高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課件85直線、平面垂直的判定及性質(zhì)

1、8.5 8.5 直線、平面垂直的判定及性質(zhì)直線、平面垂直的判定及性質(zhì)要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1.1.直線與平面垂直直線與平面垂直 （1 1）判定直線和平面垂直的方法）判定直線和平面垂直的方法 定義法定義法. . 利用判定定理：一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條利用判定定理：一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條 直線都垂直，則該直線和此平面垂直直線都垂直，則該直線和此平面垂直. . 推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直 于一個(gè)平面，那么另一條直線也于一個(gè)平面，那么另一條直線也 于這個(gè)平面于這個(gè)平面. .相交相交垂直垂直基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) (2) (2)直線和平面垂直

2、的性質(zhì)直線和平面垂直的性質(zhì) 直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi) 直線直線. . 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線垂直于同一個(gè)平面的兩條直線 . . 垂直于同一直線的兩平面垂直于同一直線的兩平面 . .2.2.斜線和平面所成的角斜線和平面所成的角 斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線 和平面所成的角和平面所成的角. .3.3.二面角的有關(guān)概念二面角的有關(guān)概念 （1 1）二面角：從一條直線出發(fā)的）二面角：從一條直線出發(fā)的 所所 組成的圖形叫做二面角組成的圖形叫做二面角. .任意任意平行平行平行平行兩個(gè)半平面兩個(gè)半平面 （2 2）二面角

3、的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)）二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn) 為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作 的兩的兩 條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平 面角面角. .4.4.平面與平面垂直平面與平面垂直 (1)(1)平面與平面垂直的判定方法平面與平面垂直的判定方法 定義法定義法. . 利用判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的利用判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的 ，則這兩個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面垂直. . (2) (2)平面與平面垂直的性質(zhì)平面與平面垂直的性質(zhì) 兩平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于 的直線的直

4、線 垂直于另一個(gè)平面垂直于另一個(gè)平面. .垂直于棱垂直于棱一條垂線一條垂線交線交線基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)1.1.設(shè)設(shè)l l、m m、n n均為直線，其中均為直線，其中m m、n n在平面在平面內(nèi)，內(nèi)， 則則“l(fā) l”是是“l(fā) lm m且且l ln n”的的( )( ) a. a.充分不必要條件充分不必要條件 b.b.必要不充分條件必要不充分條件 c.c.充要條件充要條件 d.d.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析解析 當(dāng)當(dāng)l l時(shí)，時(shí)，l lm m且且l ln n. .但當(dāng)?shù)?dāng)l lm m, ,l ln n 時(shí)，若時(shí)，若m m、n n不是相交直線，則得不到不是相交直線，則得不到l l.

5、.a2.2.若若p p是平面是平面外一點(diǎn)外一點(diǎn), ,則下列命題正確的是則下列命題正確的是( )( ) a. a.過(guò)過(guò)p p只能作一條直線與平面只能作一條直線與平面相交相交 b.b.過(guò)過(guò)p p可作無(wú)數(shù)條直線與平面可作無(wú)數(shù)條直線與平面垂直垂直 c.c.過(guò)過(guò)p p只能作一條直線與平面只能作一條直線與平面平行平行 d.d.過(guò)過(guò)p可作無(wú)數(shù)條直線與平面可作無(wú)數(shù)條直線與平面平行平行 解析解析 過(guò)過(guò)p p點(diǎn)存在一平面與點(diǎn)存在一平面與平行，則該平面內(nèi)平行，則該平面內(nèi) 過(guò)過(guò)p p的直線有無(wú)數(shù)條都與的直線有無(wú)數(shù)條都與平行平行. .d3.3.（20092009廣東理，廣東理，5 5）給定下列四個(gè)命題給定下列四個(gè)命題:

6、 : 若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都 平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；平行，那么這兩個(gè)平面相互平行； 若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這 兩個(gè)平面相互垂直；兩個(gè)平面相互垂直； 垂直于同一直線的兩條直線相互平行；垂直于同一直線的兩條直線相互平行； 若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的 交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直. . 其中，為真命題的是其中，為真命題的是( )( ) a. a.和和 b. b.和和 c. c.和和 d. d.和和解

7、析解析 當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的兩條直當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線可以平行于另一個(gè)平面，故線可以平行于另一個(gè)平面，故不對(duì)；由平面與不對(duì)；由平面與平面垂直的判定可知平面垂直的判定可知正確；空間中垂直于同一正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以相交也可以異面，故條直線的兩條直線可以相交也可以異面，故不對(duì)；若兩個(gè)平面垂直，只有在一個(gè)平面內(nèi)與它不對(duì)；若兩個(gè)平面垂直，只有在一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平面垂直，故們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平面垂直，故正確正確. .答案答案 d d4.4.（20082008湖南文，湖南文，5 5）已知直線已知直線m m、n n和平面和平

