材料力學(xué) 第三章 扭轉(zhuǎn)

1、第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)3-1 工程中的扭轉(zhuǎn)問題工程中的扭轉(zhuǎn)問題扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)在垂直于軸線的平面內(nèi)受力偶作用在垂直于軸線的平面內(nèi)受力偶作用各截面繞軸線相對轉(zhuǎn)過一個角度各截面繞軸線相對轉(zhuǎn)過一個角度扭轉(zhuǎn)角：各截面繞軸線轉(zhuǎn)過的角度扭轉(zhuǎn)角：各截面繞軸線轉(zhuǎn)過的角度ABABAB g gMnMn橫截面仍為平面，形狀不變，只是繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動橫截面仍為平面，形狀不變，只是繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動x 1、外力偶矩的計算、外力偶矩的計算轉(zhuǎn)速：轉(zhuǎn)速：n (轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分分)輸入功率：輸入功率：P(kW)mNmnPm95503-12 扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力2、 扭矩扭矩截面法截面法截開：截開：去掉：去掉：代替：因力偶只能與力偶代替

2、：因力偶只能與力偶平衡。所以扭轉(zhuǎn)時橫截面平衡。所以扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力只是一個力偶，上的內(nèi)力只是一個力偶，使截面繞軸線轉(zhuǎn)動，稱使截面繞軸線轉(zhuǎn)動，稱“扭矩扭矩”T0MX平衡：平衡：0 MTMT 扭矩正負(fù)號的規(guī)定扭矩正負(fù)號的規(guī)定確定扭矩正負(fù)的右手法則：確定扭矩正負(fù)的右手法則：4個手指沿扭矩轉(zhuǎn)動的方向，個手指沿扭矩轉(zhuǎn)動的方向，大拇指大拇指離開截面為正離開截面為正4個手指沿扭矩轉(zhuǎn)動的方向，個手指沿扭矩轉(zhuǎn)動的方向，指向截面為負(fù)指向截面為負(fù)指向截面指向截面離開截面離開截面例例 傳動軸如圖所示，轉(zhuǎn)速傳動軸如圖所示，轉(zhuǎn)速 n = 500轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分鐘，主動輪分鐘，主動輪B輸入功率輸入功率NB= 10KW，A、C為

3、從動輪，輸出功率分別為為從動輪，輸出功率分別為 NA= 4KW ， NC= 6KW，試做該軸的扭矩圖。試做該軸的扭矩圖。1、計算外力偶矩、計算外力偶矩NmnPMAA4 .76500495509550NmnPMBB1915001095509550NmnPMCC6 .1145006955095502、分段計算扭矩：、分段計算扭矩：AB段段（?。ㄈ?-1截面）截面）0MX01AMTNmMTA4 .761BC段段（?。ㄈ?-1截面）截面）0MX02ABMMTNmMMTAB6 .11423、做扭矩圖、做扭矩圖3-3 3-3 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)1、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力觀察一

4、個實(shí)驗(yàn)觀察一個實(shí)驗(yàn)將一薄壁圓筒表面用縱向平行將一薄壁圓筒表面用縱向平行線和圓周線劃分線和圓周線劃分兩端施以大小相等方向相反兩端施以大小相等方向相反一對力偶矩一對力偶矩觀察到：觀察到：# 圓周線大小形狀不變，各圓周線間距離不變圓周線大小形狀不變，各圓周線間距離不變# 縱向平行線仍然保持為直線且相互平行，只縱向平行線仍然保持為直線且相互平行，只是傾斜了一個角度（圓周線繞軸線轉(zhuǎn)動了一個是傾斜了一個角度（圓周線繞軸線轉(zhuǎn)動了一個角度）角度）（1）橫截面上沒有正應(yīng)力）橫截面上沒有正應(yīng)力（2）采用截面法將圓筒截開，橫）采用截面法將圓筒截開，橫截面上有扭矩存在，說明橫截面上截面上有扭矩存在，說明橫截面上分布有

5、與截面相切的應(yīng)力、即存在分布有與截面相切的應(yīng)力、即存在剪應(yīng)力剪應(yīng)力由于壁很薄，可以假設(shè)剪應(yīng)力由于壁很薄，可以假設(shè)剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布沿壁厚均勻分布包括橫截面取出一個單元體包括橫截面取出一個單元體推測：推測：若左右兩面有切應(yīng)力，則上下兩面也必然有。否則不能平衡。若左右兩面有切應(yīng)力，則上下兩面也必然有。否則不能平衡。2、剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理 兩互相垂直截面上，剪應(yīng)力成對存在，兩互相垂直截面上，剪應(yīng)力成對存在，且數(shù)值相等、符號相反（要么同時指向公共且數(shù)值相等、符號相反（要么同時指向公共棱邊，要么同時背離公共棱邊），這稱為剪棱邊，要么同時背離公共棱邊），這稱為剪應(yīng)力互等定理。應(yīng)力互等定理。g

