弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論及波利亞的解題理論

1、兩個(gè)重要的數(shù)學(xué)教育觀兩個(gè)重要的數(shù)學(xué)教育觀l弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論l波利亞的解題理論弗賴登塔爾簡(jiǎn)介弗賴登塔爾簡(jiǎn)介l弗賴登塔爾是世界著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。他曾經(jīng)是荷蘭皇家弗賴登塔爾是世界著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。他曾經(jīng)是荷蘭皇家科學(xué)院的院士和數(shù)學(xué)教育研究所所長(zhǎng)，專長(zhǎng)為李群和拓?fù)鋵W(xué)?？茖W(xué)院的院士和數(shù)學(xué)教育研究所所長(zhǎng)，專長(zhǎng)為李群和拓?fù)鋵W(xué)。1960年以后，研究重心轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)教育。在年以后，研究重心轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)教育。在1967年至年至1970年期間年期間任任“國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì) ICME 主席主席”。在他的倡議下，召開了。在他的倡議下，召開了第一屆第一屆“國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)”簡(jiǎn)

2、稱簡(jiǎn)稱ICME。在。在ICME上，他倡導(dǎo)數(shù)上，他倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教育研究要像研究數(shù)學(xué)一樣，以科學(xué)論文的形式交流研究心得，學(xué)教育研究要像研究數(shù)學(xué)一樣，以科學(xué)論文的形式交流研究心得，即前人做了什么，我發(fā)現(xiàn)了什么，證據(jù)是什么，并有詳細(xì)的文獻(xiàn)即前人做了什么，我發(fā)現(xiàn)了什么，證據(jù)是什么，并有詳細(xì)的文獻(xiàn)支持，因而使數(shù)學(xué)教育研究不再只停留在經(jīng)驗(yàn)交流的水平上。他支持，因而使數(shù)學(xué)教育研究不再只停留在經(jīng)驗(yàn)交流的水平上。他一生為國(guó)際數(shù)學(xué)教育事業(yè)做出了巨大貢獻(xiàn)。尤其令人敬佩的是，一生為國(guó)際數(shù)學(xué)教育事業(yè)做出了巨大貢獻(xiàn)。尤其令人敬佩的是，即使在即使在80歲高齡時(shí)，他依然在不斷地思考著數(shù)學(xué)教育中的問(wèn)題，歲高齡時(shí)，他依然在不斷地思考著

3、數(shù)學(xué)教育中的問(wèn)題，關(guān)心著孩子們的成長(zhǎng)和發(fā)展。關(guān)心著孩子們的成長(zhǎng)和發(fā)展。弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論著作弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論著作l作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)l除草與播種l數(shù)學(xué)教育再探弗賴登塔爾認(rèn)為數(shù)學(xué)教育有五個(gè)主要特征弗賴登塔爾認(rèn)為數(shù)學(xué)教育有五個(gè)主要特征l情景問(wèn)題情景問(wèn)題是教學(xué)的平臺(tái)l數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)l學(xué)生通過(guò)自己努力自己努力得到的結(jié)論和創(chuàng)造是教育內(nèi)容的一部分l“互動(dòng)互動(dòng)”是主要的學(xué)習(xí)方式l學(xué)科交織學(xué)科交織是數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的呈現(xiàn)方式現(xiàn)實(shí)現(xiàn)實(shí) 數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化 再創(chuàng)造再創(chuàng)造現(xiàn)實(shí)現(xiàn)實(shí)l弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，存在于現(xiàn)實(shí)，并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，而且每個(gè)學(xué)生有各自不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。l數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一

4、是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。l數(shù)學(xué)教育即是現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教育。什么是數(shù)學(xué)化呢？什么是數(shù)學(xué)化呢？l弗賴登塔爾認(rèn)為，人們?cè)谟^察、認(rèn)識(shí)和改造客觀世界的過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來(lái)分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過(guò)程，就叫數(shù)學(xué)化。說(shuō)簡(jiǎn)單點(diǎn)，數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程就是數(shù)學(xué)化?，F(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)化有兩種形式：現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)化有兩種形式：l一是實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化，即發(fā)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)學(xué)成分，并對(duì)這些成分作符號(hào)化處理；l二是從符號(hào)到概念的數(shù)學(xué)化，即在數(shù)學(xué)范疇之內(nèi)對(duì)已經(jīng)符號(hào)化了的問(wèn)題作進(jìn)一步抽象化處理。對(duì)于前者，基本流程是：對(duì)于前者，基本流程是：l確定一

