中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)測(cè)試題專題三新定義探究教師版_1837

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載20XX年中考總復(fù)習(xí)專題三新定義探究一、基本運(yùn)算新定義1.（ 2013?河北）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù) a， b，都有 a b=a（ a b） +1，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運(yùn)算，比如： 2 5=2 ×（ 2 5） +1=2×（ 3）+1=6+1= 5（ 1）求（ 2） 3 的值；（ 2）若 3 x 的值小于 13，求 x 的取值范圍，并在圖所示的數(shù)軸上表示出來(lái)解：（ 1） ab=a（ab） +1，（ 2） 3= 2（ 2 3）+1=10+1=11 ；（2） 3x 13， 3（3 x） +1 13， 93x+1 13， 3x 3，x 1在數(shù)軸上表示如

2、下：2.（1） 2 3 ( 2+3) (2 3)+2 3 ( 2+3) 1 ( 5)+ 23 1 5+6 1（2）因?yàn)閍b ( a+b)(ab)+2 b( a+b)=a 2 b2 +2 ab +2b2 =ab2；ba ( b+a)( ba)+2 a( b+a)=b2 a2 +2 ab +2 a2 =ab 2所以 a b ba二、幾何圖形新定義1（ 2015?臺(tái)州）定義：如圖1，點(diǎn) M ， N 把線段 AB 分割成 AM ， MN 和 BN，若以 AM ， MN ， BN 為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M ， N 是線段 AB 的勾股分割點(diǎn)（ 1）已知點(diǎn)M， N 是線段 AB 的勾股分割點(diǎn)

3、，若AM=2 ， MN=3 ，求 BN 的長(zhǎng)；（ 2）如圖 2，在 ABC 中， FG 是中位線，點(diǎn)D ，E 是線段 BC 的勾股分割點(diǎn)，且EC DEBD ，連接AD ，AE 分別交 FG 于點(diǎn) M ， N，求證：點(diǎn)M ， N 是線段 FG 的勾股分割點(diǎn)；（ 3）已知點(diǎn) C 是線段 AB 上的一定點(diǎn)，其位置如圖 3 所示，請(qǐng)?jiān)?BC 上畫一點(diǎn) D ，使點(diǎn) C， D 是線段 AB 的勾股分割點(diǎn)（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，畫一種情形即可）；（ 4）如圖 4，已知點(diǎn) M ，N 是線段 AB 的勾股分割點(diǎn)， MN AM BN ， AMC ， MND 和 NBE 均為等邊三角形， AE 分別交 CM

4、， DM ， DN 于點(diǎn) F， G， H，若 H 是 DN 的中點(diǎn)，試探究 SAMF ， SBEN 和 S 四邊形 MNHG 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由學(xué)習(xí)必備歡迎下載（1）解：當(dāng)MN為最大線段時(shí)，點(diǎn)M、N 是線段 AB 的勾股分割點(diǎn)， BN=；當(dāng) BN為最大線段時(shí)，點(diǎn)M、N 是線段 AB的勾股分割點(diǎn)， BN=，綜上所述： BN=或；（2）證明： FG是ABC的中位線， FGBC， = =1，點(diǎn) M、N 分別是 AD、AE的中點(diǎn)， BD=2FM， DE=2MN，EC=2NG，點(diǎn) D、 E 是線段 BC的勾股分割點(diǎn)，且222222222ECDEBD，EC =BD+DE，（ 2NG） =（ 2FM）+

5、（ 2MN） ，NG=FM+MN，點(diǎn) M、 N 是線段 FG的勾股分割點(diǎn)；（3）解：作法：在 AB 上截取 CE=CA；作 AE 的垂直平分線，并截取CF=CA；連接 BF，并作 BF 的垂直平分線，交 AB于 D；點(diǎn) D 即為所求；如圖所示： （ 4）解： S=S +S，理由如下：設(shè)AM=a， BN=b，MN=c，H 是 DN的中點(diǎn)， DH=HN= c，四邊形 MNHGAMF BENMND、BNE 均為等邊三角形， D=DNE=60°，在 DGH和NEH中， DGHNEH（ASA），DG=EN=b，MG=c b，GMEN， AGMAEN，2，c=2abac+bc，點(diǎn) M、N 是線段

