最新人教A版數(shù)學(xué)必修四教案：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、最新人教版數(shù)學(xué)精品教學(xué)資料3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式整體設(shè)計(jì)一、教學(xué)分析 “二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了兩角和與差的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究具有“二倍角”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的，它既是兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又為以后求三角函數(shù)值、化簡(jiǎn)、證明提供了非常有用的理論工具、通過(guò)對(duì)二倍角的推導(dǎo)知道，二倍角的內(nèi)涵是：揭示具有倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律、通過(guò)推導(dǎo)還讓學(xué)生加深理解了高中數(shù)學(xué)由一般到特殊的化歸思想、因此本節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算和邏輯推理能力的重要內(nèi)容，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力都有著十分重要的意義. 本節(jié)課

2、通過(guò)教師提出問(wèn)題、設(shè)置情境及對(duì)和角公式中、關(guān)系的特殊情形=時(shí)的簡(jiǎn)化，讓學(xué)生在探究中既感到自然、易于接受，還可清晰知道和角的三角函數(shù)與倍角公式的聯(lián)系，同時(shí)也讓學(xué)生學(xué)會(huì)怎樣發(fā)現(xiàn)規(guī)律及體會(huì)由一般到特殊的化歸思想.這一切教師要引導(dǎo)學(xué)生自己去做,因?yàn)?，?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出：“要讓學(xué)生在參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在具體情境中初步認(rèn)識(shí)對(duì)象的特征，獲得一些體驗(yàn)”. 在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中不要過(guò)多地補(bǔ)充一些高技巧、高難度的練習(xí)，更不要再補(bǔ)充一些較為復(fù)雜的積化和差或和差化積的恒等變換，否則就違背了新課標(biāo)在這一章的編寫(xiě)意圖和新課改精神.二、教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能：通過(guò)讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)二倍角公式,了解它們之間、以及它們與和角公式

3、之間的內(nèi)在聯(lián)系,并通過(guò)強(qiáng)化題目的訓(xùn)練,加深對(duì)二倍角公式的理解，培養(yǎng)運(yùn)算能力及邏輯推理能力,從而提高解決問(wèn)題的能力.2過(guò)程與方法：通過(guò)二倍角的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值、化簡(jiǎn)、恒等證明.體會(huì)化歸這一基本數(shù)學(xué)思想在發(fā)現(xiàn)中和求值、化簡(jiǎn)、恒等證明中所起的作用.使學(xué)生進(jìn)一步掌握聯(lián)系變化的觀點(diǎn)，自覺(jué)地利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來(lái)分析問(wèn)題，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.3情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟?qū)ふ覕?shù)學(xué)規(guī)律的方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，以及善于發(fā)現(xiàn)和勇于探索的科學(xué)精神.三、重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：二倍角公式推導(dǎo)及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：如何靈活應(yīng)用和、差、倍角公式進(jìn)行三角式化簡(jiǎn)、求值、證

4、明恒等式.四、課時(shí)安排1課時(shí)五、教學(xué)設(shè)想（一）導(dǎo)入新課 思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)請(qǐng)學(xué)生回憶上兩節(jié)共同探討的和角公式、差角公式，并回憶這組公式的來(lái)龍去脈，然后讓學(xué)生默寫(xiě)這六個(gè)公式.教師引導(dǎo)學(xué)生：和角公式與差角公式是可以互相化歸的.當(dāng)兩角相等時(shí),兩角之和便為此角的二倍,那么是否可把和角公式化歸為二倍角公式呢?今天,我們進(jìn)一步探討一下二倍角的問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們思考一下，應(yīng)解決哪些問(wèn)題呢？由此展開(kāi)新課. 思路2.(問(wèn)題導(dǎo)入)出示問(wèn)題，讓學(xué)生計(jì)算，若sin=,(,),求sin2，cos2的值.學(xué)生會(huì)很容易看出：sin2=sin(+)=sincos+cossin=2sincos的，以此展開(kāi)新課，并由此展開(kāi)聯(lián)想推出

