知識講解_空間向量在立體幾何中的應(yīng)用(提高)

1、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用【考綱要求】1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2. 掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示.3. 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.4. 能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.5. 能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理.6. 能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究幾何問題中的作用.【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】要點一、空間向量1.空間向量的概念在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。要點詮釋

2、： 空間的一個平移就是一個向量。 向量一般用有向線段表示，同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。相等向量只考慮其定義要素：方向，大小。 空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。2.共線向量（1）定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于記作當(dāng)我們說向量、共線（或/）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線（2）共線向量定理：空間任意兩個向量、（），/的充要條件是存在實數(shù)，使。3.向量的數(shù)量積（1）定義：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即。（2）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： ； ； （3）空間向量數(shù)量積運算律：；（

3、交換律）；（分配律）。4.空間向量基本定理如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。若三向量不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。5.空間直角坐標(biāo)系：（1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；（2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個空間直角坐標(biāo)系，點叫原點，向量 都叫坐標(biāo)向量通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面；6.空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo) 在空間直角坐標(biāo)系中，

4、對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)7.空間向量的直角坐標(biāo)運算律：（1）若，則一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。（2）若，則，；，夾角公式：（3）兩點間的距離公式：若，則或 。要點二、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1. 立體幾何中有關(guān)垂直和平行的一些命題，可通過向量運算來證明對于垂直問題，一般是利用進(jìn)行證明；對于平行問題，一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明2.利用向量求夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角)有時也很方便其一般方法是將所求的角轉(zhuǎn)化為求兩個向量的夾角或其

5、補角，而求兩個向量的夾角則可以利用向量的夾角公式。要點詮釋：平面的法向量的求法：設(shè)n=(x,y,z)，利用n與平面內(nèi)的兩個不共線的向a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解，即得到平面的一個法向量（如圖）。線線角的求法：設(shè)直線AB、CD對應(yīng)的方向向量分別為a、b，則直線AB與CD所成的角為。（注意：線線角的范圍00,900）線面角的求法：設(shè)n是平面的法向量，是直線的方向向量，則直線與平面所成的角為（如圖）。二面角的求法：設(shè)n1，n2分別是二面角的兩個面，的法向量，則就是二面角的平面角或其補角的大?。ㄈ鐖D）3.用向量法求距離的公式設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，

6、則點B到平面的距離為（如圖）。要點詮釋： 點A到平面的距離：，其中，是平面的法向量。 直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。 兩平行平面之間的距離：，其中， 是平面的法向量?！镜湫屠}】類型一、空間向量的運算【例1】已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的單位法向量?！敬鸢浮繂挝环ㄏ蛄?±（，）.【解析】設(shè)面ABC的法向量，則且，即，即，解得，令，則單位法向量=±（，）.【總結(jié)升華】一般情況下求法向量用待定系數(shù)法。由于法向量沒規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個自由度，可把的某個坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個坐標(biāo)。平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量

7、也是法向量，所以本題的單位法向量應(yīng)有兩解。舉一反三：【變式】若(1,5,1)，(2,3,5)（1）若，求實數(shù)k的值；（2）若，求實數(shù)k的值；（3）若取得最小值，求實數(shù)k的值?！敬鸢浮?1)，即由，解得； (2)，即，解得；(3) 當(dāng)時，取得最小值。類型二：向量法證明平行或垂直【例2】如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大??； （）求點B到平面OCD的距離。【解析】作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1)設(shè)平面OCD的法向量為,則即 取,解得(2)設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為(3

8、)設(shè)點B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值,由 , 得.所以點B到平面OCD的距離為【總結(jié)升華】1. 用向量證明線面平行的方法有：(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；(2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；(3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示2. 用向量法證垂直問題：(1)證明線線垂直，只需證明兩直線的方向向量數(shù)量積為0；(2)證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明面面垂直，只需證明兩平面的法向量的數(shù)量積為0，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直

9、舉一反三：【變式】如圖，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90°，且ABAA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點求證：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，令A(yù)BAA14，則A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(xiàn)(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)(1)取AB中點為N，則N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，(2，4，0)，(2，4，0)，.DENC，又NC在平面ABC內(nèi)，DE不在平面ABC內(nèi)，故DE平面ABC.(2)(2，2，4)，(2，2，2)，(2，2，0)，

10、·(2)×22×(2)(4)×(2)0，則，B1FEF，·(2)×22×2(4)×00.，即B1FAF，又AFFEF，B1F平面AEF.類型三：異面直線所成的角【例3】正方體ABCD-EFGH的棱長為a，點P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a, 求直線PQ與AD所成的角【答案】90°【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，,，QP與AD所成的角為90°。【總結(jié)升華】建立坐標(biāo)系后，求出 可由求解。舉一反三：【變式】如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為的菱形，側(cè)棱長為（1）與能否垂直？請證明你的判斷；（

