高中數(shù)學復習專題講座求函數(shù)值域的常用方法及值域的應(yīng)用

1、高中數(shù)學復習專題講座求函數(shù)值域的常用方法及值域的應(yīng)用高考要求函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內(nèi)容之一本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并 會用函數(shù)的值域解決實際應(yīng)用問題重難點歸納(1)求函數(shù)的值域此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖像法、換元法、不等式法等無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域(2)函數(shù)的綜合性題目此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識相結(jié)合的題目此類問題要求考生具備較高的數(shù)學思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能力 在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強(3)運用函數(shù)的

2、值域解決實際問題此類問題關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而利用所學知識去解決此類題要求考生具有較強的分析能力和數(shù)學建模能力典型題例示范講解例 1 設(shè)計一幅宣傳畫， 要求畫面面積為 4840 cm2,畫面的寬與高的比為 (<1), 畫面的上、 下各留 8 cm的空白，左右各留5 cm 空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最小？2 3如果要求 ,，那么 為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最?。棵}意圖 本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問題，同時考查運用所學知識解決實際問題的能力知識依托主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識錯解分析證明 S( )在區(qū)間 2, 3

3、上的單調(diào)性容易出錯，其次不易把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值34問題來解決技巧與方法本題屬于應(yīng)用問題，關(guān)鍵是建立數(shù)學模型，并把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決解設(shè)畫面高為x cm,寬為 x cm,則 x2=4840, 設(shè)紙張面積為S cm2,則 S=(x+16)( x+10)= x2+(16 +10)x+160,將 x= 22 10 代入上式得S=5000+4410(8+ 5),8cm當 8=5,即 =5(5<1)時 S 取得最小值8848405 × 88=55 cm5cm5cm此時高x=88 cm, 寬 x=8如果 23 ，可設(shè) 2 1< 2 38cm,3434則由 S的表達式

4、得S( 1)S(2 )4410(815825)124410(12 )(85)12又 1225,故 85>0,3812 S( 1) S( 2)<0, S( )在區(qū)間 2 , 3 內(nèi)單調(diào)遞增3 4從而對于 2 , 3 ,當 =2 時， S( )取得最小值343答 畫面高為88 cm,寬為 55 cm 時，所用紙張面積最小如果要求 2,3,當 = 2 時，所用紙343張面積最小例 2 已知函數(shù) f(x)=x22xa ,x 1,+ )x(1)當 a=1 時，求函數(shù) f(x)的最小值2(2)若對任意 x 1,+ ) ,f(x)>0 恒成立，試求實數(shù) a 的取值范圍命題意圖本題主要考查函

5、數(shù)的最小值以及單調(diào)性問題，著重于學生的綜合分析能力以及運算能力知識依托本題主要通過求f( x)的最 值問題來求 a 的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想錯解分析考生不易考慮把求a 的取值范圍的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決技巧與方法解法一運用轉(zhuǎn)化思想把f(x)>0 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的二次不等式；解法二運用分類討論思想解得(1)解當 a=1 時， f(x)=x+1+222 x f(x) 在區(qū)間 1，+ ) 上為增函數(shù)， f(x) 在區(qū)間 1， + ) 上的最小值為 f(1)= 7在區(qū)間 1， + )2(2)解法一上，x22xa2f( x)=>0 恒成立x +2x+a>0

6、 恒成立x2設(shè) y=x +2 x+a,x 1,+ ) y=x2+2x+a=( x+1) 2+a1 遞增，當 x=1 時， ymin =3+a,當且僅當ymin=3+a>0 時，函數(shù)f(x)>0 恒成立，故 a>3解法二f(x)=x+ a+2,x 1,+ )x當 a0時，函數(shù) f(x)的值恒為正；當 a<0 時，函數(shù) f(x)遞增，故當 x=1 時， f(x)min=3+ a,> 3當且僅當f(x) min=3+ >0 時，函數(shù)f(x)>0 恒成立，故aa例 3 設(shè) m 是實數(shù)，記 M= m|m>1, f(x)=log 3(x2 4mx+4 m2+

7、m+1)m1(1)證明當 mM 時， f(x)對所有實數(shù)都有意義；反之，若f(x)對所有實數(shù) x 都有意義，則 m M(2)當 m M 時，求函數(shù) f( x)的最小值(3)求證對每個 m M,函數(shù) f(x) 的最小值都不小于1(1) 證明先將 f(x)變形f(x)=log 3 (x 2m)2+m+11 ,m21>0 恒成立，當 m M 時， m>1,( xm) +m+m1故 f(x)的定義域為R反之，若f(x) 對所有實數(shù)x都有意義，則只須x2 4mx+4m2+m+1>0, 令 0,即16m2 m14(4m2+m+1) 0,解得m>1, 故 mMm1(2)解析設(shè) u=x

8、2 4mx+4 m2+m+1,m 1 y=log 3u 是增函數(shù)，當 u 最小時， f(x)最小而 u=(x 2m)2+m+ 1 , m 1顯然，當 x=m 時， u 取最小值為m+1,m1此時 f(2m)=log3(m+1)為最小值1m(3)證明當 mM 時， m+1=(m1)+1+13,m 1m 1當且僅當 m=2 時等號成立 log 3(+1) log 3 3=1mm1學生鞏固練習1函數(shù) y=x2+1(x 1)的值域是 ()x277 )332)3 32A(,B,+C,+D( 44,222函數(shù) y=x+12 x 的值域是 ()A( ,1 B( ,1CRD 1,+ )3一批貨物隨 17 列貨

