高中數(shù)學(xué)二次函數(shù)方程根的分布

1、課題教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)、難點(diǎn)二次函數(shù)方程根的分布1二次函數(shù)的解析式的三種形式：一般式，頂點(diǎn)式，兩根式2二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；3二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的靈活轉(zhuǎn)化教學(xué)內(nèi)容本資料來(lái)本資料來(lái)源于七彩教育網(wǎng)主要方法：1討論二次函數(shù)的區(qū)間最值問題：注意對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置；函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性；2討論二次函數(shù)的區(qū)間根的分布情況一般需從三方面考慮：判別式；區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)；對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置一、知識(shí)回顧：1、二次函數(shù)有以下三種解析式：一般式： _頂點(diǎn)式： _零點(diǎn)式： _ 其中 x1 , x2 是方程 ax 2bxc0 的根2、 研究

2、二次函數(shù)的圖像要抓住開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)，討論二次函數(shù)的單調(diào)性和最值除抓住開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)外，還要抓住對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置。3、 二次函數(shù)與一元一次方程、一元二次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系及相應(yīng)轉(zhuǎn)化 f ( x)ax 2bx c(a 0)的圖像與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程f(x)=0的實(shí)根；當(dāng) _時(shí)， f(x)>0恒成立，當(dāng) _時(shí)， f(x)0 恒成立。結(jié)論成立的條件是x R 。4、 利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，討論一元二次方程實(shí)根的分布：設(shè) x1 , x2 是方程 f ( x) ax2bxc 0(a0)的兩個(gè)實(shí)根，寫出下列各情況的充要條件當(dāng) xm x2m時(shí)， _1,當(dāng)在 ( m, n)

3、有且只有一個(gè)實(shí)根時(shí)， _當(dāng)在 ( m, n) 內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，_當(dāng)兩根分別在 (m, n) , ( p, q) 且 (m, n)( p,q)時(shí)， _二、基本訓(xùn)練：1、二次函數(shù) f (x)ax2 bx c(a0) ，若 f (x1) f (x2 )(x1 x2) ，則 f ( x1x2 ) 等于（）2（A ）b(B)b(C) C(D) 4acb 22aa4a2、已知函數(shù)f (x)4x2mx 5 在區(qū)間 2,) 上是增函數(shù)，則f (1) 的范圍是（）（A ） f (1)25(B)f (1)25(C)f (1) 25(D)f (1) 253、方程 mx22mx10 有一根大于1，另一根小于1

4、，則實(shí)根 m 的取值范圍是 _4、若 a, b, c 成等比數(shù)列，則函數(shù)yax 2bx c 的圖像與 x 軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為 _5、函數(shù) yx 2(a2) x 3, xa,b 的圖像關(guān)于直線x 1對(duì)稱，則 b=_三、例題分析：例 1 （ 1 ）設(shè) x, y 是關(guān) 于 m 的 方 程 m22am a6 0 的 兩 個(gè) 實(shí) 根 ， 則 ( x 1)2( y 1) 2 的最 小 值 是（）(A)49(B)18(C)834(D)4（ 2）若函數(shù) f (x)log a ( x2ax3)在區(qū)間 (, a 上為減函數(shù)，則a 的取值范圍為（）2(A) (0,1)(B)( 1,)(C) (1,23)(D) (0,

5、1)(1,2 3)（ 3）方程 x22ax40 的兩根均大于1，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是。例 2. （ 05 全國(guó)卷）已知二次函數(shù)f ( x) 的二次項(xiàng)系數(shù)為a ，且不等式f (x)2x 的解集為 (1,3) 。（）若方程f ( x)6a0 有兩個(gè)相等的根，求f ( x) 的解析式；（）若f ( x) 的最大值為正數(shù)，求a 的取值范圍。例 3、不等式 x 42x2a 2a20 恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。例 4、設(shè) f ( x) ax2bx c( a b c), f (1) 0, g( x) ax b（ 1）求證：函數(shù)f ( x) 與 g (x) 圖像有兩個(gè)交點(diǎn)；（ 2）設(shè) f ( x) 與

6、 g( x) 圖像交于 A,B 兩點(diǎn)， A,B 在 x 軸上射影為 A 1,B1，求 A1 B1 的取值范圍；（ 3）求證：當(dāng)x3 時(shí)，恒有f ( x)g( x)例 5. 二次函數(shù)f(x)=ax2 +bx+c 的圖象經(jīng)過點(diǎn)( 1， 0)，問是否存在常數(shù)a、 b、 c，使 x f(x) 1 (1+ x2)對(duì)一切實(shí)數(shù)2都成立？證明你的結(jié)論.例 6 yx2bx c ( x 0,) 是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（ A ）( A) b 0( B) b 0(C ) b 0( D ) b 0例 7已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x2 ，截 x 軸上的弦長(zhǎng)為 4 ，且過點(diǎn) (0,1) ，求函數(shù)的解析式f (x)1 ( x2)