5、個(gè)具體問(wèn)題中包含的數(shù)學(xué)成分；l建立這些數(shù)學(xué)成分與學(xué)生已知的數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系；l通過(guò)不同方法使這些數(shù)學(xué)成分形象化、符號(hào)化和公式化；l找出蘊(yùn)含其中的關(guān)系和規(guī)則；l考慮相同數(shù)學(xué)成分在其他數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域方面的體現(xiàn)；l作出形式化表述。對(duì)于后者，基本流程是：對(duì)于后者，基本流程是：l用數(shù)學(xué)公式表示關(guān)系；l對(duì)有關(guān)規(guī)則作出證明；l嘗試建立和使用不同的數(shù)學(xué)模型；l對(duì)得出的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行調(diào)整和加工；l綜合不同數(shù)學(xué)模型的共性，形成功能更強(qiáng)的新模型；l用已知數(shù)學(xué)公式和語(yǔ)言盡量準(zhǔn)確地描述得到的新概念和新方法；l作一般化的處理、推廣。再創(chuàng)造再創(chuàng)造l弗賴登塔爾所說(shuō)的“再創(chuàng)造”，其核心是數(shù)學(xué)過(guò)程再現(xiàn)。l學(xué)生“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)

6、程實(shí)際上就是一個(gè)“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程。l教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者大多有過(guò)這樣的經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者大多有過(guò)這樣的經(jīng)歷：l一道題，自己百思不得其解，而老師卻給出了一個(gè)絕妙的解法。這時(shí)候，我們最想知道“老師是怎樣想出這個(gè)解法的”，如果這個(gè)解法不是很難，我們也許會(huì)問(wèn)“自己完全可以想出，但為什么我沒(méi)有想到呢？”這就需要研究“解決數(shù)學(xué)問(wèn)題”的規(guī)律。波利亞簡(jiǎn)介波利亞簡(jiǎn)介l美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治波利亞在該領(lǐng)域作出了許多奠基性的工作。波利亞是法國(guó)科學(xué)院、美國(guó)科學(xué)院和匈牙利科學(xué)院的院士，1887年出生在匈牙利，青年時(shí)期曾在布達(dá)佩斯、維也納、哥廷根、巴黎等地攻讀數(shù)學(xué)，物理學(xué)和哲學(xué)，獲博士學(xué)

7、位。1914年在蘇黎世著名的瑞士聯(lián)邦理工學(xué)院任教。1940年移居美國(guó)，1942年起任美國(guó)斯坦福大學(xué)教授。他一生發(fā)表兩百多篇論文和許多專著。他在數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域內(nèi)有精深的造詣，對(duì)實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、組合論、概率論、幾何等若干分支領(lǐng)域都作出了開拓性的貢獻(xiàn)，一些術(shù)語(yǔ)和定理都以他的名字命名。由于他在數(shù)學(xué)教育方面所取得的成就和對(duì)世界數(shù)學(xué)教育所產(chǎn)生的影響，在他93歲高齡時(shí)，還被ICME聘為名譽(yù)主席。波利亞的著作波利亞的著作l怎樣解題l數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)l數(shù)學(xué)與猜想波利亞的數(shù)學(xué)教育觀波利亞的數(shù)學(xué)教育觀l中學(xué)數(shù)學(xué)教育理論的根本目的是“教會(huì)學(xué)生思考”。“教會(huì)學(xué)生思考”意味著數(shù)學(xué)教師不只是傳授知識(shí)，還應(yīng)努力發(fā)展學(xué)生運(yùn)用所學(xué)

8、知識(shí)的能力，他應(yīng)該強(qiáng)調(diào)技能、技巧、有益的思考方式和思想的思維習(xí)慣。教學(xué)過(guò)程的三個(gè)原則教學(xué)過(guò)程的三個(gè)原則l主動(dòng)學(xué)習(xí)l最佳動(dòng)機(jī)l循序漸進(jìn)主動(dòng)學(xué)習(xí)主動(dòng)學(xué)習(xí)l“學(xué)東西的最好方式是發(fā)現(xiàn)它”，“親自發(fā)現(xiàn)能夠在你腦海里留下一條小路；今后一旦需要，你便可以利用它”。因而，教師應(yīng)該“盡量讓學(xué)生在現(xiàn)有條件下親自發(fā)現(xiàn)盡可能多的東西”。思想應(yīng)在學(xué)生頭腦里產(chǎn)生，教師則只起助產(chǎn)士的作用。最佳動(dòng)機(jī)最佳動(dòng)機(jī)l為了使學(xué)習(xí)富有成效，學(xué)生應(yīng)該對(duì)學(xué)習(xí)倍感興趣并且在學(xué)習(xí)活動(dòng)中尋求歡樂(lè)。最佳的刺激應(yīng)該是對(duì)所學(xué)知識(shí)的興趣。另外，還可以在學(xué)生做題之前，讓他們猜測(cè)學(xué)習(xí)的結(jié)果。在科學(xué)家的工作中，猜想幾乎是證明的先導(dǎo)。循序漸進(jìn)循序漸進(jìn)l學(xué)習(xí)過(guò)程是