5、其他公式.（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問(wèn)題還記得和角的正弦、余弦、正切公式嗎？(請(qǐng)學(xué)生默寫(xiě)出來(lái)，并由一名學(xué)生到黑板默寫(xiě))你寫(xiě)的這三個(gè)公式中角、會(huì)有特殊關(guān)系=嗎？此時(shí)公式變成什么形式？在得到的c2公式中，還有其他表示形式嗎？細(xì)心觀察二倍角公式結(jié)構(gòu)，有什么特征呢？能看出公式中角的含義嗎？思考過(guò)公式成立的條件嗎？讓學(xué)生填空：老師隨機(jī)給出等號(hào)一邊括號(hào)內(nèi)的角，學(xué)生回答等號(hào)另一邊括號(hào)內(nèi)的角，稍后兩人為一組，做填數(shù)游戲：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos2( )-sin2( ).思考過(guò)公式的逆用嗎？想一想c2還有哪些變形？請(qǐng)思考以下問(wèn)題：sin2=2sin嗎？cos2=2cos

6、嗎？tan2=2tan？ 活動(dòng)：?jiǎn)栴},學(xué)生默寫(xiě)完后，教師打出課件，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察正弦、余弦的和角公式，提醒學(xué)生注意公式中的,，既然可以是任意角，怎么任意的？你會(huì)有些什么樣的奇妙想法呢？并鼓勵(lì)學(xué)生大膽試一試.如果學(xué)生想到,會(huì)有相等這個(gè)特殊情況，教師就此進(jìn)入下一個(gè)問(wèn)題，如果學(xué)生沒(méi)想到這種特殊情況，教師適當(dāng)點(diǎn)撥進(jìn)入問(wèn)題，然后找一名學(xué)生到黑板進(jìn)行簡(jiǎn)化，其他學(xué)生在自己的座位上簡(jiǎn)化、教師再與學(xué)生一起集體訂正黑板的書(shū)寫(xiě)，最后學(xué)生都不難得出以下式子，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試一下，對(duì)得出的結(jié)論給出解釋.這個(gè)過(guò)程教師要舍得花時(shí)間，充分地讓學(xué)生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意義.同時(shí)開(kāi)拓學(xué)生的思維空間，為學(xué)生將來(lái)遇到的

7、3或3等角的探究附設(shè)類(lèi)比聯(lián)想的源泉.sin(+)=sincos+cossinsin2=2sincos（s2）;cos(+)=coscos-sinsincos2=cos2-sin2(c2);tan(+)= 這時(shí)教師適時(shí)地向?qū)W生指出，我們把這三個(gè)公式分別叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書(shū)，確切明了二倍角的含義，以后的“倍角”專(zhuān)指“二倍角”、教師適時(shí)提出問(wèn)題，點(diǎn)撥學(xué)生結(jié)合sin2+cos2=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示為以下右表中的公式. 這時(shí)教師點(diǎn)出，這些公式都叫做倍角公式（用多媒體演示）.倍角公式給出了的三角函數(shù)與2的三角函數(shù)之間的關(guān)系. 問(wèn)題,教師指導(dǎo)學(xué)生，這組公式

8、用途很廣，并與學(xué)生一起觀察公式的特征與記憶，首先公式左邊角是右邊角的2倍；左邊是2的三角函數(shù)的一次式，右邊是的三角函數(shù)的二次式，即左到右升冪縮角，右到左降冪擴(kuò)角、二倍角的正弦是單項(xiàng)式，余弦是多項(xiàng)式，正切是分式. 問(wèn)題,因?yàn)檫€沒(méi)有應(yīng)用，對(duì)公式中的含義學(xué)生可能還理解不到位，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察思考并初步感性認(rèn)識(shí)到：()這里的“倍角”專(zhuān)指“二倍角”,遇到“三倍角”等名詞時(shí),“三”字等不可省去；()通過(guò)二倍角公式,可以用單角的三角函數(shù)表示二倍角的三角函數(shù)；()二倍角公式是兩角和的三角函數(shù)公式的特殊情況；()公式(s2),(c2)中的角沒(méi)有限制，都是r.但公式(t2)需在k+和k+(kz)時(shí)才成立，這一條

9、件限制要引起學(xué)生的注意.但是當(dāng)=k+,kz時(shí),雖然tan不存在,此時(shí)不能用此公式，但tan2是存在的,故可改用誘導(dǎo)公式. 問(wèn)題,填空是為了讓學(xué)生明了二倍角的相對(duì)性，即二倍角公式不僅限于2是的二倍的形式,其他如4是2的二倍,是的二倍,3是的二倍,是的二倍，-是-的二倍等,所有這些都可以應(yīng)用二倍角公式.例如:sin=2sincos,cos=cos2-sin2等等. 問(wèn)題,本組公式的靈活運(yùn)用還在于它的逆用以及它的變形用，這點(diǎn)教師更要提醒學(xué)生引起足夠的注意.如:sin3cos3=sin6，4sincos=2(2sincos)=2sin,=tan80°，cos22-sin22=cos4，tan