6、 AB的勾股分割點(diǎn)，2222=（ba） c，又 bac，a=b，在 DGH和CAF中， DGHCAF（ ASA），c=a +b ，（ ab）222，222SDGH=S CAF，c=a +bc =a +b ，SDMN=SACM+SENB ，SDMN=SDGH+S 四邊形 M NHG，SACM=SCAF+SAMF，S四邊形 MNHG=SAMF+SBEN2（ 2015?嘉興）類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形 ”（ 1）概念理解：如圖 1，在四邊形 ABCD 中，添加一個(gè)條件使得四邊形ABCD 是 “等鄰邊四邊形 ”請(qǐng)寫出你添加的一個(gè)條件（ 2）問題探究： 小

7、紅猜想：對(duì)角線互相平分的“等鄰邊四邊形 ”是菱形，她的猜想正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由 如圖 2，小紅畫了一個(gè)Rt ABC ，其中 ABC=90 °， AB=2 ， BC=1 ，并將 Rt ABC 沿 ABC 的平分線 BB 方向平移得到A BC，連結(jié) AA ，BC，小紅要使平移后的四邊形ABC A是“等鄰邊四邊形 ”，應(yīng)平移多少距離（即線段BB 的長(zhǎng)）？（ 3）拓展應(yīng)用：如圖 3， “等鄰邊四邊形 ”ABCD 中， AB=AD ， BAD+ BCD=90 °， AC ， BD 為對(duì)角線， AC= AB ，試探究BC， CD ，BD 的數(shù)量關(guān)系解：（1）AB=BC或 BC=CD或 C

8、D=AD或 AD=AB（任寫一個(gè)即可） ；（ 2）正確，理由為：四邊形的對(duì)角線互相平分，這個(gè)四邊形是平行四邊形，四邊形是“等鄰邊四邊形”，這個(gè)四邊形有一組鄰邊相等，這個(gè)“等鄰邊四邊形”是菱形；學(xué)習(xí)必備歡迎下載 ABC=90°， AB=2， BC=1，AC=，將 RtABC平移得到 ABC， BB=AA，ABAB，AB=AB=2，BC=BC=1，AC=AC=，（I ）如圖1，當(dāng) AA=AB 時(shí)，BB=AA=AB=2； （ II ）如圖 2，當(dāng) AA=AC時(shí)，BB=AA=AC=；（ III）當(dāng) AC=BC=時(shí)，如圖 3，延長(zhǎng) CB交 AB于點(diǎn) D，則 CBAB， BB平分 ABC， AB

9、B=ABC=45°， BBD=ABB=45°BD=B，設(shè)BD=BD=x，則CD=x+1，BB=22222=（2x，在 RtBCD 中， BD+（CD） =（BC）x+（ x+1） ，解得： x 1=1， x2= 2（不合題意，舍去） ，BB=x=（）當(dāng) BC=AB=2 時(shí)，如圖4，與（）方法一同理可得：BD2+（CD） 2=（BC） 2 ，設(shè) BD=BD=x，則 x 2+（x+1）2 =22 ，解得： x 1=， x 2=（不合題意，舍去） ，BB=x=；（3） BC， CD， BD的數(shù)量關(guān)系為：222CF， ABFADC，BC+CD=2BD，如圖 5，AB=AD，將 AD

10、C 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到 ABF，連接ABF=ADC， BAF=DAC， AF=AC，F(xiàn)B=CD，BAD=CAF，=1，ACFABD ，=，BD，BAD+ADC+BCD+ABC=360°，ABC+ADC360° （BAD+BCD） =360°90°=270°， ABC+ABF=270°，22=222222CBF=90°， BC +FB CF =（BD） =2BD，BC +CD=2BD3（2015?杭州）如圖 1， O 的半徑為 r（r 0）， 若點(diǎn) P在射線 OP 上，滿足 OP?OP=r2，則稱點(diǎn) P是點(diǎn) P 關(guān)于 O 的 “

