高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全空間向量與立體幾何

1、高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)空間向量與立體幾何一、考點(diǎn)概要：1、空間向量及其運(yùn)算（ 1）空間向量的基本知識(shí)：定義：空間向量的定義和平面向量一樣，那些具有大小和方向的量叫做向量， 并且仍用有向線段表示空間向量， 且方向相同、 長(zhǎng)度相等的有向線段表示相同向量或相等的向量。空間向量基本定理：定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)于空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、 z，使。且把叫做空間的一個(gè)基底，都叫基向量。正交基底：如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩相互垂直，那么這個(gè)基底叫正交基底。 單位正交基底：當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱為單位正交基底，通常用表示。 空間四點(diǎn)共面：設(shè)O、 A、 B、

2、C 是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間中任意一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、 y、 z，使。共線向量（平行向量）：定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作。規(guī)定：零向量與任意向量共線；共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量平行的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使。共面向量：定義： 一般地， 能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量；空間的任意兩個(gè)向量都是共面向量。向量與平面平行：如果直線OA平行于平面或在 內(nèi)，則說(shuō)向量平行于平面，記作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。共面向量定理：如果兩個(gè)向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是：存在實(shí)數(shù)對(duì)x、 y，使?？臻g

3、的三個(gè)向量共面的條件：當(dāng)、都是非零向量時(shí)，共面向量定理實(shí)際上也是、所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時(shí)，還需要證明其中一條直線上有一點(diǎn)在另兩條直線所確定的平面內(nèi)。共面向量定理的推論：空間一點(diǎn)P 在平面 MAB內(nèi)的充要條件是：存 在 有 序 實(shí) 數(shù) 對(duì)x 、 y ， 使 得， 或 對(duì) 于 空 間 任 意 一 定 點(diǎn)O， 有。空間兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)O，作，（兩個(gè)向量的起點(diǎn)一定要相同），則叫做向量與的夾角，記作，且。兩個(gè)向量的數(shù)量積：定義：已知空間兩個(gè)非零向量、，則叫做向量、的數(shù)量積，記作，即：規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為。0。注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積也叫向量、

4、的點(diǎn)積（或內(nèi)積） ，它的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，它等于兩向量的模與其夾角的余弦值。數(shù)量積的幾何意義：叫做向量在方向上的投影（其中 為向量和的夾角）。即：數(shù)量積等于向量的模與向量在方向上的投影的乘積?；拘再|(zhì)：運(yùn)算律：（2）空間向量的線性運(yùn)算：定義： 與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下：加法：減法：數(shù)乘向量：運(yùn)算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：1 、立體幾何初步是側(cè)重于定性研究，而空間向量則側(cè)重于定量研究。空間向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問(wèn)題提供了一個(gè)十分有效的工具。2 、根據(jù)空間向量的基本定理，出現(xiàn)了用基向量解決立體幾何問(wèn)題的向量法，建

5、立空間直角坐標(biāo)系，形成了用空間坐標(biāo)研究空間圖形的坐標(biāo)法，它們的解答通常遵循“三步”：一化向量問(wèn)題， 二進(jìn)行向量運(yùn)算， 三回到圖形問(wèn)題。 其實(shí)質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用。3 、實(shí)數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算既有聯(lián)系又有區(qū)別，向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律，但不滿足結(jié)合律，因此在進(jìn)行數(shù)量積相關(guān)運(yùn)算的過(guò)程中不可以隨意組合。值得一提的是： 完全平方公式和平方差公式仍然適用，數(shù)量積的運(yùn)算在許多方面和多項(xiàng)式的運(yùn)算如出一轍，尤其去括號(hào)就顯得更為突出，下面兩個(gè)公式較為常用，請(qǐng)務(wù)必記住并學(xué)會(huì)應(yīng)用：。2、空間向量的坐標(biāo)表示：（ 1）空間直角坐標(biāo)系：空間直角坐標(biāo)系O-xyz ，在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底，

6、以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：x 軸、 y軸、 z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量叫做坐標(biāo)向量，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy 平面， yOz 平面， zOx 平面。右手直角坐標(biāo)系：右手握住z 軸，當(dāng)右手的四指從正向x 軸以90°角度轉(zhuǎn)向正向y 軸時(shí)，大拇指的指向就是z 軸的正向；構(gòu)成元素：點(diǎn)（原點(diǎn)）、線（x、 y、 z 軸）、面（ xOy 平面， yOz 平面， zOx 平面）；空間直角坐標(biāo)系的畫(huà)法：作空間直角坐標(biāo)系O-xyz 時(shí)，一般使xOy=135 °(或45° ), yOz=90 °， z軸垂直于y

7、軸， z軸、 y 軸的單位長(zhǎng)度相同，x 軸上的單位長(zhǎng)度為y 軸（或 z 軸）的一半；（ 2）空間向量的坐標(biāo)表示：已知空間直角坐標(biāo)系和向量，且設(shè)為坐標(biāo)向量（如圖），由空間向量基本定理知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組坐標(biāo)，記作 。叫做向量在此直角坐標(biāo)系中的在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對(duì)于空間任一點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，若，則有序數(shù)組(x ， y， z) 叫做點(diǎn)在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為A(x ，y，z) ，其中x 叫做點(diǎn)A 的橫坐標(biāo)，y 叫做點(diǎn)A 的縱坐標(biāo)，z 叫做點(diǎn)A 的豎坐標(biāo)，寫(xiě)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)間的順序不能變。空間任一點(diǎn)的坐標(biāo)的確定： 過(guò) P 分別作三個(gè)與坐標(biāo)平面平行的平面 （或垂面），分別交

8、坐標(biāo)軸于 A、B、C三點(diǎn)， x=OA， y=OB， z=OC，當(dāng)與的方向相同時(shí)，x 0，當(dāng)與的方向相反時(shí)，x 0，同理可確y、z（如圖）。規(guī)定： 一切空間向量的起點(diǎn)都是坐標(biāo)系原點(diǎn)，于是，空間任意一個(gè)向量與它的終點(diǎn)坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)。一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)，則：（ 3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：空間兩點(diǎn)間距離：；空間線段的中點(diǎn)M（ x ， y ， z ）的坐標(biāo)：；球面方程：二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：4 、過(guò)定點(diǎn) O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點(diǎn)且一般具有相同的長(zhǎng)度單位。這三條軸分別叫做z 軸（橫軸）、 y 軸（縱軸）、 z 軸（豎軸）；統(tǒng)稱坐標(biāo)

9、軸。通常把軸和 y 軸配置在水平面上，而 z 軸則是鉛垂線； 它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)。5 、空間直角坐標(biāo)系中的特殊點(diǎn):x（ 1）點(diǎn)（原點(diǎn)）的坐標(biāo)： (0,0,0) ；（ 2）線（坐標(biāo)軸）上的點(diǎn)的坐標(biāo)：x 軸上的坐標(biāo)為 (x,0,0) ，y 軸上的坐標(biāo)為(0,y,0)，z 軸上的坐標(biāo)為(0,0,z)；（ 3）面（ xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面）內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)： 平面上的坐標(biāo)為 (x,y,0) 、平面上的坐標(biāo)為 (0,y,z) 、平面上的坐標(biāo)為 (x,0,z)6、要使向量與z軸垂直，只要z=0即可。事實(shí)上，要使向量與哪一個(gè)坐標(biāo)軸垂直，只要向量的相應(yīng)坐標(biāo)為0 即可。7 、空間直角坐標(biāo)系中，方程x=0表示 yOz 平面、方程y=0 表示 zOx 平面、方程z=0表示方程xOy 平面，方程 x=a 表示平行于平面 z=c 表示