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1、實變函數(shù)試題庫及參考答案(3) 本科一、填空題 1設(shè)為集合,則 2設(shè)為無理數(shù)集,則 (其中表示自然數(shù)集的基數(shù))3設(shè),如果中沒有不是內(nèi)點的點,則稱是 4任意個閉集的交是 5設(shè)是定義在可測集上的實函數(shù),如果,是可測,()則稱在上 6可測函數(shù)列的上確界也是 7設(shè),則8設(shè),那么由黎斯定理,有子列,使 于二、選擇題1下列集合關(guān)系成立的是( ) 2設(shè),則( ) 3設(shè)為康托集,則( ) 是可數(shù)集 是不可數(shù)集 是開集4下列集合關(guān)系成立的是( ) 若則 若則 若則 若則三、多項選擇題(每題至少有兩個以上的正確答案)1設(shè)是狄利克萊函數(shù),即,則( ) 幾乎處處等于 幾乎處處等于 是非負(fù)可測函數(shù) 是可積函數(shù)2設(shè),則(
2、 ) 是可測集 的任何子集是可測集 是可數(shù)集 不一定是可數(shù)集3設(shè),則( ) 當(dāng)是可測集時,是可測函數(shù) 當(dāng)是可測函數(shù)時,是可測集 當(dāng)是不可測集時,可以是可測函數(shù) 當(dāng)是不是可測函數(shù)時,不一定是可測集4設(shè)是上的連續(xù)函數(shù),則( ) 在上有界 在上可測 在上可積 在上不一定可積四、判斷題1. 對等的集合不一定相等. ( )2. 稱在上幾乎處處相等是指使的全體是零測集. ( )3. 可數(shù)個開集的交是開集 ( )4. 可測函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù). ( )5. 對等的集合有相同的基數(shù). ( )五、定義題1. 簡述證明集合對等的伯恩斯坦定理.2. 簡述中開集的結(jié)構(gòu).3. 可測集與閉集、集有什么關(guān)系?4. 為什么說
3、絕對連續(xù)函數(shù)幾乎處處可微?六、計算題1. 設(shè),為中有理數(shù)集,求.2. 設(shè),求.七、證明題1設(shè)是上的可測函數(shù),則對任何常數(shù),有2設(shè)是上的可積函數(shù),為的一列可測子集,如果則3 證明集合等式:4設(shè)是零測集,則的任何子集是可測集,且5. 證明:上的實值連續(xù)函數(shù)必為上的可測函數(shù)本科實變函數(shù)試題庫及參考答案(3) 1、 填空題1.= 2.= 3.開集 4.閉集 5.可測 6.可測函數(shù) 7. 8.二、單選題1.b 2.a 3.b 4.a三、多選題1.bcd 2.abd 3.ab 4.bd四、判斷題 ×五、定義題1.答:若,又,則2.答: 設(shè)為中開集,則可表示成中至多可數(shù)個互不相交的開區(qū)間的并.3.
4、答:設(shè)是可測集,則,閉集,使或 集,使.4.答:因為絕對連續(xù)函數(shù)是有界變差,由若當(dāng)分解定理,它可表示成兩個單調(diào)增函數(shù)的差,而單調(diào)函數(shù)幾乎處處有有限的導(dǎo)數(shù),所以絕對連續(xù)函數(shù)幾乎處處可微.六、解答題1.解:因為,所以于于是而在上連續(xù),所以黎曼可積,由牛頓萊布尼公式因此2.解:因為在上連續(xù),所以可測又而,所以.因此由有界控制收斂定理七、證明題1.證明 因為在上可測,所以是非負(fù)可測函數(shù),于是由非負(fù)可測函數(shù)積分性質(zhì),而,所以 2.證明 因在上可積,由積分的絕對連續(xù)性知,對任意,存在,對任何,當(dāng)時有,由于,故對上述的,存在,當(dāng)時,且有,于是 ,即 3. 證明 4.證明 設(shè),由外測度的單調(diào)性和非負(fù)性,所以 ,于是由卡氏條件易知是可測集5. 證明 ,不妨假設(shè),因為
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