6、g G 在剪應(yīng)力的作用下，單元體在剪應(yīng)力的作用下，單元體的直角將發(fā)生微小的改變，這的直角將發(fā)生微小的改變，這個改變量個改變量g g 稱為稱為剪應(yīng)變剪應(yīng)變。g 當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時，剪應(yīng)力當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間成正比關(guān)系，這個關(guān)系稱為與剪應(yīng)變之間成正比關(guān)系，這個關(guān)系稱為剪切虎克剪切虎克定律定律。3-4 扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力和變形扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力和變形圓周線大小形狀不變，圓周線大小形狀不變，各圓周線間距離不變各圓周線間距離不變縱向平行線仍然保持為直線縱向平行線仍然保持為直線且相互平行，只是傾斜了一且相互平行，只是傾斜了一個角度個角度橫截面上沒有正應(yīng)力而只有剪應(yīng)力橫截面

7、上沒有正應(yīng)力而只有剪應(yīng)力dxdgg tandxdRgdxdg剪應(yīng)變與半徑成正比（最大剪應(yīng)變在圓軸表面）剪應(yīng)變與半徑成正比（最大剪應(yīng)變在圓軸表面）（a）變形的幾何關(guān)系）變形的幾何關(guān)系（b）應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，即剪切虎克定律）應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，即剪切虎克定律gG切應(yīng)力線性分布：切應(yīng)力線性分布：與半徑成正比。與半徑成正比。在圓軸表面：最大切應(yīng)力在圓軸表面：最大切應(yīng)力在圓軸軸心處：切應(yīng)力為零在圓軸軸心處：切應(yīng)力為零dxdgdxdG在圓軸表面：最大切應(yīng)力在圓軸表面：最大切應(yīng)力在圓軸軸心處：切應(yīng)力為零在圓軸軸心處：切應(yīng)力為零在同圓周上的各點(diǎn)，剪應(yīng)力相同在同圓周上的各點(diǎn)，剪應(yīng)力相同（a）靜力學(xué)關(guān)系）靜力學(xué)關(guān)系（剪應(yīng)力

8、合成應(yīng)該是截面上的扭矩）（剪應(yīng)力合成應(yīng)該是截面上的扭矩）TdAA TdAdxdGdAAA 2TdAdxdGA 2 令令TIdxdGP所以所以dxdGPAIdA2PGITdxd pGITGdxdGPGITdxd 由由pIT扭轉(zhuǎn)任一點(diǎn)的剪應(yīng)力公式：與扭轉(zhuǎn)任一點(diǎn)的剪應(yīng)力公式：與扭矩成正比，與半徑成正比扭矩成正比，與半徑成正比PAIdA2 是一個只決定于橫截面的形狀和大小的幾何量。是一個只決定于橫截面的形狀和大小的幾何量。說明說明1：稱為稱為橫截面對形心的橫截面對形心的3202422442022ddddAIdAP實(shí)心：實(shí)心：)1 (3232324444DdDIPDd441 . 032ddIPdxd稱為

9、單位長度扭轉(zhuǎn)角。（反映相對扭轉(zhuǎn)變形大?。┓Q為單位長度扭轉(zhuǎn)角。（反映相對扭轉(zhuǎn)變形大小）PGI稱為扭轉(zhuǎn)剛度。（反映桿件抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力）稱為扭轉(zhuǎn)剛度。（反映桿件抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力）說明說明2：單位長度扭轉(zhuǎn)角單位長度扭轉(zhuǎn)角PGITdxd 說明說明3：扭轉(zhuǎn)剛度扭轉(zhuǎn)剛度扭矩一定時，扭矩一定時，PGI越大，越大，變形變形dxd越小，越難變形越小，越難變形說明說明4： lpdxGIT0 pGITl 總扭轉(zhuǎn)角由積分總扭轉(zhuǎn)角由積分PGITdxd 由由PGIT某一段上某一段上為常數(shù)為常數(shù)總扭轉(zhuǎn)角為：總扭轉(zhuǎn)角為：2、扭轉(zhuǎn)變形、扭轉(zhuǎn)變形piiiiGIlT各段扭矩、長度等不相各段扭矩、長度等不相等時，分段計算再求和等

