高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科: 第8章 平面解析幾何 第7節(jié) 雙曲線學(xué)案 文 北師大版_第1頁(yè)
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科: 第8章 平面解析幾何 第7節(jié) 雙曲線學(xué)案 文 北師大版_第2頁(yè)
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1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第七節(jié)雙曲線考綱傳真1.了解雙曲線的實(shí)際背景,了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第125頁(yè)) 基礎(chǔ)知識(shí)填充1雙曲線的定義(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)f1,f2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(大于零且小于|f1f2|)的點(diǎn)的集合叫作雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)f1,f2叫作雙曲線,兩焦點(diǎn)之間的距離叫作焦距其中a,c為常數(shù)且a0,c0.(2)集合pm|mf1|mf2|2a,|f1f2|2c,其中a,c為常數(shù)且a&g

2、t;0,c>0.當(dāng)2a<|f1f2|時(shí),m點(diǎn)的軌跡是雙曲線;當(dāng)2a|f1f2|時(shí),m點(diǎn)的軌跡是兩條射線;當(dāng)2a>|f1f2|時(shí),m點(diǎn)不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0,b0)1(a0,b0)圖形條件2a2c,c2a2b2,a0,b0,c0范圍xa或xa且yrya或ya且xr對(duì)稱性對(duì)稱軸坐標(biāo)軸、對(duì)稱中心原點(diǎn)頂點(diǎn)a1(a,0),a2(a,0)a1(0,a),a2(0,a)焦點(diǎn)f1(c,0),f2(c,0)f1(0,c),f2(0,c)漸近線y±xy±x實(shí)軸、虛軸線段a1a2叫作雙曲線的實(shí)軸,它的長(zhǎng)度|a1a2|2a;a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)線

3、段b1b2叫作雙曲線的虛軸,它的長(zhǎng)度|b1b2|2b;b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)焦距|f1f2|2c(c2a2b2)離心率e(1,),e越接近于時(shí),雙曲線開(kāi)口越大;e越接近于1時(shí),雙曲線開(kāi)口越小3. 等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線,其漸近線方程為y±x,離心率為e.知識(shí)拓展1巧設(shè)雙曲線方程(1)與雙曲線1(a0,b0)有共同漸近線的方程可設(shè)為(0)(2)等軸雙曲線可設(shè)為x2y2(0)(3)過(guò)已知兩個(gè)點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為1(mn0)2焦點(diǎn)三角形的面積雙曲線1(a0,b0)上一點(diǎn)p(x0,y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的焦點(diǎn)三角形f1pf2中,若f1pf2,則sf1pf2|pf1|

4、83;|pf2|·sin ·b2.3離心率與漸近線的斜率的關(guān)系e21,其中是漸近線的斜率4過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的半弦長(zhǎng)為.基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)f1(0,4),f2(0,4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線()(2)方程1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線()(3)雙曲線(m>0,n>0,0)的漸近線方程是0,即±0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直,離心率等于.()答案(1)×(2)×(3)(4)2(教材改編)已知

5、雙曲線1(a>0)的離心率為2,則a()a2bcd1d依題意,e2,2a,則a21,a1.3(20xx·福州質(zhì)檢)若雙曲線e:1的左、右焦點(diǎn)分別為f1,f2,點(diǎn)p在雙曲線e上,且|pf1|3,則|pf2|等于()a11b9 c5d3b由題意知a3,b4,c5.由雙曲線的定義|pf1|pf2|3|pf2|2a6,|pf2|9.4(20xx·全國(guó)卷)已知f是雙曲線c:x21的右焦點(diǎn),p是c上一點(diǎn),且pf與x軸垂直,點(diǎn)a的坐標(biāo)是(1,3),則apf的面積為()a bcdd因?yàn)閒是雙曲線c:x21的右焦點(diǎn),所以f(2,0)因?yàn)閜fx軸,所以可設(shè)p的坐標(biāo)為(2,yp)因?yàn)閜是c

6、上一點(diǎn),所以41,解得yp±3,所以p(2,±3),|pf|3.又因?yàn)閍(1,3),所以點(diǎn)a到直線pf的距離為1,所以sapf×|pf|×1×3×1.故選d5(20xx·北京高考改編)已知雙曲線1(a>0,b>0)的一條漸近線為2xy0,一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),則雙曲線的方程為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090297】x21由于2xy0是1的一條漸近線,2,即b2a,又雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),則c,由a2b2c2,得a2b25,聯(lián)立得a21,b24.所求雙曲線的方程為x21.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第126頁(yè))雙曲線的定義及應(yīng)用(

7、1)(20xx·長(zhǎng)春模擬)已知雙曲線x21的兩個(gè)焦點(diǎn)為f1,f2,p為雙曲線右支上一點(diǎn)若|pf1|pf2|,則f1pf2的面積為()a48b24c12d6(2)已知圓c1:(x3)2y21和圓c2:(x3)2y29,動(dòng)圓m同時(shí)與圓c1及圓c2相外切,則動(dòng)圓圓心m的軌跡方程為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090298】(1)b(2)x21(x1)(1)由雙曲線的定義可得|pf1|pf2|pf2|2a2,解得|pf2|6,故|pf1|8,又|f1f2|10,由勾股定理可知三角形pf1f2為直角三角形,因此spf1f2|pf1|×|pf2|24.(2)如圖所示,設(shè)動(dòng)圓m與圓c1及圓c2分別