10、2=2tan(1-tan2)等等. 問(wèn)題,一般情況下:sin22sin,cos22cos,tan22tan.若sin2=2sin,則2sincos=2sin,即sin=0或cos=1,此時(shí)=k(kz).若cos2=2cos,則2cos2-2cos-1=0,即cos=(cos=舍去).若tan2=2tan,則=2tan,tan=0,即=k(kz).解答：（略）（三）應(yīng)用示例思路1例1 已知sin2=,<<,求sin4,cos4,tan4的值. 活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中角的關(guān)系，觀察所給條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)，注意二倍角公式的選用，領(lǐng)悟“倍角”是相對(duì)的這一換元思想.讓學(xué)生體會(huì)“倍”的深刻

11、含義，它是描述兩個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的.本題中的已知條件給出了2的正弦值.由于4是2的二倍角,因此可以考慮用倍角公式.本例是直接應(yīng)用二倍角公式解題，目的是為了讓學(xué)生初步熟悉二倍角的應(yīng)用，理解二倍角的相對(duì)性，教師大膽放手，可讓學(xué)生自己獨(dú)立探究完成.解:由<<,得<2<.又sin2=,cos2=.于是sin4=sin2×(2)=2sin2cos2=2××()=;cos4=cos2×(2)=1-2sin22=1-2×()2=;tan4=(-)×=. 點(diǎn)評(píng)：學(xué)生由問(wèn)題中條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)不難想象出解法，但要提醒學(xué)生注意,在解題

12、時(shí)注意優(yōu)化問(wèn)題的解答過(guò)程，使問(wèn)題的解答簡(jiǎn)捷、巧妙、規(guī)范，并達(dá)到熟練掌握的程度.本節(jié)公式的基本應(yīng)用是高考的熱點(diǎn).變式訓(xùn)練1.不查表,求值:sin15°+cos15°.解:原式= 點(diǎn)評(píng)：本題在兩角和與差的學(xué)習(xí)中已經(jīng)解決過(guò)，現(xiàn)用二倍角公式給出另外的解法，讓學(xué)生體會(huì)它們之間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)變化的魅力.2.(2007年高考海南卷,9) 若,則cos+sin的值為( )a. b. c. d.答案:c3.(2007年高考重慶卷,6) 下列各式中,值為的是( )a.2sin15°-cos15° b.cos215°-sin215°c.2sin215&#

13、176;-1 d.sin215°+cos215°答案:b例2 證明=tan. 活動(dòng)：先讓學(xué)生思考一會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生充分發(fā)揮聰明才智，戰(zhàn)勝它，并力爭(zhēng)一題多解.教師可點(diǎn)撥學(xué)生想一想，到現(xiàn)在為止，所學(xué)的證明三角恒等式的方法大致有幾種：從復(fù)雜一端化向簡(jiǎn)單一端；兩邊化簡(jiǎn)，中間碰頭；化切為弦；還可以利用分析綜合法解決，有時(shí)幾種方法會(huì)同時(shí)使用等.對(duì)找不到思考方向的學(xué)生，教師點(diǎn)出：可否再添加一種，化倍角為單角？這可否成為證明三角恒等式的一種方法？再適時(shí)引導(dǎo)，前面學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時(shí)曾用到“1”的代換，對(duì)“1”的妙用大家深有體會(huì)，這里可否在“1”上做做文章？ 待學(xué)生探究解決方法后，可找?guī)?/p>

14、個(gè)學(xué)生到黑板書(shū)寫(xiě)解答過(guò)程，以便對(duì)照點(diǎn)評(píng)及給學(xué)生以啟發(fā).點(diǎn)評(píng)時(shí)對(duì)能夠善于運(yùn)用所學(xué)的新知識(shí)解決問(wèn)題的學(xué)生給予贊揚(yáng)；對(duì)暫時(shí)找不到思路的學(xué)生給予點(diǎn)撥、鼓勵(lì).強(qiáng)調(diào)“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出現(xiàn)，在證明過(guò)程中就會(huì)起到至關(guān)重要的作用，在今后的證題中，萬(wàn)萬(wàn)不要忽視它.證明:方法一:左=tan=右.所以,原式成立.方法二:左=tan=右.方法三:左=tan=右. 點(diǎn)評(píng)：以上幾種方法大致遵循以下規(guī)律：首先從復(fù)雜端化向簡(jiǎn)單端；第二，化倍角為單角，這是我們今天剛剛學(xué)習(xí)的；第三，證題中注意對(duì)數(shù)字的處理，尤其“1”的代換的妙用，請(qǐng)同學(xué)們?cè)谔骄恐凶屑?xì)體會(huì)這點(diǎn).在這道題中通常用的幾種方法都用到了，不論用哪一種