9、車從 A 市以 V 千米 /小時勻速直達 B 市，已知兩地鐵路線長 400 千米，為了安全，兩列貨車間距離不得小于( V)2 千米 ，那么這批物資全部運到 B 市，最快需要 _小時 ( 不計貨20車的車身長 )4設(shè) x1、x2 為方程 4x2 4mx+m+2=0 的兩個實根，當m=_ 時， x12+x22 有最小值 _5某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時，固定成本為5000 元，而每生產(chǎn) 100 臺產(chǎn)品時直接消耗成本要增加2500元，市場對此商品年需求量為500臺，銷售的收入函數(shù)為R(x)=5x 1x2(萬元 )(0 x5),其中 x 是產(chǎn)品售出2的數(shù)量 (單位 百臺 )(1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；(2

10、)年產(chǎn)量多少時，企業(yè)所得的利潤最大？(3)年產(chǎn)量多少時，企業(yè)才不虧本？622已知函數(shù) f(x)=lg (a 1)x +(a+1)x+1(1)若 f(x)的定義域 為 ( ,+ )，求實數(shù) a 的取值范圍；(2)若 f(x)的值域為 ( ,+ ),求實數(shù) a 的取值范圍7某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案，準備每周 (按 120 個工時計算 )生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共 360 臺，且冰箱至少生產(chǎn)60 臺 已知生產(chǎn)家電產(chǎn)品每臺所需工時和每臺產(chǎn)值如下表家電名稱空調(diào)器彩電 冰箱工時111234產(chǎn)值(千元)432問每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺，才能使產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少？(

11、以千元為單位 )8 在 Rt ABC 中， C=90 °，以斜邊 AB 所在直線為軸將 ABC 旋轉(zhuǎn)一周生成兩個圓錐，設(shè)這兩個圓錐的側(cè)面積之積為S ， ABC 的內(nèi)切圓面積為S ，記BCCA12=xAB(1)求函數(shù) f(x)=S1 的解析式并求f(x)的定義域S2(2)求函數(shù) f(x)的最小值參考答案1解析 m1=x2 在 ( , 1 ）上是減函數(shù)， m2=1 在 ( , 1 ）上是減函數(shù)， y=x2+1 在 x (2x2x , 1 )上為減函數(shù) ,2 y=x2+1(x 1)的值域為7，+)x24答案B1t22解析令12x =t(t 0),則 x=22 y= 1t+t= 1(t 1)

12、2+112 2值域為 ( ,1 答案A3 解析t=400+16×( V)2/V=400+16V 2 16 =8V20V400答案84 解析由韋達定理知x1+x2 =m,x1x2= m2 ,42222m21 217 x1 +x2 =(x1+x2) 2x1x2=m=(m) ,2416又 x1,x2 為實根， 0 m 1 或 m 2，y=(m 1)2 17 在區(qū)間 ( ,1）上是減函數(shù)，在2， + ) 上是增函數(shù)，又拋物線y 開口向上且以416m=1 為對稱軸故 m=1 時，41ymin=2答案1125 解(1）利潤 y 是指生產(chǎn)數(shù)量x 的產(chǎn)品售出后的總收入R(x)與其總成本 C(x)x

13、5 時，產(chǎn)品能全部售出，當x>5 時，只能銷售500 臺，所以5x1x 2(0.50.25x)(0x5)1x20.5(0x5)y=24.75x12(55(0.50.25x)( x5)12 0.25x( x1)52 )2(2）在 0 x 5 時， y=1 275x 05,當 x=b=475(百臺）時， ymax=1078125( 萬元），x +42a2當 x>5(百臺）時， y 12 025×5=107 5(所以當生產(chǎn)475 臺時，利潤最大0x5或 x5(3）要使企業(yè)不虧本，即要求1 x204.75x 0.5 0120.25x2解得 5 x 47521.5625 01(百臺

14、）或 5 x 48(百臺）時，即企業(yè)年產(chǎn)量在10 臺到 4800 臺之間時，企業(yè)不虧本6解(1）依題意22x R 恒成立，當2(a 1） x+(a+1)x+1>0 對一切a 1 0 時，其充要條件是即 a或a 2101a1，( a1) 24(a 21),a5 或a103 a 1 或 a> 5 3又 a=1 時， f(x)=0 滿足題意， a=1 時不合題意故 a 1 或 a>為 5 所求3a 210(2）依題意只要 t=( a21)x2+(a+1)x+1 能取到 (0，+）上的任何值， 則 f(x)的值域為 R ，故有0,解得 1 a 5 ,又當 a2 1=0 即 a=1 時

15、， t=2x+1 符合題意而 a=1 時不 合題意，1a 5 為所求337解設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱分別為x 臺、 y 臺、 z 臺，由題意得x+y+z=3601111202xyz34x>0,y>0,z 60假定每周總產(chǎn)值為 S 千元，則 S=4x+3y+2 z,在限制條件之下，為求目標函數(shù)S 的最大值，由消去 z,得y=360 3x將代入得x+(360 3x)+ z=360, z=2x z 60, x 30再將代入S 中，得 S=4x+3(360 3x)+2· 2x,即 S= x+1080由條件及上式知，當x=30 時，產(chǎn)值S 最大，最大值為S= 30+1080=1050( 千元）得 x=30 分別代入和得 y=360 90= 270,z=2× 30=60每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器30 臺，彩電270 臺，冰箱60 臺，才能使產(chǎn)值最大，最大產(chǎn)值為1050 千元8解(1）如圖所示設(shè) BC=a,CA =b,AB =c,則斜邊 AB 上的高 h= ab ,c S1= ah+ bh=ab (ab), S2( a b c ) 2 , ,c2 f(x)=S14ab(ab)CSc(ab