8、外切于a和b,動(dòng)圓m的半徑為r,根據(jù)兩圓外切的條件得|mc1|1r|mc2|3r所以|mc2|mc1|2所以點(diǎn)m到兩定點(diǎn)c1、c2的距離的差是常數(shù)且小于|c1c2|6.又根據(jù)雙曲線的定義,得動(dòng)點(diǎn)m的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)m與c2的距離大,與c1的距離小),其中a1,c3,則b28.故點(diǎn)m的軌跡方程為x21(x1)規(guī)律方法1.應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問(wèn)題:在雙曲線的定義中,要注意雙曲線上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾何條件,即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對(duì)值為一常數(shù),且該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)間的距離”若定義中的“絕對(duì)值”去掉,點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支同時(shí)需注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用2在焦點(diǎn)三角形中,注意定義、余弦

9、定理的活用,常將|pf1|pf2|2a平方,建立與|pf1|·|pf2|間的聯(lián)系變式訓(xùn)練1(1)已知雙曲線c的離心率為2,焦點(diǎn)為f1,f2,點(diǎn)a在c上若|f1a|2|f2a|,則cosaf2f1()abcd(2)已知f1,f2為雙曲線1的左,右焦點(diǎn),p(3,1)為雙曲線內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)a在雙曲線上,則|ap|af2|的最小值為()a4 b4c2d2(1)a(2)c(1)由e2得c2a,如圖,由雙曲線的定義得|f1a|f2a|2a又|f1a|2|f2a|,故|f1a|4a,|f2a|2a,cosaf2f1.(2)由題意知,|ap|af2|ap|af1|2a,要求|ap|af2|的最小值,只需

10、求|ap|af1|的最小值,當(dāng)a,p,f1三點(diǎn)共線時(shí),取得最小值,|ap|af1|pf1|,|ap|af2|的最小值為|ap|af1|2a2.故選c雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)(20xx·天津高考)已知雙曲線1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為f,點(diǎn)a在雙曲線的漸近線上,oaf是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(o為原點(diǎn)),則雙曲線的方程為()a1 b1cy21dx21(2)(20xx·天津高考)已知雙曲線1(a>0,b>0)的焦距為2,且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直,則雙曲線的方程為()ay21bx21c1d1(1)d(2)a(1)根據(jù)題意畫出草圖如圖所示.由ao

11、f是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形得到aof60°,c|of|2.又點(diǎn)a在雙曲線的漸近線yx上,tan 60°.又a2b24,a1,b,雙曲線的方程為x21.故選d(2)由焦距為2得c.因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直,所以.又c2a2b2,解得a2,b1,所以雙曲線的方程為y21.規(guī)律方法1.確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程需要一個(gè)“定位”條件,兩個(gè)“定量”條件“定位”是指確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上;“定量”是指確定a,b的值,常用待定系數(shù)法若雙曲線的焦點(diǎn)位置不能確定時(shí),可設(shè)其方程為ax2by21(ab<0)2對(duì)于共焦點(diǎn)、共漸近線的雙曲線方程,可靈活設(shè)出恰當(dāng)?shù)男问角蠼馊粢阎獫u近線方程

12、為mxny0,則雙曲線方程可設(shè)為m2x2n2y2(0)變式訓(xùn)練2(1)(20xx·全國(guó)卷)已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(4,),且漸近線方程為y±x,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090299】(2)設(shè)橢圓c1的離心率為,焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26,若曲線c2上的點(diǎn)到橢圓c1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8,則曲線c2的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)(1)y21(2)1(1)雙曲線的漸近線方程為y±x,可設(shè)雙曲線的方程為x24y2(0)雙曲線過(guò)點(diǎn)(4,),164×()24,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)由題意知橢圓c1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為f1(5,0),f2(5,0),設(shè)曲線c

13、2上的一點(diǎn)p,則|pf1|pf2|8.由雙曲線的定義知:a4,b3.故曲線c2的標(biāo)準(zhǔn)方程為1,即1.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(1)(20xx·全國(guó)卷)已知f1,f2是雙曲線e:1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)m在e上,mf1與x軸垂直,sinmf2f1,則e的離心率為()abcd2(2)(20xx·石家莊調(diào)研)設(shè)雙曲線1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)是f,左、右頂點(diǎn)分別是a1,a2,過(guò)f作a1a2的垂線與雙曲線交于b,c兩點(diǎn)若a1ba2c,則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)(1)a(2)x±y0(1)如圖,因?yàn)閙f1x軸,所以|mf1|.在rtmf1f2中,由sinmf2f1得ta

14、nmf2f1.所以,即,即,整理得c2aca20,兩邊同除以a2得e2e10.解得e(負(fù)值舍去)(2)由題設(shè)易知a1(a,0),a2(a,0),b,c.因?yàn)閍1ba2c,所以·1,整理得ab因此該雙曲線的漸近線方程為y±x,即x±y0.規(guī)律方法1.(1)求雙曲線的漸近線,要注意雙曲線焦點(diǎn)位置的影響;(2)求離心率的關(guān)鍵是確定含a,b,c的齊次方程,但一定注意e>1這一條件2雙曲線中c2a2b2,可得雙曲線漸近線的斜率與離心率的關(guān)系.抓住雙曲線中“六點(diǎn)”“四線”“兩三角形”,研究a,b,c,e間相互關(guān)系及轉(zhuǎn)化,簡(jiǎn)化解題過(guò)程變式訓(xùn)練3(1)(20xx·全國(guó)卷)已知a,b為雙曲線e的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)m在e上,abm為等腰三角形,且頂角為120°,則e的離心率為()ab2 cd(2)已知雙曲線x21的左頂點(diǎn)為a1,右焦點(diǎn)為f2,p為雙曲線右支上一點(diǎn),則·的最小值為()a2bc1d0(1)d(2)a (1)不妨取點(diǎn)

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