高考數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)：88空間向量的應(yīng)用(二)空間角1規(guī)范訓(xùn)練含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5課時(shí)規(guī)范練(五十五)(第一次作業(yè))1(20xx·合肥一檢)已知正方體abcda1b1c1d1，e、f分別是正方形a1b1c1d1和add1a1的中心，則ef和cd所成的角是()a60°b45°c30° d90°答案b解析連接a1d，dc1，a1c1，e，f為a1d，a1c1中點(diǎn)，efc1d.ef和cd所成角即為c1dc45°.2. 如圖所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90°，點(diǎn)e、f分別是棱ab、bb1的中點(diǎn)，則直線ef和bc1所成的角是()a45

2、° b60°c90° d120°答案b解析以bc為x軸，ba為y軸，bb1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)abbcaa12，c1(2,0,2)，e(0,1,0)，f(0,0,1)(0，1,1)，(2,0,2)·2，記，所成角為.cos.ef和bc1所成角為60°.3(20xx·滄州七校聯(lián)考)已知正三棱柱abca1b1c1所有棱長(zhǎng)都相等，d是a1c1的中點(diǎn)，則直線ad與平面b1dc所成角的正弦值為()a. b.c. d.答案d解析取ac中點(diǎn)e，令ab2，分別以eb，ec，ed為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系b1(，0,2)，c(0

3、,1,0)，a(0，1,0)，d(0,0,2)，(，0,0)，(0,1，2)，(0，1，2)，平面b1dc法向量為n(0,2,1)，cos，n.ad與面b1dc所成的角正弦值為.4過(guò)正方形abcd的頂點(diǎn)a作線段pa平面abcd，若abpa，則平面abp與平面cdp所成的二面角為()a30° b45°c60° d90°答案b解析以a點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，ap、ab、ad分別為x、y、z軸建系且設(shè)ab1，c(1,1,0)，d(0,1,0)，p(0,0,1)設(shè)面cdp的法向量為n(x，y，z)令y1，n(0,1,1)又為面abp的一個(gè)法向量，cosn，.二面角為45&

4、#176;.5已知長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，abbc4，cc12，則直線bc1和平面dbb1d1所成角的正弦值為()a. b.c. d.答案c解析連接a1c1交b1d1于o點(diǎn)，由已知條件得c1ob1d1，且平面bdd1b1平面a1b1c1d1，所以c1o平面bdd1b1.連接bo，則bo為bc1在平面bdd1b1上的射影，c1bo即為所求，oc1a1c1ac2，bc12.計(jì)算得sinc1bo.6若正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，則側(cè)面與底面所成二面角的余弦值是()a. b.c. d.答案b解析以正三棱錐oabc的頂點(diǎn)o為原點(diǎn)，oa，ob，oc為x，y，z軸建系(圖略)，設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為1，則a

5、(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)側(cè)面oab的法向量為(0,0,1)，底面abc的法向量為n(，)cos，n.7. 如圖所示，pd垂直于正方形abcd所在平面，ab2，e為pb的中點(diǎn)，cos，若以da，dc，dp所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)e的坐標(biāo)為_(kāi)答案(1,1,1)解析連接ac，bd交于o，連接oe，cos，cosaeo.又oa，oe1，e為(1,1,1)8(20xx·天津)如圖所示，在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形，adpd，bc1，pc2，pdcd2.(1)求異面直線pa與bc所成角的正切值；(2)證明：平面pdc平面abcd；(

6、3)求直線pb與平面abcd所成角的正弦值答案(1)2(2)略(3)解析(1)如圖所示，在四棱錐pabcd中，因?yàn)榈酌鎍bcd是矩形，所以adbc且adbc.故pad為異面直線pa與bc所成的角又因?yàn)閍dpd，在rtpda中，tanpad2.所以異面直線pa與bc所成角的正切值為2.(2)證明：由于底面abcd是矩形，故adcd，又由于adpd，cdpdd，因此ad平面pdc，而ad平面abcd，所以平面pdc平面abcd.(3)在平面pdc內(nèi)，過(guò)點(diǎn)p作pecd交直線cd于點(diǎn)e，連接eb.由于平面pdc平面abcd，而直線cd是平面pdc與平面abcd的交線故pe平面abcd，由此得pbe為直

7、線pb與平面abcd所成的角在pdc中，由于pdcd2，pc2，可得pcd30°.在rtpec中，pepcsin30°.由adbc，ad平面pdc，得bc平面pdc.因此bcpc.在rtpcb中，pb.在rtpeb中，sinpbe.所以直線pb與平面abcd所成角的正弦值為.9(20xx·湖南)如圖所示，在直棱柱abcda1b1c1d1中，adbc，bad90°，acbd，bc1，adaa13.(1)證明：acb1d；(2)求直線b1c1與平面acd1所成角的正弦值答案(1)略(2)解析方法一：(1) 如圖1，因?yàn)閎b1平面abcd，ac平面abcd，所