8、面、 滿足滿足m mn n，m m，則，則( )( ) a. a.n n b.b.n n，或，或n n c. c.n n d.d.n n, ,或或n n 解析解析 n n與與的位置關(guān)系各種可能性都有，的位置關(guān)系各種可能性都有， aa、b b都不對(duì)都不對(duì). .當(dāng)當(dāng)n n時(shí)，作時(shí)，作n nn n, ,且且n nm m = =o o, ,則則n n與與m m確定平面確定平面, ,設(shè)設(shè)= =l l, ,則有則有m ml l, , 又又m mn n,所以所以l ln n,l ln n,n n; ;當(dāng)當(dāng)n n 時(shí)，顯然成立時(shí)，顯然成立. .故故c c不對(duì)，不對(duì)，d d正確正確. .d5.5.下列命題中，下

9、列命題中，m m、n n表示兩條不同的直線，表示兩條不同的直線，、 表示三個(gè)不同的平面表示三個(gè)不同的平面. . 若若m m, ,n n, ,則則m mn n; ;若若, , , 則則； 若若m m, ,n n, ,則則m mn n; ;若若, , , m m, ,則則m m. . 正確的命題是正確的命題是( )( ) a. a. b. b. c. c. d. d. 解析解析 中平面中平面與與可能相交，可能相交，中中m m與與n n可以可以 是相交直線或異面直線是相交直線或異面直線. .故故錯(cuò)，選錯(cuò)，選c.c.c題型一題型一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 如圖所示如圖所示

10、, ,已知已知papa矩形矩形abcdabcd所在平面所在平面, , m m，n n分別是分別是abab，pcpc的中點(diǎn)的中點(diǎn). . (1) (1)求證：求證：mnmncdcd； (2)(2)若若pdapda=45=45. . 求證：求證：mnmn平面平面pcdpcd. . (1)(1)因因m m為為abab中點(diǎn)中點(diǎn), ,只要證只要證anb anb 為等為等 腰三角形腰三角形, ,則利用等腰三角形的性質(zhì)可得則利用等腰三角形的性質(zhì)可得mnmnab.ab. (2) (2)已知已知mnmncdcd，只需再證，只需再證mnmnpcpc, ,易看出易看出 pmcpmc為等腰三角形，利用為等腰三角形，利用

11、n n為為pcpc的中點(diǎn)，可的中點(diǎn)，可 得得mnmnpcpc. .題型分類題型分類 深度剖析深度剖析證明證明 （1 1）連接）連接acac，anan，bnbn，papa平面平面abcdabcd，papaacac，在在rtrtpacpac中，中，n n為為pcpc中點(diǎn)，中點(diǎn)，papa平面平面abcdabcd，papabcbc，又，又bcbcabab，papaabab= =a a，bcbc平面平面pabpab，bcbcpbpb，從而在從而在rtrtpbcpbc中，中，bnbn為斜邊為斜邊pcpc上的中線，上的中線， anan= =bnbn，abnabn為等腰三角形，為等腰三角形，又又m m為底邊為

12、底邊abab的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，mnmnabab，又又ababcdcd，mnmncdcd. .21pcan .21pcbn (2)(2)連接連接pmpm、cmcm,pdapda=45=45, ,papaadad, ,apap= =adad. .四邊形四邊形abcdabcd為矩形，為矩形，adad= =bcbc，papa= =bcbc. .又又m m為為abab的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，amam= =bmbm. .而而pampam=cbmcbm=90=90,pmpm= =cmcm. .又又n n為為pcpc的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，mnmnpcpc. .由（由（1 1）知，）知，mnmncdcd，pcpccdcd= =

13、c c, ,mnmn平面平面pcdpcd. . 垂直問(wèn)題的證明，其一般規(guī)律是垂直問(wèn)題的證明，其一般規(guī)律是“由已由已知想性質(zhì)，由求證想判定知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說(shuō)，根據(jù)已，也就是說(shuō)，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來(lái)合的思路結(jié)合起來(lái). .知能遷移知能遷移1 1 rtrtabcabc所在平面外一點(diǎn)所在平面外一點(diǎn)s s, ,且且sasa= =sbsb= = scsc，d d為斜邊為斜邊acac中點(diǎn)中點(diǎn). . （1 1）求證：）求證：sd

