高中數(shù)學(xué)必修⑤1.1.2《余弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課題：必修余弦定理三維目標(biāo)：1、知識(shí)與技能（1）通過對(duì)任意三角形邊長和角度關(guān)系的合作探索，掌握余弦定理的內(nèi)容及其證明方法；（2）能運(yùn)用余弦定理與三角形內(nèi)角和定理及相關(guān)的三角知識(shí)解斜三角形的兩類基本問題；（3）通過簡單運(yùn)用，初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，為下一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。2、過程與方法引領(lǐng)學(xué)生從已有的幾何、三角知識(shí)出發(fā), 共同探究在任意三角形中，邊與角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、實(shí)踐、交流，用各種方法推證余弦定理及其推論， 在體驗(yàn)知識(shí)的運(yùn)用過程和合作探究過程的同時(shí)，不斷認(rèn)識(shí)三角、向量知識(shí)的工具性作用及所帶來的分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想；通過用向量推導(dǎo)三角公式，體會(huì)向量的強(qiáng)大威力，

2、鍛煉自己的抽象思維能力和推理論證能力；通過公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，進(jìn)一步體會(huì)三角知識(shí)的本質(zhì)聯(lián)系以及數(shù)學(xué)工具應(yīng)用的廣泛性與重要性；培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力及鉆研精神，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣以及解題的規(guī)范性。3、情態(tài)與價(jià)值觀（1）培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。（2）通過三角知識(shí)的進(jìn)一步拓展和運(yùn)用，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)抽象性、概括性和廣泛性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣， 形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思維和意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，為遠(yuǎn)大的志向而不懈奮斗

3、。（3）通過對(duì)三角知識(shí)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)及探索，不斷培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)探索、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神， 并提高參與意識(shí)和合作精神；教學(xué)重點(diǎn)：用向量法推導(dǎo)余弦定理及其基本應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：余弦定理的探索、推導(dǎo)以及綜合運(yùn)用。教具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)方法： 合作探究、分層推進(jìn)教學(xué)法教學(xué)過程：一、雙基回眸 科學(xué)導(dǎo)入：同學(xué)們，上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正弦定理，通過初步運(yùn)用，我們進(jìn)一步感受到了三角知識(shí)的強(qiáng)大威力和無限魅力請(qǐng)同學(xué)們回顧一下正弦定理所帶來的三角公式：正弦定理： 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即abcsinAsin Bsin C若在 ABC 中，已知 AB c, AC

4、 b 和角 A即已知兩邊及夾角，怎樣求另一邊 BC？能直接用正弦定理求嗎？顯然不能，能否還有其它的關(guān)于邊角的公式呢？有了正弦定理，是不是應(yīng)該還有余弦定理呢？ 今天，我們一起探討這個(gè)問題二、 創(chuàng)設(shè)情境合作探究：【創(chuàng)設(shè)情境 】下面，我們就來解決上面提出的問題：在ABC 中，已知 AB c, AC b 和角 A即已知兩邊及夾角， 怎樣求另一邊BCCbaAcB【分析】聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)和方法，可用什么途徑來解決這個(gè)問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B 均未知，所以較難求邊c。由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題?！竞献魈骄俊緼如圖設(shè) CB a ， CA b ， ABc ，那么 cab ，則

5、bc2aba bc c ca a b b2a b222a bab從而c2同理可證a2b2b2a2CaBa2b22abcos Cc 22bc cos Ac 22ac cos B于是得到以下定理余弦定理： 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2b2c 22bc cos Ab2a2c 22ac cos Bc2a2b22ab cos C【繼續(xù)探究 】這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？（引導(dǎo)學(xué)生推出） 從余弦定理，又可得到以下推論：cosA2b2c2acosB2a2c2bcosC2b2a2c2bc2