8、以acbb1.圖1又acbd，所以ac平面bb1d，而b1d平面bb1d，所以acb1d.(2)因?yàn)閎1c1ad，所以直線b1c1與平面acd1所成的角等于直線ad與平面acd1所成的角(記為)如圖1，連接a1d.因?yàn)槔庵鵤bcda1b1c1d1是直棱柱，且b1a1d1bad90°，所以a1b1平面add1a1，從而a1b1ad1.又adaa13，所以四邊形add1a1是正方形，于是a1dad1.故ad1平面a1b1d，于是ad1b1d.由(1)知，acb1d，所以b1d平面acd1，故adb190°.在直角梯形abcd中，因?yàn)閍cbd，所以bacadb.從而rtabcrt

9、dab，故，即ab.連接ab1.易知ab1d是直角三角形，且b1d2bbbd2bbab2ad221，即b1d.在rtab1d中，cosadb1，即cos(90°).從而sin.即直線b1c1與平面acd1所成角的正弦值為.圖2方法二：(1)易知，ab，ad，aa1兩兩垂直如圖2，以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，ab，ad，aa1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)abt，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為a(0,0,0)，b(t,0,0)，b1(t,0,3)，c(t,1,0)，c1(t,1,3)，d(0,3,0)，d1(0,3,3)從而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因?yàn)閍cbd，所以&

10、#183;t230，解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因?yàn)?#183;3300，所以，即acb1d.(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)設(shè)n(x，y，z)是平面acd1的一個(gè)法向量，則即令x1，則n(1，)設(shè)直線b1c1與平面acd1所成角為，則sin|cosn，|.即直線b1c1與平面acd1所成角的正弦值為.10. (20xx·山東)在如圖所示的幾何體中，四邊形abcd是等腰梯形，abcd，dab60°，fc平面abcd，aebd，cbcdcf.(1)求證：bd平面aed；(2)求二面角fbdc的余弦值答案(1)略(2)解析(1)

11、證明：因?yàn)樗倪呅蝍bcd是等腰梯形，abcd，dab60°，所以adcbcd120°.又cbcd，所以cdb30°.因此adb90°，即adbd.又aebd，且aeada，ae，ad平面aed，所以bd平面aed.(2)方法一：由(1)知adbd，所以acbc.又fc平面abcd，因此ca，cb，cf兩兩垂直以c為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ca，cb，cf所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)cb1，則c(0,0,0)，b(0,1,0)，d(，0)，f(0,0,1)因此(，0)，(0，1,1)設(shè)平面bdf的一個(gè)法向量為m(x，y，z)，

12、則m·0，m·0.所以xyz.取z1，則m(，1,1)由于(0,0,1)是平面bdc的一個(gè)法向量，則cosm，.所以二面角fbdc的余弦值為.方法二：取bd的中點(diǎn)g，連接cg，fg，由于cbcd，因此cgbd.又fc平面abcd，bd平面abcd，所以fcbd.由于fccgc，fc，cg平面fcg，所以bd平面fcg.故bdfg.所以fgc為二面角fbdc的平面角在等腰三角形bcd中，由于bcd120°，因此cgcb.又cbcf，所以gfcg.故cosfgc.因此二面角fbdc的余弦值為.11. 如圖所示，在三棱錐pabc中，pa底面abc，paab，abc60&

13、#176;，bca90°，點(diǎn)d，e分別在棱pb，pc上，且debc.(1)求證：bc平面pac；(2)當(dāng)d為pb的中點(diǎn)時(shí)，求ad與平面pac所成的角的余弦值；(3)是否存在點(diǎn)e使得二面角adep為直二面角？并說(shuō)明理由答案(1)略(2)(3)存在點(diǎn)e解析方法一：(1)pa底面abc，pabc.又bca90°，acbc，bc平面pac.(2)d為pb的中點(diǎn)，debc，debc.又由(1)知，bc平面pac，de平面pac，垂足為點(diǎn)e.dae是ad與平面pac所成的角pa底面abc，paab.又paab，abp為等腰直角三角形adab.在rtabc中，abc60°.bcab.rtade中，sindae.cosdae.(3)debc，又由(1)知，bc平面pac，de平面pac.又ae平面pac，pe平面pac，deae，depe.aep為二面角adep的平面角pa底面abc，paac，pac90°.在棱pc上存在一點(diǎn)e，使得aepc.這時(shí)，aep90°.故存在點(diǎn)e使得二面角adep是直二面角方法二：如圖所示，以a為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系axyz.設(shè)paa，由已知可