際上，漸近穩(wěn)定即為工程意義下的穩(wěn)定，也就是經(jīng)典控制理論中所討論的穩(wěn)定性。當(dāng)關(guān)時(shí)，稱(chēng)平衡狀態(tài)Xe是一致漸近穩(wěn)定的。五、大范圍（全局）漸近穩(wěn)定X e是大范圍漸近穩(wěn)定的。這是因?yàn)榫€(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性，其:.總是有限的，故致漸近穩(wěn)定。當(dāng)初始條件擴(kuò)展到整個(gè)狀態(tài)空間，且具有漸近穩(wěn)定性時(shí)，稱(chēng)此平衡狀態(tài)對(duì)于嚴(yán)格線(xiàn)性系統(tǒng)，

11、如果它是漸近穩(wěn)定的，必具有大范圍漸近穩(wěn)定性， 與初始條件的大小無(wú)關(guān)。一般非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始條件的大小密切相關(guān)通常只能在小范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定。當(dāng)、：與t0無(wú)關(guān)時(shí)，稱(chēng)平衡狀態(tài) Xe是大范圍六、不穩(wěn)定不管把域s（j取得多么小，也不管把域s（；）取得如何的大，只要在s（j內(nèi)存在一個(gè)非零初始狀態(tài)Xo，使得有Xo出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡超出域 S（；）以外，則稱(chēng)平衡狀態(tài) Xe是不穩(wěn)定的。線(xiàn)性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定，表征系統(tǒng)不穩(wěn)定。非線(xiàn)性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定，只說(shuō)明存在局部 發(fā)散的軌跡，至于是否趨于無(wú)窮遠(yuǎn)，要看S（；）域外是否存在其它平衡狀態(tài)，若存在，如有極限環(huán)，則系統(tǒng)仍是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。下面介紹李雅普諾夫理

12、論中判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。§ 6-3李雅普諾夫穩(wěn)定性判別方法一、李雅普諾夫第一法（間接法）這是利用狀態(tài)方程解的特性來(lái)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，它適用于線(xiàn)性定常、線(xiàn)性時(shí)變以及非線(xiàn)性 函數(shù)可線(xiàn)性化的情況。由于本章主要研究線(xiàn)性定常系統(tǒng)，所以在此僅介紹線(xiàn)性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù)。線(xiàn)性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù)：對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng) x = Ax, x(0) = X。, t _0有(1 )系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的充分必要條件是，A的所有特征值均具有非正(負(fù)或零)實(shí)部，且具有零實(shí)部的特征值為A的最小多項(xiàng)式的單根。(2) 系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài) Xe=0是漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，A的所有特征值均具有

13、負(fù)實(shí)部。二、李雅普諾夫第二法(直接法)根據(jù)古典力學(xué)中的振動(dòng)現(xiàn)象，若系統(tǒng)能量(含動(dòng)能與位能)隨時(shí)間推移而衰減，系統(tǒng)遲早回到達(dá)平衡狀態(tài)，但要找到實(shí)際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達(dá)式并非易事。李雅普諾夫提出，可虛構(gòu)一個(gè)能量函數(shù)(后來(lái)被稱(chēng)為李雅普諾夫函數(shù))，一般它與XX2，Xn及t有關(guān)，記為V(X,t)。若不顯含t,則記為V(X)。它是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，考慮到能量函數(shù)總是大于零，故為正定函數(shù)。能量衰減特性用 V(x,t)或V(x)表示。李雅普諾夫第二法利用 V及V的符號(hào)特征，直接對(duì)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性作出判斷，無(wú)需求出系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，故稱(chēng)直接法。用此方法解決了一些用其它穩(wěn)定性判據(jù)難以解決的非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，遺 憾的

14、是對(duì)一般非線(xiàn)性系統(tǒng)仍未形成構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的通用方法。對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，通常用二次型函 數(shù)XT Px作為李雅普諾夫函數(shù)。1、標(biāo)量函數(shù)V(x)符號(hào)性質(zhì)的幾個(gè)定義(1) 正定性標(biāo)量函數(shù)V(x)在域s中對(duì)所有非零狀態(tài)(x = 0)有V(x) 0且V(0) = 0，則稱(chēng)V(x)在域s內(nèi)Xo-初始狀態(tài)2 2 正定。如 V (x)=捲x2是正定的。(2) 負(fù)定性標(biāo)量函數(shù)V(x)在域s中對(duì)所有非零狀態(tài)(x = 0)有V(x) ： 0且V(0) = 0，則稱(chēng)V(x)在域s內(nèi)負(fù)定。如V(x)二-(X； ' x；)是正定的。(3) 正半定性V(0) = 0，且標(biāo)量函數(shù) V(x)在域s內(nèi)某些非零狀態(tài)處有V(x

15、) = 0，而在其它非零狀態(tài)處有V(x) 0且，則稱(chēng)V(x)在域s內(nèi)正半定。女口 V(x) = (Xi 2x2)2，當(dāng)Xi = -2X2時(shí)有V(x)=0 ；當(dāng)X1 - 2x2時(shí)有V ( X) 0，故V(x)為正半定。(4) 負(fù)半定性V(0) =0，且標(biāo)量函數(shù)V(x)在域s內(nèi)某些狀態(tài)處有 V(x) =0，而在其它狀態(tài)處有 V(x) :： 0且,則稱(chēng)V(x)在域s內(nèi)負(fù)半定。女口 V(x -(x1 2x2)2是負(fù)半定的。(5) 不定性標(biāo)量函數(shù)V(x)在域s內(nèi)可正可負(fù)，則稱(chēng) V(x)不定。如VajnXjX?是不定的。2、標(biāo)量函數(shù)V(x)取二次型時(shí)的符號(hào)V(x) =xTPx - lx1 x2-PiiPi