14、sd面面abcabc； （2 2）若）若abab= =bcbc，求證：，求證：bdbd面面sacsac. . 證明證明 （1 1）如圖所示，?。┤鐖D所示，取abab中點(diǎn)中點(diǎn)e e， 連結(jié)連結(jié)sese，dede， 在在rtrtabcabc中，中，d d、e e分別為分別為acac、 abab的中點(diǎn)，故的中點(diǎn)，故dedebcbc，且，且dedeabab, , sasa= =sbsb， sabsab為等腰三角形，為等腰三角形，seseabab. . seseabab，dedeabab，sesedede= =e e， abab面面sdesde. .而而sdsd面面sdesde，ababsdsd. .在

15、在sacsac中，中，sasa= =scsc，d d為為acac中點(diǎn)，中點(diǎn)，sdsdacac. .sdsdacac, ,sdsdabab, ,acacabab= =a a,sdsd面面abcabc. .（2 2）若）若abab= =bcbc，則，則bdbdacac，由（由（1 1）可知，）可知，sdsd面面abcabc，而，而bdbd面面abcabc，sdsdbdbd，sdsdbdbd, ,bdbdacac, ,sdsdacac= =d d,bdbd面面sacsac. .題型二題型二 面面垂直的判定與性質(zhì)面面垂直的判定與性質(zhì) 如圖所示，在四棱錐如圖所示，在四棱錐p pabcdabcd 中，平面

16、中，平面padpad平面平面abcdabcd，ababdcdc， padpad是等邊三角形是等邊三角形, ,已知已知bdbd=2=2adad=8=8， abab=2=2dcdc=4 .=4 . (1) (1)設(shè)設(shè)m m是是pcpc上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)， 證明：平面證明：平面mbdmbd平面平面padpad； (2)(2)求四棱錐求四棱錐p pabcdabcd的體積的體積. . (1)(1)因?yàn)閮善矫娲怪迸c因?yàn)閮善矫娲怪迸cm m點(diǎn)位置無(wú)點(diǎn)位置無(wú) 關(guān)，所以在平面關(guān)，所以在平面mbdmbd內(nèi)一定有一條直線垂直于內(nèi)一定有一條直線垂直于 平面平面padpad，考慮證明，考慮證明bdbd平面平面padpad

17、. . (2) (2)四棱錐底面為一梯形四棱錐底面為一梯形, ,高為高為p p到面到面abcdabcd的距離的距離. .5(1)(1)證明證明 在在abdabd中中,adad=4,=4,bdbd=8,=8,abab=4 ,=4 ,adad2 2+ +bdbd2 2= =abab2 2.adadbdbd. .又又面面padpad面面abcdabcd，面，面padpad面面abcdabcd= =adad，bdbd面面abcdabcd，bdbd面面padpad. .又又bdbd面面bdmbdm，面面mbdmbd面面padpad. .(2)(2)解解 過(guò)過(guò)p p作作popoadad，面面padpad面

18、面abcdabcd，popo面面abcdabcd，即即popo為四棱錐為四棱錐p pabcdabcd的高的高. .又又padpad是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為4 4的等邊三角形，的等邊三角形，popo= =. 325在底面四邊形在底面四邊形abcdabcd中，中，ababdcdc，abab=2=2dcdc，四邊形四邊形abcdabcd為梯形為梯形. .在在rtrtadbadb中，斜邊中，斜邊abab邊上的高為邊上的高為此即為梯形的高此即為梯形的高. . 當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，常作的輔助線是當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，常作的輔助線是在其中一個(gè)面內(nèi)作交線的垂線在其中一個(gè)面內(nèi)作交線的垂線. .把面面垂直轉(zhuǎn)化為把面面垂直轉(zhuǎn)化為

19、線面垂直，進(jìn)而可以證明線線垂直，構(gòu)造二面角線面垂直，進(jìn)而可以證明線線垂直，構(gòu)造二面角的平面角或得到點(diǎn)到面的距離等的平面角或得到點(diǎn)到面的距離等. .,5585484. 316322431.2455825452abcdpabcdvs四邊形知能遷移知能遷移2 2 在斜三棱柱在斜三棱柱a a1 1b b1 1c c1 1abcabc中，底面是等腰中，底面是等腰 三角形，三角形，abab= =acac，側(cè)面，側(cè)面bbbb1 1c c1 1c c底面底面abcabc. . (1) (1)若若d d是是bcbc的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：adadcccc1 1； (2)(2)過(guò)側(cè)面過(guò)側(cè)面bbbb1 1c c

