實變函數(shù)試題庫(3)及參考答案

1、實變函數(shù)試題庫及參考答案（3） 本科一、填空題 1設(shè)為集合，則 2設(shè)為無理數(shù)集，則 （其中表示自然數(shù)集的基數(shù)）3設(shè)，如果中沒有不是內(nèi)點的點，則稱是 4任意個閉集的交是 5設(shè)是定義在可測集上的實函數(shù)，如果，是可測，（）則稱在上 6可測函數(shù)列的上確界也是 7設(shè)，則8設(shè)，那么由黎斯定理，有子列，使 于二、選擇題1下列集合關(guān)系成立的是（ ） 2設(shè)，則( ) 3設(shè)為康托集，則（ ） 是可數(shù)集 是不可數(shù)集 是開集4下列集合關(guān)系成立的是（ ） 若則 若則 若則 若則三、多項選擇題（每題至少有兩個以上的正確答案）1設(shè)是狄利克萊函數(shù)，即，則（ ） 幾乎處處等于 幾乎處處等于 是非負(fù)可測函數(shù) 是可積函數(shù)2設(shè)，則（

2、 ） 是可測集 的任何子集是可測集 是可數(shù)集 不一定是可數(shù)集3設(shè)，則（ ） 當(dāng)是可測集時，是可測函數(shù) 當(dāng)是可測函數(shù)時，是可測集 當(dāng)是不可測集時，可以是可測函數(shù) 當(dāng)是不是可測函數(shù)時，不一定是可測集4設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，則（ ） 在上有界 在上可測 在上可積 在上不一定可積四、判斷題1. 對等的集合不一定相等. （ ）2. 稱在上幾乎處處相等是指使的全體是零測集. （ ）3. 可數(shù)個開集的交是開集 （ ）4. 可測函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù). （ ）5. 對等的集合有相同的基數(shù). （ ）五、定義題1. 簡述證明集合對等的伯恩斯坦定理.2. 簡述中開集的結(jié)構(gòu).3. 可測集與閉集、集有什么關(guān)系？4. 為什么說

3、絕對連續(xù)函數(shù)幾乎處處可微？六、計算題1. 設(shè)，為中有理數(shù)集，求.2. 設(shè)，求.七、證明題1設(shè)是上的可測函數(shù)，則對任何常數(shù)，有2設(shè)是上的可積函數(shù)，為的一列可測子集，如果則3 證明集合等式：4設(shè)是零測集，則的任何子集是可測集，且5. 證明：上的實值連續(xù)函數(shù)必為上的可測函數(shù)本科實變函數(shù)試題庫及參考答案（3） 1、 填空題1.= 2.= 3.開集 4.閉集 5.可測 6.可測函數(shù) 7. 8.二、單選題1.b 2.a 3.b 4.a三、多選題1.bcd 2.abd 3.ab 4.bd四、判斷題 ×五、定義題1.答：若，又，則2.答: 設(shè)為中開集，則可表示成中至多可數(shù)個互不相交的開區(qū)間的并.3.

4、答：設(shè)是可測集，則，閉集，使或 集，使.4.答：因為絕對連續(xù)函數(shù)是有界變差，由若當(dāng)分解定理，它可表示成兩個單調(diào)增函數(shù)的差，而單調(diào)函數(shù)幾乎處處有有限的導(dǎo)數(shù)，所以絕對連續(xù)函數(shù)幾乎處處可微.六、解答題1.解：因為，所以于于是而在上連續(xù)，所以黎曼可積，由牛頓萊布尼公式因此2.解：因為在上連續(xù)，所以可測又而，所以.因此由有界控制收斂定理七、證明題1.證明 因為在上可測，所以是非負(fù)可測函數(shù)，于是由非負(fù)可測函數(shù)積分性質(zhì)，而，所以 2.證明 因在上可積，由積分的絕對連續(xù)性知，對任意，存在，對任何，當(dāng)時有，由于，故對上述的，存在，當(dāng)時，且有，于是 ，即 3. 證明 4.證明 設(shè)，由外測度的單調(diào)性和非負(fù)性，所以 ，于是由卡氏條件易知是可測集5. 證明 ，不妨假設(shè)，因為