16、2Pin 1_Xi 1Xn】p21P22P2naX2-_PniPn2Pnn 一X 一實(shí)二次型V(x)是正定的充要條件是矩陣式中P為對(duì)稱(chēng)矩陣，有Pij二Pji 。顯然滿(mǎn)足V(0) = 0。當(dāng)P陣的每一個(gè)元都為實(shí)數(shù)時(shí)， 稱(chēng)作實(shí)二次型。P的各順序主子行列式均大于零(賽爾維斯特準(zhǔn)則)，即PiiPi2>0，PiiPi nP2iP22PniPnnPii0，則V(x)正定，且稱(chēng)P為正定矩陣。當(dāng)矩陣P的各順序主子行列式負(fù)、正相間時(shí)，即PiiPi2>0，, (-i)nPiiaPinaP2iP22PniPnnPii ：°，則V(x)負(fù)定，且稱(chēng)P為負(fù)定矩陣。若矩陣P的各順序主子行列式含有等于零

17、的情況,則V( x)為正半定或負(fù)半定。 不屬于以上所有情況的，V(x)為不定?！纠?.3.1】證明下列的二次型是正定的2 2 2V(x) = 10捲 4x2 x3 2xx2 - 2x2x3 - 4XX3證明：上式用矩陣形式表示為101-2切V(x)=xTPx =X2X3】14-1 X22- 11LX3_j由于P11=10 0P11p12101p21p2214P11p12p13p21p22p23=p31p32p3310=39 0-2-1所以，V(x)是正定的。3、李雅普諾夫第二法定理1設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為X = f(x)f (0) =0(2) V(x)是所以該系統(tǒng)如果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù) V(x)，它

18、有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，而且滿(mǎn)足：(1)V(x)是正定的;負(fù)定的，則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的?！纠?.3.2】設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程是X1 = X2 - X1 (x1xf)x2 二-xx2(x.|2 X；)試分析系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是否為漸近穩(wěn)定的。解：令x1 = 0及x2 = 0 ,解得x1 =0 , x2 = 0，故原點(diǎn)為平衡狀態(tài)，且只有一個(gè)平衡狀態(tài)。2 2 2設(shè)V(x)x；，則 V(x) =2X1/ 2X2X2 二-2(X1X2)顯然，對(duì)于x=0存在V(x) ：0以及V(0)=0,故V(x)是負(fù)定的。又由于 V(x)是正定的, 在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。因?yàn)橹挥幸粋€(gè)平衡狀態(tài)，故該

19、系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的?！纠?.3.4】設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程是xj01丁捲1丨=丨I-X2 -T 1X2-試分析系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是否為漸近穩(wěn)定的。 解：這個(gè)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是 X| = X2 = 0。(1) 先猜想一個(gè)能代表系統(tǒng)能量的正定函數(shù)V(x) =2x2 x2則:V(x)工4洛為 2x2x2由原狀態(tài)方程知： x, = x2， x2- x - x2，代入上式得V (x)二 2x,x 2x； 它是不定的，因而無(wú)法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(2) 重新構(gòu)造正定函數(shù) V( X):2 2V(x)=xi X2 2因此：V (x 2x1x1 2x2x2 - -2x2它是負(fù)半定的。但是因?yàn)?V(x)不恒為零，所以可知該

20、系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。V(x)是李亞普諾夫函數(shù)。(3) 再取函數(shù)V(x)二1 (x, x2)2 2x； x； 12因此：V(x) = -(x,2 - x；)是負(fù)定的。且：|x|t 旳，V(X)t 血，故是大范圍漸近穩(wěn)定。從上述例子可以看出，找到一個(gè)系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)證明系統(tǒng)是穩(wěn)定時(shí)，則系統(tǒng)必定是穩(wěn)定的；反 之，如果用李亞普諾夫第二法不能判斷系統(tǒng)是穩(wěn)定時(shí)，并不能得出系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。4.3 線(xiàn)性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線(xiàn)性定常系統(tǒng)可以應(yīng)用各種方法，諸如勞斯一霍爾維茨，奈奎斯特法來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李亞普諾夫直接法也提供了一種穩(wěn)定性判據(jù)的方法。在上一節(jié)的例4-3中，我們用猜想和試探、驗(yàn)證的方法來(lái)找李亞普諾

21、夫函數(shù)，這是很費(fèi)時(shí)的，對(duì)于高階的系統(tǒng)尤其費(fèi)時(shí)，有時(shí)甚至是困難的。在本節(jié)中， 采用二次型函數(shù)來(lái)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性，這種方法較為簡(jiǎn)捷，并且還可以利用這種方法作為基礎(chǔ)來(lái)解參數(shù) 最優(yōu)問(wèn)題以及某些控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題。設(shè)線(xiàn)性定常系統(tǒng)為式中x是n維狀態(tài)向量。如果采用二次型函數(shù)作為李亞普諾夫函數(shù)，即（4-19）（4-20）（4-21）（4-22）（4-23）V x 二xTPx式中P是正定的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。那么對(duì)上式求導(dǎo)得V x =xTPx xTPx將式（4-18 ）代入（4-20 ）式得V x = xTPAx xTATPx 二 XT PA AtP x令_Q = PA AtP代入式（4-21 ）得V x = -xTQx從上式可以看出，為了判定V（X）是否負(fù)定，只需要判定 Q是否正定。因此，判定線(xiàn)性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性可如下進(jìn)行：選定一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣P,按式（4-