20、1 1c c的對(duì)角線的對(duì)角線bcbc1 1的平面交側(cè)棱于的平面交側(cè)棱于 m m, ,若若amam= =mama1 1, ,求證：截面求證：截面mbcmbc1 1側(cè)面?zhèn)让鎎bbb1 1c c1 1c c. . 證明證明 (1)(1)abab= =acac, ,d d是是bcbc的中點(diǎn)的中點(diǎn),adadbcbc. . 底面底面abcabc平面平面bbbb1 1c c1 1c c， 面面abcabc面面bbbb1 1c c1 1c c= =bcbc， adad側(cè)面?zhèn)让鎎bbb1 1c c1 1c c. . cccc1 1面面bbbb1 1c c1 1c c，adadcccc1 1. .（2 2）延長(zhǎng)）

21、延長(zhǎng)b b1 1a a1 1與與bmbm交于交于n n，連結(jié)，連結(jié)c c1 1n n. .amam= =mama1 1，nana1 1= =a a1 1b b1 1. .a a1 1b b1 1= =a a1 1c c1 1，a a1 1c c1 1= =a a1 1n n= =a a1 1b b1 1. .c c1 1n nc c1 1b b1 1. .截面截面nbnb1 1c c1 1側(cè)面?zhèn)让鎎bbb1 1c c1 1c c，面面nbnb1 1c c1 1面面bbbb1 1c c1 1c c= =c c1 1b b1 1，c c1 1n n側(cè)面?zhèn)让鎎bbb1 1c c1 1c c.c c1

22、 1n n面面c c1 1nbnb，截面截面c c1 1nbnb側(cè)面?zhèn)让鎎bbb1 1c c1 1c c. .即截面即截面mbcmbc1 1側(cè)面?zhèn)让鎎bbb1 1c c1 1c c. .題型三題型三 線面角的求法線面角的求法 （1212分）如圖所示，在四棱錐分）如圖所示，在四棱錐p p abcdabcd中，底面為直角梯形，中，底面為直角梯形，adadbcbc， badbad=90=90，papa底面底面abcdabcd, ,且且 papa= =adad= =abab=2=2bcbc, ,m m、n n分別為分別為pcpc、pbpb的中點(diǎn)的中點(diǎn). . （1 1）求證：）求證：pbpbdmdm；

23、（2 2）求）求bdbd與平面與平面admnadmn所成的角所成的角. . （1 1）易證）易證pbpb平面平面admnadmn. . （2 2）構(gòu)造直線和平面所成的角，解三角形）構(gòu)造直線和平面所成的角，解三角形. . （1 1）證明證明 n n是是pbpb的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，papa= =abab， ananpbpb.badbad=90=90，adadabab. . papa平面平面abcdabcd，papaadad. .papaabab= =a a，adad平面平面pabpab，adadpbpb.4.4分分又又adadanan= =a a，pbpb平面平面admnadmn. . 平面平面adm

24、nadmn，pbpbdmdm. 6. 6分分（2 2）解解 連接連接dndn，pbpb平面平面admnadmn，bdnbdn是是bdbd與平面與平面admnadmn所成的角，所成的角，8 8分分在在rtrtbdnbdn中，中， 1010分分bdnbdn=30=30, ,即即bdbd與平面與平面admnadmn所成的角為所成的角為3030. 12. 12分分,212221sinababbdbnbdndm 求直線和平面所成的角，關(guān)鍵是利用定求直線和平面所成的角，關(guān)鍵是利用定義作出直線和平面所成的角義作出直線和平面所成的角. .必要時(shí)，可利用平行必要時(shí)，可利用平行線與同一平面所成角相等，平移直線位置

25、，以方線與同一平面所成角相等，平移直線位置，以方便尋找直線在該平面內(nèi)的射影便尋找直線在該平面內(nèi)的射影. .知能遷移知能遷移3 3 如圖所示，四面體如圖所示，四面體abcsabcs中，中， sasa、sbsb、scsc兩兩垂直，兩兩垂直，sbasba=45=45， sbcsbc=60=60，m m為為abab的中點(diǎn)的中點(diǎn). .求：求： （1 1）bcbc與平面與平面sabsab所成的角；所成的角； （2 2）scsc與平面與平面abcabc所成的角的正切值所成的角的正切值. .解解 （1 1）scscsbsb，scscsasa，sbsbsasa= =s s，scsc平面平面sabsab，bcbc

26、在平面在平面sabsab上的射影為上的射影為sbsb. .sbcsbc為為bcbc與平面與平面sabsab所成的角所成的角. .又又sbcsbc=60=60, ,故故bcbc與平面與平面sabsab所成的角為所成的角為6060. .（2 2）連結(jié)）連結(jié)mcmc，在，在rtrtasbasb中，中，sbasba=45=45，asbasb為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，smsmabab，由（由（1 1）知）知ababscsc，ababsmsm= =m m，abab平面平面smcsmc， 平面平面abcabc平面平面smcsmc平面平面abcabc. .過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)s s作作sosomcmc于點(diǎn)于點(diǎn)o

