第四章非平穩(wěn)序列和季節(jié)序列模型

1、上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 1非平穩(wěn)序列和季節(jié)序列模型非平穩(wěn)序列和季節(jié)序列模型在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)遇見(jiàn)不滿足平穩(wěn)性的時(shí)間序列，尤其在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域和商業(yè)領(lǐng)域中的時(shí)間序列多數(shù)都是非平穩(wěn)的。圖4.1是美國(guó)1961年1月1985年12月16-19歲失業(yè)女性的月度數(shù)據(jù)；圖4.2是美國(guó)1871年1979年煙草生產(chǎn)量的年度數(shù)據(jù) 。 圖4.1 圖4.2上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 24.1均值非平穩(wěn)均值非平穩(wěn) 均值非平穩(wěn)性將對(duì)于時(shí)變均值函數(shù)的估計(jì)提出各種問(wèn)題，我們將引入兩種比較常用的模型。 1.確定性趨勢(shì)模型確定性趨勢(shì)模型 2.隨機(jī)趨勢(shì)模型隨機(jī)趨勢(shì)模型上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 3確定性趨勢(shì)模型確定性趨勢(shì)模型 對(duì)于非平穩(wěn)序列的時(shí)

2、變均值函數(shù)，最簡(jiǎn)單的處理方法就是考慮均值函數(shù)可以由一個(gè)時(shí)間的確定性函數(shù)來(lái)描述，這時(shí)，可以用回歸模型來(lái)描述。 假如均值函數(shù)服從于線性趨勢(shì) 我們可以利用確定性的線性趨勢(shì)模型 01tt201,0,tttXtWN上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 4 如果均值函數(shù)服從二次函數(shù) 則我們可以用 假如均值函數(shù)服從k次多項(xiàng)式 我們可以使用下列模型建模 2012ttt22012,0,tttXttWN01ktktt201,0,ktkttXttWN上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 5 更一般地，在模型中除了確定性趨勢(shì)之外，其余部分是平穩(wěn)部分 其中 由于 得到 上述的確定性趨勢(shì)可以通過(guò)差分運(yùn)算加以消除 20,0,kjtttjttjXatG B

3、WN G BBB 0ttE aG B E0kjtjjE Xt上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 6 對(duì)于最簡(jiǎn)單的線性趨勢(shì) ，易得 的一階差分序列 則 是一個(gè)平穩(wěn)但是非可逆的MA(1)模型。 如果趨勢(shì)為k次多項(xiàng)式 則 經(jīng)過(guò)k階差分得到111ttttXXtX tY11tttttYXXX tY01ktktt 0kjtjtjBXtB 0kkttBXB 0!kk上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 7隨機(jī)趨勢(shì)模型和差分隨機(jī)趨勢(shì)模型和差分 一種使得均值函數(shù)非平穩(wěn)的情況是自回歸參數(shù)不滿足平穩(wěn)條件的ARMA模型 例如，考慮AR(1)模型 其中 。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的迭代計(jì)算可得 由此，容易得到 的方差 則當(dāng) 時(shí)， 的均值和方差都趨向于 ，這種過(guò)程稱

4、為爆炸性的。 1tttXX100ttitt iiXX tX21222201var1ttitiXt tX上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 84.2自回歸求和移動(dòng)平均模型自回歸求和移動(dòng)平均模型（ARIMA） 一般的一般的ARIMA模型模型 隨機(jī)游動(dòng)隨機(jī)游動(dòng)（Random Walk）模型模型 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 9一般的一般的ARIMA模型模型 如果時(shí)間序列 的d階差分 是一個(gè)平穩(wěn)的ARMA(p, q)序列，其中 是整數(shù)，則稱 為具有階p，d和q的自回歸求和移動(dòng)平均（ARIMA）模型， 記為 。ARIMA模型的表示 ARIMA(p, d, q)模型 可以寫成 tX1dttYBX1d tX , ,tXARIM

5、A pd q 111dp dp dBBBBB 1111ttp dt p dttq t qXXX 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 10隨機(jī)游動(dòng)隨機(jī)游動(dòng)（Random Walk）模型模型 設(shè)時(shí)間序列 有下列模型 則稱 為隨機(jī)游動(dòng)序列。 “隨機(jī)游動(dòng)”一詞首次出現(xiàn)于1905年自然（Nature）雜志第72卷Pearson K. 和 Rayleigh L.的一篇通信中。該信件的題目是“隨機(jī)游動(dòng)問(wèn)題”。文中討論尋找一個(gè)被放在野地中央的醉漢的最佳策略是從投放點(diǎn)開(kāi)始搜索。 tXtX21,0,ttttXXWN上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 11 隨機(jī)游走過(guò)程的均值為零，方差為無(wú)限大 隨機(jī)游動(dòng)序列是非平穩(wěn)的時(shí)間序列 1121tttt