7、 22 2例 8 已知函數(shù) f ( x)x2(2a 1)x a22 與非負(fù) x 軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，求 a 的取值范圍92a4例 9對(duì)于函數(shù)f ( x)，若存在x0R ，使f ( x0 )x0 ，則稱x0 是f ( x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù)f (x)ax2(b1)x(b1)(a0) ，（ 1）當(dāng)a1,b2 時(shí)，求函數(shù)f ( x)的不動(dòng)點(diǎn)；（ 2）對(duì)任意實(shí)數(shù) b ，函數(shù)f ( x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a 的取值范圍；（ 3）在（ 2）的條件下，若 yf ( x) 的圖象上 A, B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 f (x) 的不動(dòng)點(diǎn)，且 A, B 兩點(diǎn)關(guān)于1對(duì)稱，求 b 的最小值直線 y kx2a21答案

8、：（1） f ( x) 的不動(dòng)點(diǎn)為1和 3 （2） a 的取值范圍為 (0,1)（3） b 的最小值為2 4（四）鞏固練習(xí)：1若函數(shù) y x2(a 2)x3(x a, b 的圖象關(guān)于 x 1對(duì)稱則 b62二次函數(shù) f ( x)的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值， 且 f ( x 2)f (2 x)( x R) ，問 f 1( 2x)2 與 f (1 2xx2 ) 滿足什么關(guān)系時(shí)，有2 x 0 3 m 取何值時(shí)，方程 7x2(m13)xm2m20 的一根大于 1，一根小于作業(yè)：1、二次函數(shù)yx22( ab) xc22ab 的圖像的頂點(diǎn)在x 軸上，且a,b,c 為ABC 的三邊長(zhǎng)，則ABC 為(A) 銳角三角形(

9、B) 直角三角形(C)鈍角三角形(D) 等腰三角形2、下列圖中yax2bx與yaxb(ab0) 的圖像只可能是3、已知函數(shù) y x2bxc 且 f (1x) f (x) ，則下列不等式中成立的是 ()(A) f ( 2)f (0)f (2) (B)f ( 0)f ( 2)f ( 2)(C) f ( 0) f (2) f ( 2) (D)f (2)f (0) f ( 2)4、已知函數(shù)f ( x)mx2(m3) x1的圖像與 x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，則實(shí)數(shù)m 的取值區(qū)間是(A) (0,1(B)(0,1)(C) (,1)(D) ( ,15、（ 05 全國(guó) 1）設(shè) b0 ，二次函數(shù) yax2b

10、x a2a1 的圖像為下列之一，則a的值為（A） 1(B) -11515(C)(D)226、不等式(a2) x22(a2) x40對(duì)一切xR 恒成立，則a 的取值范圍是_7、二次函數(shù)yax2bxc的圖像如圖所示，記 Nabc2ab , Mabc2ab ，則M與 N 的大小關(guān)系是_8、（ 04 年北京卷 .文理 13）在函數(shù)f ( x)_值（填“大”或“小” ），且該值為ax 2 _bxc 中，若a， b，c 成等比數(shù)列且f (0)4 ，則f ( x) 有最9、已知f (x) 為二次函數(shù)，且f ( x1)f (x1)2x 24 x，求 f (12 ) 的值。10、設(shè)函數(shù)f ( x)ax 22ax

11、1 在3,2 上有最大值4，求實(shí)數(shù)a 的值。11、若不等式8x48( a2) x2a50 對(duì)一切實(shí)數(shù)x 均成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。12、(05 浙江 )已知函數(shù) f(x)和 g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x) x22x()求函數(shù) g(x)的解析式；()解不等式 g(x) f(x) |x 1|；()若 h(x) g(x)f(x)1 在 1，1 上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍答案：基本訓(xùn)練： 1、 D2、 A3、例題： 1（ 1） C（ 2）C（3）14、 05、 6,032,52、（） f ( x)1 x26 x3 .2555（）當(dāng) f ( x) 的最大值為正數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 (

12、 ,23)(23,0).3、 a 2或 a1 4（2） 3,235、存在唯一一組常數(shù)( 1,1,1),滿足題沒條件 .2424作業(yè)： 1、 B2、 D3、 C4、 D5、 C6 、2,27、M N8、大 ； -39、 010、3或 311、 1 ,512、（ I ） g(x) x22x .(II) 原不等式的解集為 -1,1 ； (III)0822輔助例題：例1， 求實(shí)數(shù) m的范圍，使關(guān)于 x 的方程 x2+2(m-1)x+2m+6=0(1)有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比2 大，一個(gè)比2 ?。?2) 有兩個(gè)實(shí)根，且都比 1 大；(3) 有兩個(gè)實(shí)根 ， ，且滿足 0 1 4；(4) 至少有一個(gè)正根練習(xí)： x2+（ m-3)x+m=0求 m的范圍（ 1）兩個(gè)正根(0,1（ 2）有兩個(gè)負(fù)根， )（ 3）兩根都小于9,+)（ 4）兩根都大于(5/6,1 例 2 在下列條件下，分別求出的取值范圍（ 1）方程 x2-mx+4=0 在 -1 ， 1 有解；（ 2）函數(shù) f(x)=x2-3x+4-m 的圖象與橫軸 x 在 -1 ， 1 上有交點(diǎn)。練習(xí)：1關(guān)于 x 的方程 2kx2-2x-3k-2=0的兩