27、 o，soso平面平面abcabc. .scmscm為為scsc與平面與平面abcabc所成的角所成的角. .由（由（1 1）知）知scsc平面平面sabsab，又又 平面平面sabsab，scscsmsm，smcsmc為直角三角形為直角三角形. .設(shè)設(shè)sbsb= =a a，即即scsc與平面與平面abcabc所成的角的正切值為所成的角的正切值為 . .,360tan,22asbscasm則.66tanscsmscm66absm題型四題型四 二面角的求法二面角的求法 如圖所示，三棱錐如圖所示，三棱錐p pabcabc中，中， d d是是acac的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，papa= =pbpb= =pcp

28、c= = ， acac=2 =2 ，abab= = ，bcbc= .= . （1 1）求證：）求證：pdpd平面平面abcabc； （2 2）求二面角）求二面角p pababc c的正切值大小的正切值大小. . （1 1）已知三角形三邊長(zhǎng)，可考慮利用）已知三角形三邊長(zhǎng)，可考慮利用 勾股定理的逆定理證明垂直勾股定理的逆定理證明垂直. . （2 2）關(guān)鍵是找出二面角的平面角，由）關(guān)鍵是找出二面角的平面角，由apap= =pbpb， 可考慮取可考慮取abab的中點(diǎn)的中點(diǎn)e e. .2526（1 1）證明證明 連結(jié)連結(jié)bdbd，d d是是acac的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，papa= =pcpc= = ，pdpd

29、acac. .acac= = ，abab= = ，bcbc= = ，abab2 2+ +bcbc2 2= =acac2 2. .abcabc=90=90，即，即ababbcbc. .pdpd2 2= =papa2 2- -adad2 2=3=3，pbpb= = ，pdpd2 2+ +bdbd2 2= =pbpb2 2.pdpdbdbd. .acacbdbd= =d d，pdpd平面平面abcabc. .52226.221adacbd5（2 2）解解 取取abab的中點(diǎn)的中點(diǎn)e e，連結(jié)，連結(jié)dede、pepe，由由e e為為abab的中點(diǎn)知的中點(diǎn)知dedebcbc，ababbcbc，ababd

30、ede. .pdpd平面平面abcabc，pdpdabab. .又又ababdede，dedepdpd= =d d，abab平面平面pdepde，pepeabab. .pedped是二面角是二面角p pababc c的平面角的平面角. .在在pedped中，中， pdepde=90=90, ,二面角二面角p pababc c的正切值為的正切值為 . ., 3,2621pdbcde. 2tandepdped2 找二面角的平面角常用的方法有找二面角的平面角常用的方法有: :(1)(1)定義法：作棱的垂面，得平面角定義法：作棱的垂面，得平面角. .(2)(2)利用等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)利用等腰

31、三角形、等邊三角形的性質(zhì), ,取中線取中線. .知能遷移知能遷移4 4 如圖所示，四棱錐如圖所示，四棱錐p p abcdabcd的底面的底面abcdabcd是直角梯形，是直角梯形， papa平面平面abcdabcd，且，且adadbcbc， adaddcdc, ,adcadc和和abcabc均為等腰直角三角形均為等腰直角三角形, , 設(shè)設(shè)papa= =adad= =dcdc= =a a，點(diǎn)，點(diǎn)e e為側(cè)棱為側(cè)棱pbpb上一點(diǎn)，上一點(diǎn)， 且且bebe=2=2epep. . （1 1）求證：平面）求證：平面pcdpcd平面平面padpad； （2 2）求證：直線）求證：直線pdpd平面平面eace

32、ac； （3 3）求二面角）求二面角b bacace e的余弦值的余弦值. .（1 1）證明證明 papa平面平面abcdabcd，dcdc平面平面abcdabcd，dcdcpapa. .又又adaddcdc，且，且papa與與adad是平面是平面padpad內(nèi)兩相交內(nèi)兩相交直線，直線，dcdc平面平面padpad. .又又dcdc平面平面pcdpcd，平面平面pcdpcd平面平面padpad. .（2 2）證明證明 連結(jié)連結(jié)bdbd，設(shè)，設(shè)bdbd與與acac相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)f f，連結(jié)連結(jié)efef，在等腰直角在等腰直角adcadc中，中，adaddcdc，.4acddac又又adadbcb

33、c，acbacb=dacdac= =又又abcabc為等腰直角三角形，且底面為等腰直角三角形，且底面abcdabcd是直是直角梯形，角梯形， （若（若b b為直角，則與底面為直角，則與底面abcdabcd是直角梯形相矛盾）是直角梯形相矛盾）. .由由adad= =dcdc= =a a，易知，易知abab= =acac= = a a，bcbc=2=2a a，bcbcadad且且bcbc=2=2adad，bfbf=2=2fdfd. .又又bebe=2=2epep，pdpdefef. .又又efef平面平面eaceac，pdpd平面平面eaceac，直線直線pdpd平面平面eaceac. .42ba

