04第一章第4節(jié)無窮小與無窮大

1、1無窮小與無窮大第四節(jié)一、無窮大二、無窮小三、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系三、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:四、無窮小與無窮大的關(guān)系五、小結(jié)及作業(yè)2一、無窮大例如：例如：,31lim3xx時的無窮大量；時的無窮大量；就是當(dāng)就是當(dāng)則稱則稱331xx一般地：一般地：時的無窮大量。時的無窮大量。為當(dāng)為當(dāng)則稱則稱若若xxxxfxfxxx00)(,)(lim)(121xxlim如如)(lim32xx3嚴(yán)格定義：嚴(yán)格定義：00 （無論多么大），總（無論多么大），總對對 m時，時，或或使得當(dāng)使得當(dāng)）（或（或)(,xxxxx 000,)(mxf恒有恒有）時為無窮大量，）時為無窮大量，（或（或當(dāng)當(dāng)則稱則稱xxxxf0)(,

2、)(lim)(xfxxx0記作記作注意注意1.無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;不是無窮大。不是無窮大。如如100100010101xxlim43、特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大、特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大)(lim()(lim)()(xfxfxxxxxx00或或5. 無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.)(lim.認(rèn)為極限存在認(rèn)為極限存在切勿將切勿將xfxx02,tanlim2xx如,tanlim2xx化有關(guān)；化有關(guān)；、無窮大與自變量的變、無窮大與自變量的變4,)(11xxf如如是無窮大量是無窮

3、大量時時當(dāng)當(dāng))(1xfx 無窮大量無窮大量不是不是時時當(dāng)當(dāng) )(2xfx 5xxy11sin.,sin,但不是無窮大但不是無窮大是一個無界變量是一個無界變量時時當(dāng)當(dāng)例如例如xxyx110), 3 , 2 , 1 , 0(221) 1 (kkxk取,22)( kxyk.)(,mxykk充分大時當(dāng)), 3 , 2 , 1(21)2(kkxk取, kxk充分大時充分大時當(dāng)當(dāng) kkxyk22sin)(但但.m 0不是無窮大不是無窮大無界，無界，6.lim1111xx證明證明例例證證. 0 m,mx11要使要使,mx11 只要只要,m1 取取,時時當(dāng)當(dāng)mx110 .mx11就有就有.lim111xx.)

4、(,)(lim:的圖形的鉛直漸近線的圖形的鉛直漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfyxxxfxx0011xy7二、無窮小例如：例如：,)(lim0121xx時的無窮小量；時的無窮小量；就是當(dāng)就是當(dāng)則稱則稱112xx一般地：一般地：時的無窮小量。時的無窮小量。為當(dāng)為當(dāng)則稱則稱若若xxxxfxfxxx000)(,)(lim)(例如例如,sinlim00 xx.sin時的無窮小時的無窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù)0 xx,lim01xx.時的無窮小時的無窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù)xx1,)(lim01nnn.) 1(時的無窮小是當(dāng)數(shù)列nnn8注意注意1.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能

5、與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).嚴(yán)格定義：嚴(yán)格定義：),()(000x或或，總，總無論多么小無論多么小 恒有恒有）的一切）的一切（或（或使當(dāng)使當(dāng)xxxxx 00,)( xf）時為無窮小量，）時為無窮小量，（或（或當(dāng)當(dāng)則稱則稱xxxxf0)(,)(lim)(00 xfxxx記作記作不是無窮小。不是無窮小。如如80109是無窮小無意義。是無窮小無意義。說說變化過程變化過程、在沒有指明自變量的、在沒有指明自變量的)(3xf是無窮小”是無窮小”“如如xxf)(是錯的。是錯的。時時為為無無窮窮小??；當(dāng)當(dāng)0)(xxxf時為無窮大；時為無窮大；當(dāng)當(dāng)xxxf)(也

6、也不不是是無無窮窮大大；既既不不是是無無窮窮小小時時當(dāng)當(dāng),3)(xxxf10時的無窮小量。時的無窮小量。為當(dāng)為當(dāng)證明證明例例21122xx證證, 0 , 12x要使要使21212xx, 212 x只需只需即可，即可，即即221 x,2 取取時，時，則當(dāng)則當(dāng) 210 x,)( 212 xxf恒有恒有,)(lim01221xx時的無窮小量。時的無窮小量。為當(dāng)為當(dāng)即即2112xx11三三.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證證 必要性必要性,)(limaxfxx0設(shè)設(shè),)()(axfx 令令,)(lim00 xxx 則有則有).()(xaxf 充分性充分性),()(xaxf 設(shè)設(shè),)(時

7、的無窮小時的無窮小是當(dāng)是當(dāng)其中其中0 xxx )(lim)(limxaxfxxxx 00則則)(limxaxx 0.a 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xaxfaxfxx 其中其中)(x 是當(dāng)是當(dāng)0 xx 時的無窮小時的無窮小.12意義意義1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小無窮小);).(,)()(.xaxfxxf 誤差為誤差為附近的近似表達(dá)式附近的近似表達(dá)式在在給出了函數(shù)給出了函數(shù)023.無窮小的運算性質(zhì)無窮小的運算性質(zhì):定理定理2 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小仍是無窮小.證證,時的兩個無窮小

8、是當(dāng)及設(shè)x使得, 0, 0, 021nn13;21時恒有當(dāng)nx;22時恒有當(dāng)nx,max21nnn 取恒有時當(dāng),nx 22,)(0 x注意注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .是無窮小，時例如nn1,.11不是無窮小之和為個但nn14定理定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.1sinlimxxx如03!sinlim2nnnn0 推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小窮小的乘積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個無窮小

9、的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小.xxxxx1arctan,1sin,0,2時當(dāng)例如都是無窮小都是無窮小15四、無窮小與無窮大的關(guān)系定理定理4 4意義意義 關(guān)于無窮大的討論關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論窮小的討論.,時時或或當(dāng)當(dāng)xxx0是無窮大；是無窮大；，則，則是無窮小，且是無窮小，且若若)()()()xfxfxf101是無窮小。是無窮小。是無窮大，則是無窮大，則若若)()()xfxf12),(sin00 xx如如);(sin01xx),(3912xx).(3092xx16思考題思考題若若0)( xf，且且axfx )(lim，問問：能能否否保保證證有有0 a的的結(jié)結(jié)論論？試試舉舉例例說說明明.17思考題解答思考題解答不能保證不能保證.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim axx18五、小結(jié)1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容: 兩個定義兩個定義;四個定理四個定理;三個推論三個推論.2、幾點注意、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1） 無窮?。o窮?。?大）是變量大）是變量