10、時，分段計算再求和圖示軸傳遞的功率圖示軸傳遞的功率P=7.5kW,轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速min360rn 軸的外徑軸的外徑D=30mm，空心段的內(nèi)徑，空心段的內(nèi)徑d=20mm,計算計算AC段外段外邊緣和邊緣和BC段內(nèi)、外邊緣的切應(yīng)力段內(nèi)、外邊緣的切應(yīng)力NmnPM1993605 . 7955095501、外力偶計算、外力偶計算2、扭矩（內(nèi)力偶）計算、扭矩（內(nèi)力偶）計算NmMTTCBAC199（內(nèi)力與截面形狀、尺寸無關(guān)）（內(nèi)力與截面形狀、尺寸無關(guān)）3、極慣性矩、極慣性矩4441095. 732mmDIPAC段段CB段段444411038. 6)(1 32mmDdDIPapMPmmNmmDIT5 .3723010

11、95. 710199242434、應(yīng)力計算、應(yīng)力計算AC段外邊緣段外邊緣CB段外邊緣段外邊緣apMPmmNmmDIT8 .462301038. 610199242431CB段內(nèi)邊緣段內(nèi)邊緣apMPmmNmmdIT2 .312201038. 6101992424313-5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度與剛度計算圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度與剛度計算一、扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件一、扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件（最大工作應(yīng)力不超過許用應(yīng)力）（最大工作應(yīng)力不超過許用應(yīng)力） maxPPpWTDITDITmaxmaxmaxmax)2(22DIWPP稱截面抗扭系數(shù)。稱截面抗扭系數(shù)。)1 (1616433DDWP實(shí)心實(shí)心空心空心 PWTmaxmax扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件

12、扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件三類計算三類計算強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核 maxmaxmaxPWT截面選擇截面選擇DWDTWpP163max許可載荷許可載荷PWTmax2、扭轉(zhuǎn)剛度條件、扭轉(zhuǎn)剛度條件 180pGIT（構(gòu)件最大變形不超過許可變形）（構(gòu)件最大變形不超過許可變形）pGITl扭轉(zhuǎn)變形（扭轉(zhuǎn)角）扭轉(zhuǎn)變形（扭轉(zhuǎn)角）pGITl單位長度扭轉(zhuǎn)角單位長度扭轉(zhuǎn)角m/rad單位：單位：單位：單位：rad m/單位：單位：扭轉(zhuǎn)剛度條件扭轉(zhuǎn)剛度條件 pGIT 某牌號汽車主傳動軸，傳遞最大扭矩某牌號汽車主傳動軸，傳遞最大扭矩T=1930Nm,傳動軸用外徑傳動軸用外徑D=89mm、壁厚、壁厚 =2.5mm的鋼管做成。材的鋼管做成。材料為

13、料為20號鋼，號鋼， =70MPa.校核此軸的強(qiáng)度。校核此軸的強(qiáng)度。29)945.01(9.82.0)1(2.0945.04343 DWDdT 70MPa66.7MPaPa107 .6610291930636maxmNmWTT承上，若改實(shí)心軸，承上，若改實(shí)心軸，d=?,比較空心與實(shí)心軸材料比較空心與實(shí)心軸材料333Pmax14. 3321101930WT66.7MPammdNmmmmmmNNmmd537 .6614. 332101930323303. 0534184-8941222）（實(shí)空AA 5噸單梁吊車，噸單梁吊車，NK=3.7kW,n=32.6r/min.試選擇傳動軸試選擇傳動軸CD的直

14、徑，并校核其扭轉(zhuǎn)剛度。軸用的直徑，并校核其扭轉(zhuǎn)剛度。軸用45號鋼，號鋼， =40MPa,G=80103MPa, = 1 /m。kW85. 127 . 32 kkNN輪輪5436 .3285. 195509550 nNTTk輪輪輪輪cm07. 4m0407. 010402 . 0543 2 . 02 . 03633 TdTdTWT由強(qiáng)度條件得m1m945. 014. 3180045. 01 . 0108054318049 pGIT 一傳動軸，已知一傳動軸，已知d=4 5cm,n=300r/min。主動輪輸入功率。主動輪輸入功率NA=36 7kW, ,從動輪從動輪B、C、D輸出的功率輸出的功率NB=14 7kw,NC=ND=11kW。軸的材料。軸的材料為為4545號鋼，號鋼，G=80 103MPa，=40MPa,=2 /m，試校核軸的強(qiáng)度和剛度。，試校核軸的強(qiáng)度和剛度。mN35130011