34、c2（3 3）解解 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)e e作作ehehpapa交交abab于于h h點(diǎn)，點(diǎn)，則則eheh平面平面abcdabcd，又，又ababacac，eaeaacac. .eaheah為二面角為二面角b bacace e的平面角的平面角. .bebe=2=2epep，即二面角即二面角b bacace e的余弦值為的余弦值為 . .3231aabah, 2tan,3232aheheahapaeh又,33coseah33方法與技巧方法與技巧1.1.證明線面垂直的方法證明線面垂直的方法 （1 1）線面垂直的定義：）線面垂直的定義：a a與與內(nèi)任何直線都垂內(nèi)任何直線都垂 直直a a； （3 3）判定定理）

35、判定定理2 2：a ab b，a ab b； （4 4）面面平行的性質(zhì)：）面面平行的性質(zhì)：，a aa a； （5 5）面面垂直的性質(zhì)：）面面垂直的性質(zhì)：，= =l l， a a ，a al l a a. .;,:1)2(lnlmlanmm、判定定理n思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2.2.證明線線垂直的方法證明線線垂直的方法 （1 1）定義：兩條直線所成的角為）定義：兩條直線所成的角為9090; ; （2 2）平面幾何中證明線線垂直的方法；）平面幾何中證明線線垂直的方法； （3 3）線面垂直的性質(zhì)：）線面垂直的性質(zhì)：a a，b ba ab b； （4 4）線面垂直的性質(zhì)：）線面垂直的性質(zhì)：a

36、 a，b ba ab b. .3.3.證明面面垂直的方法證明面面垂直的方法 （1 1）利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角）利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角 是直二面角；是直二面角； （2 2）判定定理：）判定定理：a a，a a. .4.4.向量法證明線面平行與垂直也是一種重要的向量法證明線面平行與垂直也是一種重要的 方法方法. .失誤與防范失誤與防范1.1.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 在證明兩平面垂直時(shí)一般先從現(xiàn)有的直線中尋在證明兩平面垂直時(shí)一般先從現(xiàn)有的直線中尋 找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則 可通過(guò)作輔助線來(lái)解決可通過(guò)作輔助線來(lái)解

37、決. .如有平面垂直時(shí)，一般如有平面垂直時(shí)，一般 要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線， 使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線 垂直垂直. .故熟練掌握故熟練掌握“線線垂直線線垂直”、“面面垂直面面垂直” 間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵. .2.2.面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依 據(jù)據(jù). .我們要作一個(gè)平面的一條垂線，通常是先找我們要作一個(gè)平面的一條垂線，通常是先找 這個(gè)平面的一個(gè)垂面，在這個(gè)垂面中，作交線這個(gè)平面的一個(gè)垂面，

38、在這個(gè)垂面中，作交線 的垂線即可的垂線即可. .一、選擇題一、選擇題1.1.若若l l為一條直線為一條直線, ,、為三個(gè)互不重合的平為三個(gè)互不重合的平 面，給出下面三個(gè)命題：面，給出下面三個(gè)命題： , ,; ;, , ; ;l l, ,l l. . 其中正確的命題有其中正確的命題有( )( ) a.0 a.0個(gè)個(gè) b.1b.1個(gè)個(gè) c.2c.2個(gè)個(gè) d.3d.3個(gè)個(gè) 解析解析 對(duì)于對(duì)于，與與可能平行，故錯(cuò)可能平行，故錯(cuò). . 正確，故選正確，故選c.c.c定時(shí)檢測(cè)定時(shí)檢測(cè)2.2.設(shè)設(shè)a a、b b是不同的直線，是不同的直線，、是不同的平面，則是不同的平面，則 下列四個(gè)命題中正確的是下列四個(gè)命題

39、中正確的是( )( ) a. a.若若a ab b, ,a a, ,則則b b b. b.若若a a, , ,則則a a c. c.若若a a, , ,則則a a d. d.若若a ab b, ,a a, ,b b, ,則則 解析解析 a a中，中，b b可能在可能在內(nèi)；內(nèi)；b b中，中，a a可能在可能在內(nèi)內(nèi), , 也可能與也可能與平行或相交（不垂直）；平行或相交（不垂直）；c c中，中，a a可可 能在能在內(nèi)；內(nèi)；d d中，中，a ab b，a a，則，則b b或或 b b, ,又又b b,. .d3.3.（20092009北京理，北京理，4 4）若正四棱柱若正四棱柱abcdabcda a

