坐標變換總結(jié)Clark變換和Park變換

1、一個坐標系的坐標變換為另一種坐標系的坐標的法則。由于交流異步電動機的電壓、電流、磁通和電磁轉(zhuǎn)矩各物理量之間是相互關聯(lián)的強耦合，并且其轉(zhuǎn)矩正比與主磁通與電流，而這兩個物理量是隨時間變化的函數(shù)，在異步電機數(shù)學模型中將出現(xiàn)兩個變量的乘積項，因此，又為多變量，非線性系統(tǒng)（關鍵是有一個復雜的電感矩陣），這使得建立異步電動機的準確數(shù)學模型相當困難。為了簡化電機的數(shù)學模型，需從簡化磁鏈入手。解決的思路與基本分析：1.已知，三相( ABC )異步電動機的定子三相繞組空間上互差120度，且通以時間上互差120度的三相正弦交流電時，在空間上會建立一個角速度為的旋轉(zhuǎn)磁場。又知，取空間上互相垂直的（，）兩相繞組，且在

2、繞組中通以互差90度的兩相平衡交流電流時，也能建立與三相繞組等效的旋轉(zhuǎn)磁場。 此時的電機數(shù)學模型有所簡化。2. 還知, 直流電機的磁鏈關系為：F-勵磁繞組 軸線-主磁通的方向，即軸線在d軸上,稱為直軸(Direct axis)。A-電樞繞組 軸線-由于電樞繞組是旋轉(zhuǎn)的，通過電刷饋入的直流電產(chǎn)生電樞磁動勢，其軸線始終被限定在q軸，即與d軸成90度，稱為交軸(Quadrature axis)。由于q軸磁動勢與d軸主磁通成正交，因此電樞磁通對主磁通影響甚微。換言之，主磁通唯一地由勵磁電流決定，由此建立的直流電機的數(shù)學模型十分簡化。如果能夠?qū)⑷椊涣麟姍C的物理模型等效的變換成類似的模型，分析和控制就變

3、得大大簡單了。電機模型彼此等效的原則：不同坐標系下產(chǎn)生的磁動勢(大小、旋轉(zhuǎn)）完全一致。關于旋轉(zhuǎn)磁動勢的認識：1) 產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁動勢并不一定非要三相繞組不可。結(jié)論是：除了單相電機之外，兩相、三相或四相等任意對稱（空間）的多相繞組，若通以平衡的多相電流，都可產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁動勢。根據(jù)這一道理，利用其在空間上互差90度的靜止繞組，并通以時間上互差90度的平衡交流電流，同樣可產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁場（或磁動勢F），因而可等效代替三相繞組的作用。這就是ABC(3-2)變換的思路。2) 進而認識到，若直流電機電樞繞組以整體同步速度旋轉(zhuǎn)，使其相互正交或垂直的繞組M，T分別通以直流電流，產(chǎn)生的合成磁動勢F相對于繞組是固定不變的，

4、但從外部看，它的合成磁動勢也是旋轉(zhuǎn)的。因此還可產(chǎn)生dq(2-2)變換。矢量變換控制的基本思想：通過數(shù)學上的坐標變換方法，把交流三相繞組中的電流變換為兩相靜止繞組中的電流。可以使數(shù)學模型的維數(shù)降低，參變量之間的耦合因子減少，使系統(tǒng)數(shù)學模型簡化。以產(chǎn)生同樣的旋轉(zhuǎn)磁動勢為準則，可以用以下關系來表示三相交流繞組兩相交流繞組整體旋轉(zhuǎn)直流繞組空間互差120，通以時間上互差120的三相平衡交流電空間互差90，通以時間上互差90的兩相平衡交流電空間互差90，分別通以直流電流，且整個鐵心以同步速度旋轉(zhuǎn)（即磁動勢與坐標系一起旋轉(zhuǎn)）所謂坐標變換的方法就是用一組新的變量來代替原方程中的一組變量，使得原方程（數(shù)學模型）

5、得以簡化（弱化強耦合或解耦）。1變換原則-功率不變約束條件設電壓方程為u=Zi新定義的變量為、設電壓變換矩陣為，電流變換矩陣為，則變換前后的電壓和電流關系式為 假設變換前后功率不變，即 經(jīng)代入整理后，有 為簡化變換陣，一般取 代入上式，則有 式中，C為單元變換矩陣，這種變換屬于正交變換。滿足上述功率不變約束條件的正交變換實現(xiàn)了簡化的統(tǒng)一變換關系。2(3s/2s變換) 三相靜止軸系A-B-C到兩相靜止軸系的變換為便于分析，取三相繞組匝數(shù)相等： 并取兩相繞組匝數(shù)也相等， 可得到，兩相繞組的旋轉(zhuǎn)磁動勢與三相繞組的磁動勢等效表達式：從而找出3/2磁動勢等效下的兩種電流間的對應關系及其變換矩陣，（為保證