11、2）當(dāng)在上變化時，求異面直線與所成角的取值范圍?！敬鸢浮苛庑沃校?，設(shè)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則（1），與不能垂直。（2），設(shè)，又，直線與所成角的取值范圍是。類型四：直線與平面所成的角【例4】如圖，在棱長為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點，。試確定，使直線與平面所成角的正切值為；【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以又由的一個法向量.設(shè)與所成的角為，則依題意有，解得.故當(dāng)時，直線。舉一反三：【變式】如圖，三棱錐P-ABC中，ABC=，PA=1，

12、AB=，AC=2，PA面ABC(1)求直線AB和直線PC所成角的余弦值；(2)求PC和面ABC所成角的正弦值；【答案】 (1)以A為坐標(biāo)原點，分別以AB、AP所在直線為y軸、z軸,以過A點且平行于BC直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系.在直角ABC中,AB=，AC=2，BC=1A(0,0,0)，B(0,0)，C(1,0)，P(0,0,1).(0,0)，(1,),cos<,>=直線AB與直線PC所成的角余弦為.(2)取平面ABC的一個法向量=(0，0，1)，設(shè)PC和面ABC所成的角為，則sin=|cos<，>|=.PC和面ABC所成的角的正弦值為類型五：二面角【例5】 如圖，在

13、三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H.(1)求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)設(shè)N為棱B1C1的中點，點M在平面AA1B1B內(nèi)，且MN平面A1B1C1，求線段BM的長【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點B為坐標(biāo)原點，依題意得A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(，)，A1(2，2，0)，B1(0，2，0)，C1(，)(1)易得(，)，(2，0，0)，于是cos，所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為.(2)易知(0，2，0)，(，)設(shè)平面AA1C1的一個法向量m(x，y，

14、z)，則即不妨令x，可得m(，0，)設(shè)平面A1B1C1的一個法向量n(x，y，z)，則即不妨令y，可得n(0，)則cosm，n，從而sinm，n，所以二面角AA1C1B1的正弦值為.(3)由N為棱B1C1的中點，得N(，)設(shè)M(a，b，0)，則(a，b，)因為MN平面A1B1C1，由(2)知平面A1B1C1的一個法向量為n(0，)，所以n，所以a0，解得.故M(，0)因此(，0)，所以線段BM的長|.【總結(jié)升華】求兩異面直線所成的角，用向量法就是求兩直線上的兩方向向量的夾角，但需注意二者范圍的區(qū)別同樣地，利用向量法求二面角的大小，就是求兩個半平面的法向量的夾角(或夾角的補角)，在具體求解中應(yīng)適

15、當(dāng)選取或求解直線的方向向量及平面的法向量在空間直角坐標(biāo)系中，常采用待定系數(shù)法求平面的法向量舉一反三：【變式】如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BECF，BCF=CEF=90°，EF=2。（）求證：AE平面DCF；（）當(dāng)AB的長為何值時，二面角AEFC的大小為60°？【解析】如圖，以點為坐標(biāo)原點，以和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系DABEFCyzx設(shè)，則，（）證明：，所以，從而，所以平面因為平面，所以平面平面故平面（）解：因為，所以，從而解得所以，設(shè)與平面垂直，則，解得又因為平面，所以，得到所以當(dāng)為時，二面角的大小為類型六：空間距離【例5】如圖，BCD

16、與MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2.求點A到平面MBC的距離【解析】取CD中點O，連接OB，OM，則OBCD，OMCD.又平面MCD平面BCD，所以MO平面BCD.取O為原點，直線OC、BO、OM為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖OBOM，則各點坐標(biāo)分別為C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，0)，A(0，2)(1)設(shè)是平面MBC的法向量，則(1，0)，(0，)由得·0即xy0；由得·0即yz0.取(，1，1)，(0，0，2)，則d.故點A到平面MBC的距離為.法二：(1)取CD中點O，連OB，OM，則OBOM，OBCD

17、，MOCD，又平面MCD平面BCD，則MO平面BCD，所以MOAB，所以MO平面ABC，故M，O到平面ABC的距離相等作OHBC于H，連MH，則MHBC.求得OHOC·sin60°，MH.設(shè)點A到平面MBC的距離為d，由VAMBCVMABC得·SMBC·d·SABC·OH.即××2×d××2×2×，解得d.【總結(jié)升華】利用向量法求點到平面的距離的步驟如下：(1)求出該平面的一個法向量；(2)找出以該點及平面內(nèi)的某點為端點的線段對應(yīng)的向量；(3)利用公式d求距離舉一反

18、三：【變式】如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，,求點E到平面ACD的距離?！敬鸢浮恳設(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面ACD的法向量為則，令得是平面ACD的一個法向量。又點E到平面ACD的距離類型七、利用空間向量解決立體幾何中的探索問題【例6】在四棱錐中，/，平面，. （）設(shè)平面平面，求證：/； （）求證：平面；（）設(shè)點為線段上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值【證明】（） 因為/，平面，平面，所以/平面. 因為平面，平面平面，所以/. （）：因為平面，所以以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，. 所以 ，所以，.所以 ，. 因為 ，平面，平面，所以 平面. （）解：設(shè)（其中），直線與平面所成角為.所以 .所以 .所以 即.