量子力學(xué)教程高等教育周世勛課后答案詳解

1、量子力學(xué)課后習(xí)題詳解第一章量子理論基礎(chǔ)11 由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對應(yīng)的波長m 與溫度T 成反比，即m T=b（常量）；并近似計算 b 的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。解根據(jù)普朗克的黑體輻射公式8hv 31dv ，v d vc3hv（ 1）e kT1以及v c ，（ 2）v dvvd ，（ 3）有dvdcdv()dv ()c8hc1,5hce kT1這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長介于與 +d 之間的輻射能量密度。本題關(guān)注的是 取何值時，取得極大值，因此，就得要求對 的一階導(dǎo)數(shù)為零，由此可求得相應(yīng)的 的值，記作m 。但要注意的是， 還需要驗證對 的二階導(dǎo)數(shù)在m 處的取值是否小

2、于零，如果小于零，那么前面求得的m 就是要求的，具體如下：' 8 hc1hc16hc5e kT1kTe1hc0kThc15kTe1hc0kThc5(1ekT )hckThc如果令 x=，則上述方程為5(1e x )x這是一個超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但經(jīng)過驗證，此解是平庸的；另外的一個解可以通過逐步近似法或者數(shù)值計算法獲得： x=4.97，經(jīng)過驗證，此解正是所要求的，這樣則有hcmT把 x 以及三個物理常量代入到上式便知xkm T2.910 3 m K這便是維恩位移定律。 據(jù)此，我們知識物體溫度升高的話， 輻射的能量分布的峰值向較短波長方面移動， 這樣便會根據(jù)熱物體 （如

3、遙遠(yuǎn)星體） 的發(fā)光顏色來判定溫度的高低。12 在 0K 附近，鈉的價電子能量約為3eV，求其德布羅意波長。解根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知E=hv，hP如果所考慮的粒子是非相對論性的電子（E動e c2 ），那么p2E2e如果我們考察的是相對性的光子，那么E=pc注意到本題所考慮的鈉的價電子的動能僅為3eV，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子的質(zhì)量與光速平方的乘積，即 0.5110 6 eV ，因此利用非相對論性的電子的能量動量關(guān)系式，這樣，便有hph2 eEhc2 ec2 E1.2410 6m2 0.51 106 30.71 10 9 m0.71nm在這里，利用了hc1.2410 6 eVm以及ec 20.51

4、 106 eV最后，對hc2e c2 E作一點討論，從上式可以看出，當(dāng)粒子的質(zhì)量越大時，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強；同樣的，當(dāng)粒子的動能越大時，這個粒子的波長就越短， 因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強， 由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大， 因而波動性極弱， 顯現(xiàn)出來的都是粒子性， 這種波粒二象性，從某種子意義來說，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。13氦原子的動能是E3 kT（k為玻耳茲曼常數(shù)），求T=1K時，氦原子的德2布羅意波長。解根據(jù)1kK10 3 eV，知本題的氦原子的動能為E3 kT3 kK1.510 3 eV ,22顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于核 c2 這樣，便有hc2

5、 核 c2 E1.2410 6m23.71091.510 30.3710 9 m0.37nm這里，利用了核 c24931 106 eV3.7109 eV最后，再對德布羅意波長與溫度的關(guān)系作一點討論，由某種粒子構(gòu)成的溫度為 T 的體系，其中粒子的平均動能的數(shù)量級為 kT ，這樣，其相慶的德布羅意波長就為hchc2 c 2 E2 kc2 T據(jù)此可知，當(dāng)體系的溫度越低， 相應(yīng)的德布羅意波長就越長， 這時這種粒子的波動性就越明顯， 特別是當(dāng)波長長到比粒子間的平均距離還長時， 粒子間的相干性就尤為明顯，因此這時就能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計分布的玻耳茲曼分布， 而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計分布玻色分布或費米公

6、布。14 利用玻爾索末菲的量子化條件，求：（1）一維諧振子的能量；（2）在均勻磁場中作圓周運動的電子軌道的可能半徑。已知外磁場 H=10T，玻爾磁子 M B910 24 J T 1 ，試計算運能的量子化間隔 E，并與 T=4K 及 T=100K 的熱運動能量相比較。解玻爾索末菲的量子化條件為pdqnh其中 q 是微觀粒子的一個廣義坐標(biāo)， p 是與之相對應(yīng)的廣義動量，回路積分是沿運動軌道積一圈， n 是正整數(shù)。（1）設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k，諧振子質(zhì)量為 ，于是有Ep21 kx 222這樣，便有p2 (E1 kx 2 )2這里的正負(fù)號分別表示諧振子沿著正方向運動和沿著負(fù)方向運動， 一正一負(fù)正好