40、1 1b b1 1 c c1 1d d1 1的底面邊長(zhǎng)為的底面邊長(zhǎng)為1,1,abab1 1與底面與底面abcdabcd成成6060 角，則角，則a a1 1c c1 1到底面到底面abcdabcd的距離為的距離為( )( ) a. b.1 c. d. a. b.1 c. d. 解析解析 如圖所示，直線如圖所示，直線abab1 1與底面與底面 abcdabcd所成的角為所成的角為b b1 1abab，而，而a a1 1c c1 1 到底面到底面abcdabcd的距離為的距離為aaaa1 1， 在在rtrtabbabb1 1中，中，b b1 1b b= =ababtan 60tan 60= .=

41、. 所以所以aaaa1 1= =bbbb1 1= .= .33233d34.4.已知直線已知直線l l平面平面，直線，直線m m平面平面，下面有三，下面有三 個(gè)命題：個(gè)命題： l lm m; ;l lm m; ;l lm m ; ; 則真命題的個(gè)數(shù)為則真命題的個(gè)數(shù)為( )( ) a.0 b.1 c.2 d.3 a.0 b.1 c.2 d.3 解析解析 如圖所示，設(shè)面如圖所示，設(shè)面abab1 1為為，面，面 a a1 1c c1 1為為，a a1 1d d1 1，a a1 1c c1 1， 而而a a1 1d d1 1與與a a1 1c c1 1相交，故相交，故錯(cuò)錯(cuò). .c5.5.下面四個(gè)命題：

42、下面四個(gè)命題： “直線直線a a直線直線b b”的充要條件是的充要條件是“a a平行于平行于b b 所在的平面所在的平面”； “直線直線l l平面平面內(nèi)所有直線內(nèi)所有直線”的充要條件的充要條件 是是“l(fā) l平面平面”； “直線直線a a、b b為異面直線為異面直線”的充分不必要條件的充分不必要條件 是是“直線直線a a、b b不相交不相交”； “平面平面平面平面”的必要不充分條件是的必要不充分條件是 “ “內(nèi)存在不共線三點(diǎn)到內(nèi)存在不共線三點(diǎn)到的距離相等的距離相等”. . 其中正確命題的序號(hào)是其中正確命題的序號(hào)是( )( ) a. a. b. b. c. c. d. d.解析解析 a ab b推

43、不出推不出a a平行于平行于b b所在的平面，反之也所在的平面，反之也不成立不成立.不正確不正確. .由線面垂直的定義知由線面垂直的定義知正確正確. .a a、b b不相交時(shí)，不相交時(shí)，a a、b b可能平行，此時(shí)可能平行，此時(shí)a a、b b共面共面. .不正確不正確. .當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，內(nèi)一定有三個(gè)不共線的點(diǎn)到平面內(nèi)一定有三個(gè)不共線的點(diǎn)到平面的距離相等的距離相等. .反之，設(shè)反之，設(shè)a a、b b、c c是是內(nèi)三個(gè)不共內(nèi)三個(gè)不共線的點(diǎn)，當(dāng)線的點(diǎn)，當(dāng)過(guò)過(guò)abcabc的中位線時(shí)，的中位線時(shí)，a a、b b、c c三點(diǎn)三點(diǎn)到到的距離相等，但此時(shí)的距離相等，但此時(shí)、相交，相交，正確正確. .答案答案 c

44、 c6.6.（20092009浙江理，浙江理，5 5）在三棱柱在三棱柱abcabca a1 1b b1 1c c1 1 中，各棱長(zhǎng)相等中，各棱長(zhǎng)相等, ,側(cè)棱垂直于底面?zhèn)壤獯怪庇诘酌? ,點(diǎn)點(diǎn)d d是側(cè)面是側(cè)面 bbbb1 1c c1 1c c的中心，則的中心，則adad與平面與平面bbbb1 1c c1 1c c所成角的所成角的 大小是大小是( )( ) a.30a.30 b.45b.45 c.60c.60 d.90d.90 解析解析 取取bcbc中點(diǎn)中點(diǎn)e e，連結(jié)，連結(jié)aeae，則，則aeae平面平面 bccbcc1 1b b1 1，故，故adeade為直線為直線adad與平面與平面bb