6、推導的嚴謹性，在非方陣中引入一個獨立變量，稱為零軸電流。當定子繞組為Y 形接線時，可在變換矩陣中消去該獨立因子）經(jīng)推導整理可以得到3/2變換表達式，已知無零線Y形接線時，則有 。 代入上式進而可簡化為：上式對電壓和磁鏈也成立。3(2s/2r變換) 二相靜止軸系，到二相旋轉(zhuǎn)軸系 d，q 的變換假如有兩個相互垂直的繞組，在兩繞組中分別通以直流電流，并且將此固定磁場以同樣的角速度旋轉(zhuǎn)，則兩相旋轉(zhuǎn)繞組產(chǎn)生的合成磁場也是一個旋轉(zhuǎn)磁場。再進一步使兩繞組軸線與三相繞組（或與兩相靜止繞組的軸線同方向）的旋轉(zhuǎn)磁場方向相同。由此即可用兩個直流分量來替代三相交流電。這可進一步簡化參變量間的關系。設兩相靜止坐標系與兩

7、相旋轉(zhuǎn)坐標系間的夾角為（且隨時間變化）由兩相靜止軸系與兩相旋轉(zhuǎn)軸系的等效磁動勢表達式可以得到變換關系，當定子三相電流為：代入3/2變換式，有其中式說明，從靜止三相A-B-C變換到靜止二相d-q，在D、Q繞組中通以互差90度的與三相同頻率的兩相平衡正弦交流電流，即可獲得與三相靜止繞組等效的磁動勢。又可知，將上式部分（d軸）展開后有，因此，d軸分量又可分別定義為瞬時有功電流和瞬時無功電流之和，因此，d軸分量又可分別定義為瞬時有功電流和瞬時無功電流之和，53/2變換結(jié)果代入2/2變換后有上式說明，在D-Q軸上通以兩個直流電流，其大小分別為三相繞組中的有功電流和無功電流。這樣也可獲得與三相繞組等效的磁

8、動勢。6 由3/2變換的瞬時無功功率理論可以獲得與上述同樣的結(jié)果已知，假定三相瞬時電壓為三相平衡電壓源，A相電壓為，代入電壓3/2變換有代入上式整理后，有可見，上式與2/2變換結(jié)果相同。7.進一步引申還可知道可以看出，經(jīng)過3/2和2/2變換，三相交流系統(tǒng)中的基波有功分量和基波無功分量在d-q坐標系表示為直流分量，或者講，被變換的三相電流中若既含有基波電流，又有高次諧波電流，則經(jīng)過變換后所獲得的直流分量對應原來的基波電流，而變換獲得的諧波分量將對應原來的（n-1）次諧波電流（注意到，3/2變換的結(jié)果仍保持頻率不變，且兩變量為正交分量）。由此啟發(fā)人們利用這樣的變換/反變換結(jié)果來獲取除了基波成分之外

9、的其它畸變分量。應注意到，雖然上述對電壓的3/2變換代入到瞬時功率表達式中，可以得到與2/2變換同樣的結(jié)果。但在實際應用時卻屬兩種檢測算法。例如，它們的低通濾波器設計參數(shù)不同；由于d-q坐標系是以旋轉(zhuǎn)的，它與軸的夾角是隨時間變化的，還需從系統(tǒng)電壓提取同步相位信息。另外，當考慮電壓畸變時，2/2變換仍是準確的。坐標變換 由于直流電機的主磁通基本上唯一地由勵磁繞組的勵磁電流決定，所以這是直流電機的數(shù)學模型及其控制系統(tǒng)比較簡單的根本原因。如果能將交流電機的物理模型等效地變換成類似直流電機的模式，分析和控制就可以大大簡化。坐標變換正是按照這條思路進行的。 不同電機模型彼此等效的原則是：在不同坐標下所產(chǎn)

10、生的磁動勢完全一致。1坐標變換原理 交流電機三相對稱的靜止繞組A 、B 、C ，通以三相平衡的正弦電流時，產(chǎn)生的合成磁動勢是旋轉(zhuǎn)磁動勢F，它在空間呈正弦分布，以同步轉(zhuǎn)速ws（即電流的角頻率）順著A-B-C的相序旋轉(zhuǎn)。這樣的物理模型繪于下圖1中。圖1交流電機繞組的等效物理模型 圖2等效的兩相交流電機繞組旋轉(zhuǎn)磁動勢并不一定非要三相不可，除單相以外，二相、三相、四相、 等任意對稱的多相繞組，通以平衡的多相電流，都能產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁動勢，當然以兩相最為簡單。圖2中繪出了兩相靜止繞組a和b它們在空間互差90°，通以時間上互差90°的兩相平衡交流電流，也產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁動勢F。圖3旋轉(zhuǎn)的直流繞組當

11、圖1和2的兩個旋轉(zhuǎn)磁動勢大小和轉(zhuǎn)速都相等時，即認為圖2的兩相繞組與圖1的三相繞組等效。 圖3兩個匝數(shù)相等且互相垂直的繞組d 和q，其中分別通以直流電流id和iq，產(chǎn)生合成磁動勢F，其位置相對于繞組來說是固定的。如果讓包含兩個繞組在內(nèi)的整個鐵心以同步轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，則磁動勢F自然也隨之旋轉(zhuǎn)起來，成為旋轉(zhuǎn)磁動勢。把這個旋轉(zhuǎn)磁動勢的大小和轉(zhuǎn)速也控制成與圖1 和圖2中的磁動勢一樣，那么這套旋轉(zhuǎn)的直流繞組也就和前面兩套固定的交流繞組都等效了。 由此可見，以產(chǎn)生同樣的旋轉(zhuǎn)磁動勢為準則，圖1的三相交流繞組、圖2的兩相交流繞組和圖3中整體旋轉(zhuǎn)的直流繞組彼此等效。或者說，在三相坐標系下的iA、iB 、iC，在兩相坐標