7、表示一個來回，運動了一圈。此外，根據(jù)可解出xE 1 kx 222Ek這表示諧振子的正負(fù)方向的最大位移。 這樣，根據(jù)玻爾索末菲的量子化條件，有2 ( E1 kx2 )dx()2(E1 kx2 ) dx nhxxx2x2x1 kx2 )dxx1 kx2 )dx nh2 ( E2 ( Ex2x2x1 kx2 )dxn h2 (Ex22為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換；2Exsink這樣，便有22E cos2 d2E sinn h2k222 E cos2Ecos dnhk2222Ekc o 2s dn h22這時，令上式左邊的積分為A ，此外再構(gòu)造一個積分B2 2Esin 2 d2 k這樣，便有

8、AB22E2AB22E222d2E,kk（1）cos2 dkE cos 2 d (2 )k2 Ecos d ,2 k這里=2，這樣，就有A BE d sin0（ 2）k根據(jù)式（ 1）和（ 2），便有AEk這樣，便有En hk2En hk2nh,kh其中 h2最后，對此解作一點討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的能量是等間隔分布的。（2）當(dāng)電子在均勻磁場中作圓周運動時，有2Rq Bpq B R這時，玻爾索末菲的量子化條件就為2qBRd(R) nh0qBR22nhqBR2nh又因為動能耐 Ep22，所以，有E( qBR) 2q 2 B2 R222qBnq2nB2nBN B ,

9、其中， M B q是玻爾磁子，這樣，發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的，而且2EBM B具體到本題，有E10910 24J910 23J根據(jù)動能與溫度的關(guān)系式E 3 kT2以及1kK10 3 eV1.610 22 J可知，當(dāng)溫度 T=4K 時，E1.54 1.610 22 J9.6 10 22 J當(dāng)溫度 T=100K 時，E1.51001.610 22 J2.410 20 J顯然，兩種情況下的熱運動所對應(yīng)的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。15 兩個光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對，如果兩光子的能量相等，問要實現(xiàn)實種轉(zhuǎn)化，光子的波長最大是多少？解 關(guān)于兩個光子轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對的動力學(xué)過程， 如

10、兩個光子以怎樣的概率轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對的問題， 嚴(yán)格來說，需要用到相對性量子場論的知識去計算，修正當(dāng)涉及到這個過程的運動學(xué)方面， 如能量守恒， 動量守恒等， 我們不需要用那么高深的知識去計算，具休到本題，兩個光子能量相等，因此當(dāng)對心碰撞時，轉(zhuǎn)化為正風(fēng)電子對反需的能量最小，因而所對應(yīng)的波長也就最長，而且，有Ehve c2此外，還有Epc于是，有hcec 2hce c2hc1.24 10 60.51 106 m2.4 10 12 m2.4 10 3 nm盡管這是光子轉(zhuǎn)化為電子的最大波長， 但從數(shù)值上看， 也是相當(dāng)小的， 我們知道，電子是自然界中最輕的有質(zhì)量的粒子， 如果是光子轉(zhuǎn)化為像正反質(zhì)子對之類的

11、更大質(zhì)量的粒子， 那么所對應(yīng)的光子的最大波長將會更小， 這從某種意義上告訴我們，當(dāng)涉及到粒子的衰變， 產(chǎn)生，轉(zhuǎn)化等問題，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子間的轉(zhuǎn)化等現(xiàn)象就越豐富，這樣，也許就能發(fā)現(xiàn)新粒子，這便是世界上在造越來越高能的加速器的原因：期待發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象，新粒子，新物理。第二章波函數(shù)和薛定諤方程2.1 證明在定態(tài)中，幾率流與時間無關(guān)。證：對于定態(tài)，可令( r，t )( r )f (t)iEt( r )ei(*)J2mi( r )eiEtiii（Et*Et（Et( r)e）(r )e( r )e）2mi2m( r )*( r )* ( r )( r)可見 J與t 無關(guān)。2.2由下列定態(tài)