45、bb1 1c c1 1c c所所 成的角成的角. .設(shè)各棱長(zhǎng)為設(shè)各棱長(zhǎng)為a a，則，則 adeade=60=60. .,23aae . 3tan,21adeadec二、填空題二、填空題7.7.（20082008全國(guó)全國(guó)文，文，1616）已知菱形已知菱形abcdabcd中中, , abab=2=2，a a=120=120，沿對(duì)角線，沿對(duì)角線bdbd將將abdabd折起折起, , 使二面角使二面角a a- -bdbd- -c c為為120120，則點(diǎn)，則點(diǎn)a a到到bcdbcd所在所在 平面的距離等于平面的距離等于 . . 解析解析 如圖所示，取如圖所示，取bdbd中點(diǎn)中點(diǎn)e e，連接，連接 ae

46、ae、cece. . abdabd、bcdbcd均為等腰三角形，均為等腰三角形， aeaebdbd，cecebdbd， bdbd平面平面aecaec. . aecaec為二面角為二面角a abdbdc c的平面角，的平面角， aecaec=120=120. .在平面在平面aecaec內(nèi)過(guò)內(nèi)過(guò)a a作作cece的垂線的垂線ahah, ,垂足為垂足為h h, ,則則h h在在cece的延長(zhǎng)線上的延長(zhǎng)線上. .bdbd平面平面aecaec，bdbdahah. .又又ahahcece, ,ahah平面平面bcdbcd.badbad=120=120,baebae=60=60, ,又又aehaeh=60=

47、60, ,即點(diǎn)即點(diǎn)a a到到bcdbcd所在平面的距離為所在平面的距離為 . . 1,cosaeabaebae,23ah23答案答案238.8.將正方形將正方形abcdabcd沿對(duì)角線沿對(duì)角線bdbd折起，使平面折起，使平面abdabd平平 面面cbdcbd，e e是是cdcd的中點(diǎn)，則異面直線的中點(diǎn)，則異面直線aeae、bcbc所成所成 角的正切值為角的正切值為 . . 解析解析 如圖所示，取如圖所示，取bdbd中點(diǎn)中點(diǎn)o o，連結(jié)，連結(jié)aoao、oeoe， 則則aoaobdbd.平面平面abdabd平面平面cbdcbd， aoao平面平面bcdbcd，oeoebcbc， aeoaeo即為即

48、為aeae、bcbc所成的角所成的角. . 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2 2，則，則oeoe=1=1，aoao= = ， tantanaeoaeo= .= .2229.9.a a、b b表示直線，表示直線，、表示平面表示平面. . 若若= =a a, ,b b, ,a ab b，則，則; ; 若若a a, ,a a垂直于垂直于內(nèi)任意一條直線，內(nèi)任意一條直線， 則則； 若若，= =a a, ,= =b b, ,則則a ab b; ; 若若a a不垂直于平面不垂直于平面，則，則a a不可能垂直于平面不可能垂直于平面 內(nèi)無(wú)數(shù)條直線；內(nèi)無(wú)數(shù)條直線； 若若a a, ,b b, ,a ab b, ,

49、則則. . 上述五個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是上述五個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是 . .解析解析 對(duì)對(duì)可舉反例如圖，需可舉反例如圖，需b b才能才能推出推出. .對(duì)對(duì)可舉反例說(shuō)明，當(dāng)可舉反例說(shuō)明，當(dāng)不不與與，的交線垂直時(shí)，即可得到的交線垂直時(shí)，即可得到a a，b b不不垂直；對(duì)垂直；對(duì)a a只需垂直于只需垂直于內(nèi)一條直線便可以垂直內(nèi)一條直線便可以垂直內(nèi)無(wú)數(shù)條與之平行的直線內(nèi)無(wú)數(shù)條與之平行的直線. .所以只有所以只有是正確的是正確的. .答案答案 三、解答題三、解答題10.10.四面體四面體abcdabcd中中, ,acac= =bdbd，e e、f f分別是分別是adad、bcbc 的中點(diǎn)，且的中

50、點(diǎn)，且 bdcbdc=90=90. . 求證：求證：bdbd平面平面acdacd. . 證明證明 如圖所示，取如圖所示，取cdcd的中點(diǎn)的中點(diǎn)g g，連接，連接egeg、 fgfg、efef. . e e、f f分別為分別為adad、bcbc的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， eg aceg ac，fg bdfg bd. . ,22acef 又又acac= =bdbd，在在efgefg中，中，egeg2 2+ +fgfg2 2= = acac2 2= =efef2 2. . egegfgfg.bdbdacac. .又又bdcbdc=90=90，即，即bdbdcdcd，acaccdcd= =c c，bdbd平面平面acdacd. .21acfgeg2111.11.如圖所示，已知如圖所示，已知abcabc是等邊三角形，是等邊三角形， ecec平面平面abcabc，bdbd平面平面abcabc，且，且ecec、 dbdb在平面在平面abcabc的同側(cè)，的同側(cè)，m m為為eaea的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， cece=2=2bdbd. . 求證：（求證：（1 1）dede