6、ac2ba【開拓視野 】（根據(jù)班級(jí)學(xué)生實(shí)際情況，可與學(xué)生交流一下下面的兩種推導(dǎo)方法，一是進(jìn)一步鞏固相關(guān)知識(shí)的運(yùn)用； 而是感受各種數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)和聯(lián)系。）幾何法：在 ABC 中，已知 a ， b 和角 C ，求 c 。（即用 a 、 b 、 C 表示 c ）分兩種情況討論 (證明過程略 )得出余弦定理： c2 a2 b2 2ab cosCBBacacCDbAD CbA(1)(2)（當(dāng) C 為銳角、直角或鈍角時(shí)都成立， 特別是當(dāng) C 為直角時(shí)即表現(xiàn)為勾股定理的形式）yB(a cosC, a sin C )坐標(biāo)法：ac利用兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)出余弦定理：O (C )bA(b,0)xc2a2b22

7、ab cosC（這里點(diǎn) B 的坐標(biāo)對(duì)角 C 是銳角、直角或鈍角都成立）同理，可得： a 2b2c22bc cos A ，cos Ab2c2a2，2bcb2a2c22ac cos B ，cos Ba2c2b2，變形2acc2a2b22ab cosC ；c oCsa2b2c2。2ab【點(diǎn)評(píng)】從而知余弦定理及其推論的基本作用為：已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角。【思考】勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？（引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)） 若ABC中， C=900 ，則 cosC

8、0 ，這時(shí) c2 a2 b2由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。三、互動(dòng)達(dá)標(biāo)鞏固所學(xué)：問題 .1 在三角形 ABC中，已知 b=60cm,c=34cm，A=410 . 解三角形（角度精確到 1 0 , 邊長精確到 1cm）:【分析】 直接運(yùn)用正弦定理求出其它元素即可【解析】 a 2b 2c 22bc cos A1676.82所以， a41(cm)再用正弦定理求出sin C0.5440cb,C330 , B1060【點(diǎn)評(píng)】此問題是一個(gè)最基本的問題， 第一步直接利用余弦定理求出一條邊，然后再運(yùn)用正弦利用正弦定理求出其它的元素。此題是一個(gè)運(yùn)用兩定理的基本問題。 關(guān)于這方面的綜

9、合題， 兩個(gè)定理經(jīng)常要結(jié)合起來運(yùn)用。對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。問題 .2 例 2在ABC中，已知 a 134.6 cm ， b 87.8cm ， c 161.7 cm ，解三角形【分析】顯然，可 直接運(yùn)用余弦定理的推論來求解。【解析】 由余弦定理的推論得：cos Ab2c2a287.82161.72 134.620.5543,A560202bc287.8 161.7cos Bc2a2b2134.62161.72 87.820.8398,B320532ca2 134.6 161.7；C1800(AB) 1800(560 20320 53)90047.【分析】 解決這類基本問題關(guān)鍵是運(yùn)

10、算能力，所以要通過這些題目培養(yǎng)運(yùn)算能力。四、思悟小結(jié)：知識(shí)線：（1）余弦定理及其推論；（2）相關(guān)的三角公式和性質(zhì)；（3）向量性質(zhì)的運(yùn)用。思想方法線：（1）公式法；（ 2）等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；（ 3）分類討論思想方法。題目線：（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）利用余弦定理解決的基本問題已知三邊求三角；已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。五、針對(duì)訓(xùn)練鞏固提高：【小試牛刀 】在三角形ABC 中，已知下列條件，解三角形（角度精確到0.10 ,邊長精確到 0.1cm）:(1) a=2.7cm , b=3.6cm , C=82.20 .(2) b=12.9cm ,c=

11、15.4cm , A=42.30 .(3) a=7cm , b=10cm ,c=6cm.(4) a=9.4cm , b=15.9cm ,c=21.1cm.【鞏固提高 】1. 在 ABC 中，一定成立的等式是：AB CD 2.在 ABC中， B60 , b 76,a14，則 A=。3.如果在 ABC 中， a 3 ， b7， c2 ，那么 B 等于：A B CD 264334.在 ABC 中， a9 ， b 10， c12，這個(gè)三角形是 _三角形。5. 鈍角三角形的三邊長為 a, a 1, a 2 ，其最大角不超過 1200 ，則 a 的取值范圍是：A 0 a 3 B 3a3C 2 a 3D 1 a5226. 在 ABC 中，已知 a 2 3, c62, B45 ，求 b