6、ttttXXX10tttE XE21varvarttttX上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 124.3方差和自協(xié)方差非平穩(wěn)方差和自協(xié)方差非平穩(wěn) 根據(jù)過(guò)程寬平穩(wěn)定義，當(dāng)均值為常數(shù)時(shí)，其協(xié)方差也不一定滿足平穩(wěn)條件。前面所述，ARIMA模型的均值函數(shù)是依賴于時(shí)間的，進(jìn)一步地，我們說(shuō)明其方差和協(xié)方差也不滿足平穩(wěn)條件。 例如使用模型 去擬合 個(gè)觀測(cè)序列，關(guān)于這個(gè)時(shí)間原點(diǎn) ，模型可以寫為211,0,tttB XBWN0n0n0001121211111ttttttttnttnnXXXX 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 13 類似地有 假設(shè) 、 和 為常數(shù)，則可以計(jì)算 計(jì)算自協(xié)方差函數(shù)，設(shè) ARIMA模型的方差依賴于時(shí)間，且 另外

7、，當(dāng) 時(shí)，方差 的值是無(wú)界的；最后序列的自協(xié)方差 也依賴于時(shí)間。 0001111t knt kt knnXX 0n0nX0n220var11 1tXtn220var11 1t kXtkn0ntkt 220cov,11 1tt kXXtknvarvartt kXXt vartXcov,tt kXX上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 14 下面我們考慮另外一類問(wèn)題，就是有些非平穩(wěn)時(shí)間序列通過(guò)有限階差分不一定能夠平穩(wěn)。有許多序列雖然均值平穩(wěn)但方差非平穩(wěn)，此時(shí)需要考慮利用適當(dāng)?shù)淖儞Q使得方差平穩(wěn)。在許多場(chǎng)合，非平穩(wěn)時(shí)間序列的方差隨均值水平的改變而變化，即 對(duì)于某些正值常數(shù)c和函數(shù)f( )，上述等式成立。我們的工作是尋

8、找一個(gè)函數(shù)T使得變換后的序列 具有同方差。 varttXc f ttT X上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 15 若時(shí)間序列 的標(biāo)準(zhǔn)差與均值水平成正比，即 ，則 若時(shí)間序列 的方差與均值水平成正比，即 ，則 若時(shí)間序列 的標(biāo)準(zhǔn)差與均值水平的平方成正比，即 ，則tXtXtX22varttXc1logttttTdfvarttXc12ttttTdf24varttXc11ttttTdf 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 16 一般地，我們可以采用Box-Cox變換，即 該變換是Box和Cox（1964）引入的，這里 稱為變換參數(shù)。 1tttXT XX上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 174.4 季節(jié)時(shí)間序列季節(jié)時(shí)間序列(SARIMA)模

9、型模型 在某些時(shí)間序列中，存在明顯的周期性變化。這種周期是由于季節(jié)性變化（包括季度、月度、周度等變化）或其他一些固有因素引起的。這類序列稱為季節(jié)性序列。比如一個(gè)地區(qū)的氣溫值序列（每隔一小時(shí)取一個(gè)觀測(cè)值）中除了含有以天為周期的變化，還含有以年為周期的變化。在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，季節(jié)性序列更是隨處可見(jiàn)。如季度時(shí)間序列、月度時(shí)間序列、周度時(shí)間序列等。 處理季節(jié)性時(shí)間序列只用以上介紹的方法是不夠的。描述這類序列的模型之一是季節(jié)時(shí)間序列模型(seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。較早文獻(xiàn)也稱其為乘積季節(jié)模型（multiplicative seasonal model）。上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 18 設(shè)季節(jié)性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的變化周期為s，即時(shí)間間隔為s的觀測(cè)值有相似之處。首先用季節(jié)差分的方法消除周期性變化。季節(jié)差分算子定義為， = 1- Bs 若季節(jié)性時(shí)間序列用yt表示，則一次季節(jié)差分表示為 Xt = (1- Bs) Xt