12、波函數(shù)計算幾率流密度：(1) 11 e i k r(2) 21 e i k rrr從所得結(jié)果說明1 表示向外傳播的球面波，2 表示向內(nèi) (即向原點 ) 傳播的球面波。解： J1 和J 2只有 r分量在球坐標(biāo)中r0 re1e1rr s i ni( 1(1) J12mi 1 eikr2m ri 1 (2m rkrmr 20*1 )11r( 1 e ikr )1 e ikr( 1 eikr )r0rrr r1ik 1)1 (1ik 1) r0r 2rrr 2rk rm r3J1與r 同向。表示向外傳播的球面波。(2) J2i(22mi 1 e2mri 1 (2mr*)22ikr(1 eikr )1

13、eikr(1 e ikr ) r0rrrr r1ik 1)1 (1ik 1) r0r 2rrr 2rk rkrmr 20mr 3可見， J 2與 r 反向。表示向內(nèi) (即向原點 ) 傳播的球面波。補充：設(shè)(x)eikx ，粒子的位置幾率分布如何？這個波函數(shù)能否歸一化？*dxdx2波函數(shù)不能按( x) dx1 方式歸一化。其相對位置幾率分布函數(shù)為21表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。2.3一粒子在一維勢場， x 0U ( x)0， 0xa， x a中運動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。解： U ( x)與t 無關(guān)，是定態(tài)問題。其定態(tài)S方程2 d2( x) U ( x) (x) E (x)2m dx

14、 2在各區(qū)域的具體形式為2d 21 (x) U ( x) 1 ( x) E1 (x)： x 0dx 22m2d 22 ( x) E2 (x)： 0 x a2m dx 22d 23 ( x) U (x) 3 (x) E3 ( x)： x a2m dx 2由于 (1)、 (3)方程中，由于 U ( x)，要等式成立，必須1 ( x)02 ( x)0即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。d 22 ( x)2mE2(x) 0方程 (2)可變?yōu)閐x 22令 k 22mE2，得d 22( x)2(x)0dx 2k2其解為2 ( x)A sin kxB coskx根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)A ，B，由連續(xù)性條

15、件，得2 (0)1(0)2 (a)3 (a) B 0A sin ka0A0si nka0kan(n 1, 2, 3, ) 2(x) A sin nxa由歸一化條件得對應(yīng)于2dx 1( x)A2a2n1s i nx d x0 aax sin n由sin mxdxamnbaa2A2a2 (x)2nxs i naak22mE222n2( n 1,2,3, ) 可見 E 是量子化的。En2ma2En 的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為2niEn tn ( x, t)sinaxe, 0xaa0,xa,x a#2.4.證明（ 2.6-14）式中的歸一化常數(shù)是1AaA sin n (x a),xa證：na0,xa（ 2

16、.6-14）由歸一化，得12aA 2 sin 2 n(x a)dxndxaaA2a1cosn1( x a)dxa 2aA2aA2ax2a2ancos(xa)dxaA 2anaA2(x a)ansin2aaA 2a歸一化常數(shù) A1#a2.5求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。1 2 x 2解： ( x)2 xe 221 ( x)24 2221 (x)x2 ex223x 2e2 x 2d 1 (x) 232x32 x2 2x 2edx令 d 1 (x)0，得 dxx0x1x由 1 (x)的表達(dá)式可知， x0，x時， 1 (x)0 。顯然不是最大幾率的位置。而 d 21 ( x)23( 262

17、x 2 )2 2 x(2x 22 x3 )e2 x2dx24 3(1 52 x224 x4 )e2 x 2d 21 ( x)431dx 2201ex2可見 x1是所求幾率最大的位置。#2.6在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：U (x)U ( x) ，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。證：在一維勢場中運動的粒子的定態(tài)S-方程為2d 2( x) U ( x) (x) E ( x)2dx 2將式中的 x以( x) 代換，得2d 2( x)U ( x)( x)E(x)2dx2利用 U ( x)U ( x) ，得2d 2( x)U ( x)( x)E(x)2dx 2比較、式可知，( x)和( x

18、) 都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。由于它們描寫的是同一個狀態(tài)，因此( x)和( x) 之間只能相差一個常數(shù) c 。方程、可相互進行空間反演( xx) 而得其對方，由經(jīng)xx反演，可得，(x)c( x)由再經(jīng)xx 反演，可得，反演步驟與上完全相同，即是完全等價的。(x)c(x)乘 ，得( x) ( x ) c2 (x ) ( x)可見， c21c1當(dāng) c1 時，( x)(x) ，(x) 具有偶宇稱，當(dāng) c1 時，( x)( x) ，(x) 具有奇宇稱，當(dāng)勢場滿足U (x)U (x) 時，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。#2.7一粒子在一維勢阱中U0 0,xaU ( x)xa0,運動，