12、系下的ia、ib和在旋轉(zhuǎn)兩相坐標系下的直流id、iq 是等效的，它們能產(chǎn)生相同的旋轉(zhuǎn)磁動勢。坐標變換的任務就是求出iA、iB 、iC 與ia、ib和id、iq 之間準確的等效關系。2三相-兩相變換（3/2變換）在三相靜止繞組A、B、C和兩相靜止繞組a、b之間的變換，或稱三相靜止坐標系和兩相靜止坐標系間的變換，簡稱3/2 變換。圖4 三相和兩相坐標系與繞組磁動勢的空間矢量上圖繪出了A、B、C和a、b兩個坐標系，為方便起見，取A軸和a軸重合。設三相繞組每相有效匝數(shù)為N3，兩相繞組每相有效匝數(shù)為N2，各相磁動勢為有效匝數(shù)與電流的乘積，其空間矢量均位于有關相的坐標軸上。由于交流磁動勢的大小隨時間在變化

13、著，圖中磁動勢矢量的長度是隨意的。 設磁動勢波形是正弦分布的，當三相總磁動勢與二相總磁動勢相等時，兩套繞組瞬時磁動勢在a、b軸上的投影都應相等，寫成矩陣形式，得考慮變換前后總功率不變，在此前提下匝數(shù)比應為代入上式，得三相兩相坐標系的變換矩陣令C3/2 表示從三相坐標系變換到兩相坐標系的變換矩陣，則1 3兩相兩相旋轉(zhuǎn)變換（2s/2r變換）從兩相靜止坐標系到兩相旋轉(zhuǎn)坐標系d、q 變換稱作兩相兩相旋轉(zhuǎn)變換，簡稱2s/2r 變換，其中s 表示靜止，r 表示旋轉(zhuǎn)。1 圖5兩相靜止和旋轉(zhuǎn)坐標系與磁動勢（電流）空間矢量兩相交流電流ia、ib和兩個直流電流id、iq 產(chǎn)生同樣的以同步轉(zhuǎn)速ws旋轉(zhuǎn)的合成磁動勢F

14、s。由于各繞組匝數(shù)都相等，可以消去磁動勢中的匝數(shù)，直接用電流表示，例如Fs可以直接標成is。但必須注意，這里的電流都是空間矢量，而不是時間相量。1 d，q軸和矢量Fs（is ）都以轉(zhuǎn)速ws 旋轉(zhuǎn)，分量id、iq 的長短不變，相當于d，q繞組的直流磁動勢。但a、b軸是靜止的，a軸與d軸的夾角j隨時間而變化，因此is 在a、b軸上的分量的長短也隨時間變化，相當于繞組交流磁動勢的瞬時值。由圖5可見，ia、ib和id、iq 之間存在下列關系1 2s/2r變換公式兩相旋轉(zhuǎn)兩相靜止坐標系的變換矩陣寫成矩陣形式，得式中是兩相旋轉(zhuǎn)坐標系變換到兩相靜止坐標系的變換陣。1 任意兩空間坐標系的轉(zhuǎn)換由于測量坐標系和施

15、工坐標系采用不同的標準，要進行精確轉(zhuǎn)換，必須知道至少3個重合點（即為在兩坐標系中坐標均為已知的點。采用布爾莎模型進行求解。布爾莎公式:對該公式進行變換等價得到：解算這七個參數(shù)，至少要用到三個已知點（2個坐標系統(tǒng)的坐標都知道），采用間接平差模型進行解算： 其中： V 為殘差矩陣; X 為未知七參數(shù); A 為系數(shù)矩陣; 解之：L 為閉合差解得七參數(shù)后，利用布爾莎公式就可以進行未知點的坐標轉(zhuǎn)換了，每輸入一組坐標值，就能求出它在新坐標系中的坐標。 但是要想GPS觀測成果用于工程或者測繪，還需要將地方直角坐標轉(zhuǎn)換為大地坐標，最后還要轉(zhuǎn)換為平面高斯坐標。上述方法類同于我們的間接平差，解算起來較復雜，以下提供坐標轉(zhuǎn)換程序，只需輸入三個已知點的坐標即可求解出坐標轉(zhuǎn)換的七個參數(shù)。如果已知點的數(shù)量較多，可以進行參數(shù)間的平差運算，則精度更高。當已知點的數(shù)量只有兩個時，我們可以采用簡單變換法，此法較為方便易行，適于手算，只是精度受到一定的限制。詳細解算方程如下：式中調(diào)x,y和x'、y'分別為新舊（或；舊新）網(wǎng)重合點的坐標，a、b、k為變換參數(shù)