9、從行動(dòng)和感知開始的，進(jìn)而發(fā)展到詞語(yǔ)和概念，以培養(yǎng)合理的思維習(xí)慣而結(jié)束。學(xué)習(xí)的第一個(gè)過(guò)程是探索，它聯(lián)系著行動(dòng)和感知，并且是在知覺(jué)和啟發(fā)的水平上發(fā)展的。第二個(gè)階段是闡明，包括引進(jìn)技術(shù)語(yǔ)、定義、證明等，提高到概念的水平上。第三個(gè)階段是吸收，即把所學(xué)知識(shí)都在頭腦里消化了，然后吸收到自己的知識(shí)系統(tǒng)中來(lái)，擴(kuò)大智力的范圍。一名好的數(shù)學(xué)教師具備兩方面的知識(shí)一名好的數(shù)學(xué)教師具備兩方面的知識(shí)l一是數(shù)學(xué)內(nèi)容的知識(shí)。l二是數(shù)學(xué)教學(xué)法的知識(shí)。波利亞給數(shù)學(xué)教師提出了波利亞給數(shù)學(xué)教師提出了“十條建議十條建議”u1. 要對(duì)所講的課題有興趣要對(duì)所講的課題有興趣u2. 要懂得所講的課題要懂得所講的課題;u3. 要懂得學(xué)習(xí)的途徑要

10、懂得學(xué)習(xí)的途徑發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn);u4. 要觀察學(xué)生的臉色要觀察學(xué)生的臉色,弄清他們的期望和困難弄清他們的期望和困難, 置身于他們之中置身于他們之中;u5. 不僅要傳授知識(shí)不僅要傳授知識(shí),而且要教給學(xué)生才智而且要教給學(xué)生才智,思維的方式和工作習(xí)慣思維的方式和工作習(xí)慣;u6. 要讓他們學(xué)習(xí)猜測(cè)要讓他們學(xué)習(xí)猜測(cè);u7. 要讓他們學(xué)習(xí)證明要讓他們學(xué)習(xí)證明;u8. 要找出手邊題目中那些對(duì)后來(lái)題目有用的特征要找出手邊題目中那些對(duì)后來(lái)題目有用的特征;u9. 不要立即吐露你的全部秘密不要立即吐露你的全部秘密讓學(xué)生在你說(shuō)出來(lái)之前先去猜讓學(xué)生在你說(shuō)出來(lái)之前先去猜,盡量讓他們自己找出來(lái)盡量讓他們自己找出來(lái);u10. 要建議

11、要建議,不要強(qiáng)迫別人去接受不要強(qiáng)迫別人去接受.波利亞的“怎樣解題表”（分為四步）（分為四步）第一步，必須了解問(wèn)題了解問(wèn)題u未知數(shù)是什么？已知數(shù)是什么？條件是什么？u可能滿足什么條件？u畫一個(gè)圖，引入適當(dāng)符號(hào)。波利亞的“怎樣解題表”（分為四步）（分為四步）第二步，找出已知數(shù)和未知數(shù)間的關(guān)系。假使你不能找出關(guān)系，就得考慮輔助問(wèn)題，最后應(yīng)想出一個(gè)計(jì)劃擬定計(jì)劃u你以前曾見(jiàn)過(guò)它嗎？你以前曾見(jiàn)過(guò)它嗎？u你知道什么與此有關(guān)的問(wèn)題？你知道什么與此有關(guān)的問(wèn)題？u注視未知數(shù)！試想出一個(gè)有相同或相似的未知數(shù)的熟注視未知數(shù)！試想出一個(gè)有相同或相似的未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題。悉的問(wèn)題。u這里有一個(gè)與你有關(guān)而且以前解過(guò)的問(wèn)題，你能應(yīng)用這里有一個(gè)與你有關(guān)而且以前解過(guò)的問(wèn)題，你能應(yīng)用它嗎？它嗎？u你可以概述這個(gè)問(wèn)題嗎？你可以概述這個(gè)問(wèn)題嗎？u你若不能解這個(gè)問(wèn)題，試先解一個(gè)有關(guān)的問(wèn)題。你能你若不能解這個(gè)問(wèn)題，試先解一個(gè)有關(guān)的問(wèn)題。你能想出一個(gè)更容易的有關(guān)問(wèn)題嗎？一個(gè)更一般的問(wèn)題？一想出一個(gè)更容易的有關(guān)問(wèn)題嗎？一個(gè)更一般的問(wèn)題？一個(gè)更特殊的問(wèn)題？一個(gè)類似的問(wèn)題？你能解問(wèn)題的一部個(gè)更特殊的問(wèn)題？一個(gè)類似的問(wèn)題？你能解問(wèn)題的一部分嗎？分嗎？u你用了全部的條件嗎？你用了全部的條件嗎？波利亞