19、求束縛態(tài) ( 0EU 0 )的能級所滿足的方程。解法一：粒子所滿足的S-方程為2 d 22dx2(x)U (x)( x)E( x)按勢能 U ( x) 的形式分區(qū)域的具體形式為2d 21 ( x) U 0 1 ( x) E1 ( x )x a ：dx 222d 22 (x) E2 ( x)a x a：dx222d 23 ( x) U 0 3 ( x) E3 (x )a x ：dx 22整理后，得：2(U 0E )1210： .2E0222： 32 (U0E)302令22 (U0 E)22 Ek12k22則：1k12 1： .2k222：3k12 1000各方程的解為1Ae k1xBek 1x2

20、C sin k 2 xD cos k 2 x3Ee k1xFe k1x由波函數(shù)的有限性，有1 ()有限A03 ()有限E0因此1 Bek1x3 Fe k1 x由波函數(shù)的連續(xù)性，有1 (a)2 (a),Be k1aC sin k 2 aD cosk 2a(10)1 (a)2 (a),k 1 Be k 1ak 2C cosk 2 ak 2 D sin k 2 a(11)2 (a)3 (a),C sin k 2 aD cosk 2aFe k1 a(12)2 (a)3 (a),k 2 C cosk 2ak 2 D sin k 2 ak1 Fe k1a(13)整理 (10) 、(11) 、 (12) 、

21、 (13) 式，并合并成方程組，得e k1 aBsin k 2aCcosk 2 aD 00k 1e k1a Bk 2 cosk 2aCk 2 sin k 2a D000sin k 2 aC cosk 2 aD e k1a F00 k 2 cosk 2aCk 2 sin k 2 aD k 1e k1a F0解此方程即可得出 B、C、D、F，進而得出波函數(shù)的具體形式，要方程組有非零解，必須e k1asin k 2 acosk 2 a0k 1e k 1ak 2 cos k 2ak 2sin k 2 a000sin k 2 acosk 2 ae k1a0k 2 cosk 2 ak 2sin k 2 a

22、k1 Be k1ak 2 cosk 2 ak 2 sin k 2a00e k1 asin k 2 acosk 2ae k1ak 2 cosk 2 ak 2 sin k 2ak 1 e k1asin k 2acosk 2 a0k1 e k1 asin k 2acosk 2 ae k1ak 2 cosk 2ak 2 sin k 2 ak 1 e k1ae k1a k1 k 2 e k1a cos2 k 2ak 22 e k1a sin k 2a cosk 2ak 1k 2 e k1a sin 2 k 2 ak 22 e k1 a sin k 2a cosk 2ak 1e k 1a k 1e k1a

23、 sin k 2 acosk 2 ak 2 e k1a cos2 k 2ak1 e k1a sin k 2a cosk 2ak 2e k1a sin2 k 2ae 2 k1a 2k1 k 2 cos2k 2ak 22 sin 2k 2 ak 12 sin 2k 2 ae 2 k1a ( k 22k 12 ) s i n2k 2a2k1k 2 c o 2sk 2a e2 k1a0 (22 ) sin 22k1k2cos20k2k1k2 ak 2a即 (k22 k12 )tg 2k2 a 2k1k2 0 為所求束縛態(tài)能級所滿足的方程。 #解法二：接（ 13）式C sin k 2 aD cosk 2

24、 ak 2 C cosk 2 ak 2 D sin k 2ak 1k1C sin k 2 aD cosk 2 ak 2C cosk 2 ak 2D sin k 2 ak 1k1k2cosk2 asink 2ak 2sink 2acosk2 ak1k10k2( k 2 sink 2acosk2 asink 2acosk2 a)k1k1( k2 cosk2 asink2 a)( k2sin k2 acosk2a )k1k1( k2 cosk2 asink2 a)( k2sin k2 acosk2a )0k1k1( k2cosk2a sin k2 a)( k2sin k2 acosk2a)0k1k1