15、方法，都要思路清晰，書(shū)寫(xiě)規(guī)范才是.思路2例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值. 活動(dòng)：本例是一道靈活應(yīng)用二倍角公式的經(jīng)典例題，有一定難度，但也是訓(xùn)練學(xué)生思維能力的一道好題.本題需要公式的逆用，逆用公式的先決條件是認(rèn)識(shí)公式的本質(zhì)，要善于把表象的東西拿開(kāi)，正確捕捉公式的本質(zhì)屬性，以便合理運(yùn)用公式.教學(xué)中教師可讓學(xué)生充分進(jìn)行討論探究，不要輕易告訴學(xué)生解法，可適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生需要做怎樣的變化，又需怎樣應(yīng)用二倍角公式.并點(diǎn)撥學(xué)生結(jié)合誘導(dǎo)公式思考.學(xué)生經(jīng)過(guò)探索發(fā)現(xiàn)，如果用誘導(dǎo)公式把10°，30°，50°，70

16、6;正弦的積化為20°,40°,60°,80°余弦的積,其中60°是特殊角,很容易發(fā)現(xiàn)40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考慮逆用二倍角公式.解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20°= 點(diǎn)評(píng)：二倍角公式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)之一，又是解答許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要模型和工具，具有靈活多變，技巧性強(qiáng)的特點(diǎn)，要注意在訓(xùn)練中細(xì)心體會(huì)其變化規(guī)律.例2 在abc中,cosa=,tanb=2,求tan(2a+2b)的值. 活動(dòng)：這是本節(jié)課本上最后一個(gè)例題

17、，結(jié)合三角形，具有一定的綜合性,同時(shí)也是和與差公式的應(yīng)用問(wèn)題.教師可引導(dǎo)學(xué)生注意在三角形的背景下研究問(wèn)題,會(huì)帶來(lái)一些隱含的條件,如a+b+c=,0<a<,0<b<,0<c<,就是其中的一個(gè)隱含條件.可先讓學(xué)生討論探究，教師適時(shí)點(diǎn)撥.學(xué)生探究解法時(shí)教師進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思考由條件到結(jié)果的函數(shù)及角的聯(lián)系.由于對(duì)2a+2b與a,b之間關(guān)系的看法不同會(huì)產(chǎn)生不同的解題思路,所以學(xué)生會(huì)產(chǎn)生不同的解法，不過(guò)它們都是對(duì)倍角公式、和角公式的聯(lián)合運(yùn)用，本質(zhì)上沒(méi)有區(qū)別.不論學(xué)生的解答正確與否，教師都不要直接干預(yù).在學(xué)生自己嘗試解決問(wèn)題后,教師可與學(xué)生一起比較各種不同的解法，并引導(dǎo)學(xué)生

18、進(jìn)行解題方法的歸納總結(jié).基礎(chǔ)較好的班級(jí)還可以把求tan(2a+2b)的值改為求tan2c的值.解：方法一:在abc中,由cosa=,0<a<,得sina=所以tana=×=,tan2a=又tanb=2,所以tan2b=于是tan(2a+2b)=方法二:在abc中,由cosa=,0<a<,得sina=所以tana=×=.又tanb=2,所以tan(a+b)=于是tan(2a+2b)=tan2(a+b)= 點(diǎn)評(píng)：以上兩種方法都是對(duì)倍角公式、和角公式的聯(lián)合運(yùn)用,本質(zhì)上沒(méi)有區(qū)別,其目的是為了鼓勵(lì)學(xué)生用不同的思路去思考,以拓展學(xué)生的視野.變式訓(xùn)練化簡(jiǎn)：解：原式=cot2.（四）知能訓(xùn)練 (2007年高考四川卷,17) 已知cos=,cos(-)=,且0<<<,(1)求tan2的值;(2)求.解:(1)由cos=,0<<,得sin=tan=4.于是tan2=(2)由0<<<,得0<-<.又cos(-)= ,sin(-)=由=-(-),得cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=