25、k22k2sin2k2 ak22sink2 a cosk2 a 0k2 sin k2a cosk 2ak1k1cos k2 a122k2 cos2k2 a(1k22 ) sin 2k2 a0k1k1(k22k12 ) sin2k2 a2k 1 k2 cos2k2 a0#解法三：(11)-(13)2k2 D sink2 ak1 e k 1a (B F )(10)+(12)2D cosk 2 ae k1a (BF)(11)(13)k 2 tgk 2 ak 1(a)(10)(12)(11)+(13)2k2C cosk2 ak1 (FB)e ik1a(12)-(10)2C sin k 2 a(FB)e

26、 ik 1a(11)(13)k 2ctgk2 ak1(12)(10)令k 2a，k2a，則tg(c)或ctg(d)22222 U 0a2(k 1k 2 )2(f )合并 (a)、(b) ：2k1 k22tgk 2 atg2k 2ak12利用 tg2k 2 a2 k 2ak221 tg#解法四：（最簡方法 - 平移坐標(biāo)軸法）2：21U 0 1E 1（ 0）2（ 0 2 a ）：22E 22（2 a ）：23U 03E32(U 0E )01212E02222(U 0E )03231k 1210(1)k 122(U 0E)22k 2220(2)k 222E2束縛態(tài) 0E U03k 1230(3)1A

27、e k1 xBe k1 x2C sin k2 xD cosk 2 x3Ee k1 xFe k1 x1 (有限B0)3 ()有限E0因此1 Ae k1 x3 Fe k1 x由波函數(shù)的連續(xù)性，有1 (0)2 (0),AD(4)1 (0)2 (0),k 1Ak 2 C(5)2 (2a)3 (2a),k 2 C cos2k 2 a k 2 D sin 2k 2 ak 1 Fe2 k1 a(6)2 (2a)3 (2a),C sin 2k2 a D cos2k 2a Fe2k1a(7)(7) 代入 (6)C sin2k2 a D cos2k2 ak2C cos2k2 ak2Dsin2kak1k12利用 (

28、4) 、(5) ，得k1A sin 2k 2 aA cos2k 2 aA cos2k 2 ak 2A ( k 1k 2 ) sin 2k 2 a2 cos2k 2 a0k 2k 1A0( k 1k 2 ) sin2k 2 a2cos2k 2 a0k 2k 1兩邊乘上 ( k 1k 2 )即得(k 22k 12 ) sin 2k2a 2k1 k 2 cos2k 2 a0#k 2D sin 2k 2 a2.8 分子間的范德瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢能可以近似表示為,x0，U0 ,0xa，U (x)axb，U 1 ,0,bx，求束縛態(tài)的能級所滿足的方程。解：勢能曲線如圖示，分成四個區(qū)域求解。定態(tài) S-方程為

29、2 d 22dx 2(x)U ( x)(x)E( x)對各區(qū)域的具體形式為：221U ( x)1E1( x0)2：22U 02E22：23U 13E32：240E4(0xa)( axb)(bx)對于區(qū)域， U ( x)，粒子不可能到達(dá)此區(qū)域，故1 ( x)0而 .2(U 0E)02222(U 1E)32302E0424對于束縛態(tài)來說，有UE02022 (U0 E)2k1 2k122022 (U1 E)3k3 3k324k4240k422 E /2各方程的解分別為2Ae k1 xBe k1x3C sin k2 x D cos k2 x4Ee k3xFe k3 x由波函數(shù)的有限性，得4()有限，E

30、04Fe k3 x由波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)，得1 (0)2 (0)BA2A( ek3 xe k3 x )2 (a)3 (a)A(ek3 xe k3 x )C si nk2 aD c o ks2 a3 (a)3 ( a) Ak1 (ek3 ae k3a ) Ck2 cosk 2aDk 2 sin k2 a3 (b)4 (b)C sin k 2bD cosk2bFe k3b3 (b)4 (b)Ck2 sin k2 bDk2 cosk 2bFk 3e k3 bk1 a由、，得k1 e e k2 ek1 a ek1aC cosk2 aD cosk 2ak1a(11)C sink2 aD cosk2a由 、得 (k 2 cosk2 b)C( k2 sink2b)D(k 3 sink2 b)C(k 3 cosk2 b) D( k2 c o ks2 bs i nk2 b)C(k2c o ks2 bs i nk2 b)D0(12)k3k3令ek1ae k1ak1，則式變?yōu)閑k1ae k 1ak2(sink 2 a cosk2 a)C(cosk2 asink2 a)D0聯(lián)立 (12)、(13)得，要此方程組有非零解，必須( k2 c o ks2 b s i kn2 b) (k2 s