11、反演點(diǎn) ” 如圖 2， O 的半徑為4，點(diǎn) B 在 O 上， BOA=60 °， OA=8 ，若點(diǎn) A ，B 分別是點(diǎn)A ， B 關(guān)于 O 的反演點(diǎn)，求 A B的長(zhǎng)解：設(shè) OA交O于 C，連結(jié) BC，如圖2，OA?OA=42，而 r=4 ，OA=8，OA=2，OB?OB=4 2，OB=4，即點(diǎn) B 和 B重合， BOA=60°，OB=OC， OBC為等邊三角形，而點(diǎn)A為 OC的中點(diǎn)， BAOC，在 RtOAB中， sin AOB=，AB=4sin60 °=2三、函數(shù)新定義1（2015?揚(yáng)州）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) P（x，y）的橫坐標(biāo)x 的絕對(duì)值表示為|x| ，縱坐

12、標(biāo) y 的絕對(duì)值表示為|y|，我們把點(diǎn)P（ x，y）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值之和叫做點(diǎn)P（ x，y）的勾股值， 記為P，即P=|x|+|y|（其中的 “+”是四則運(yùn)算中的加法）（ 1）求點(diǎn) A （ 1， 3）， B（+2， 2）的勾股值A(chǔ)、 B；（ 2）點(diǎn) M 在反比例函數(shù) y= 的圖象上，且 M =4，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)；（ 3）求滿足條件 N =3 的所有點(diǎn) N 圍成的圖形的面積解：（ 1） A（ 1，3），B（+2，2）， A =|1|+|3|=4，B =|+2|+| 2|=+2+2=4；（2）設(shè)：點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（ m，n），由題意得解得：，學(xué)習(xí)必備歡迎下載 M （1，3），（ 1， 3）

13、，（ 3，1），（ 3， 1）（ 3）設(shè) N 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ x， y）， N=3， |x|+|y|=3， x+y=3 ， x y=3，x y=3， x+y=3 ， y=x+3， y= x 3， y=x 3，y=x+3 ，如圖：所有點(diǎn) N 圍成的圖形的面積 =3=182（ 2015?河南）如圖，邊長(zhǎng)為8 的正方形OABC 的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C 為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A ，點(diǎn) P是拋物線上點(diǎn)A ，C 間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn) P 作 PF BC 于點(diǎn) F，點(diǎn) D、E 的坐標(biāo)分別為（0，6），（ 4， 0），連接 PD、 PE、 DE （ 1）請(qǐng)直接寫出拋物線的解析式；（ 2）小明探究點(diǎn) P

14、的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng) P 與點(diǎn) A 或點(diǎn) C 重合時(shí)， PD 與 PF 的差為定值，進(jìn)而猜想：對(duì)于任意一點(diǎn)P， PD 與 PF 的差為定值，請(qǐng)你判斷該猜想是否正確，并說(shuō)明理由；（ 3）小明進(jìn)一步探究得出結(jié)論： 若將 “使 PDE 的面積為整數(shù) ”的點(diǎn) P 記作 “好點(diǎn) ”，則存在多個(gè) “好點(diǎn) ”，且使 PDE 的周長(zhǎng)最小的點(diǎn) P 也是一個(gè) “好點(diǎn) ”請(qǐng)直接寫出所有 “好點(diǎn) ”的個(gè)數(shù)，并求出 PDE 周長(zhǎng)最小時(shí) “好點(diǎn) ”的坐標(biāo)解：（ 1）邊長(zhǎng)為8 的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C 為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A， C（ 0，8），A（ 8， 0），設(shè)拋物線解析式為：y=ax2 +c，則，解得：故拋物

15、線的解析式為：y=x 2+8；（2）正確，理由：設(shè) P（ a， a2+8），則 F（ a，8）， D （0， 6）， PD= a2 +2，PF=8（ a2+8） = a2， PDPF=2；（ 3）在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)時(shí)， DE 大小不變，則PE 與 PD 的和最小時(shí)， PDE 的周長(zhǎng)最小， PDPF=2， PD =PF+2， PE+PD=PE+PF+2，當(dāng) P、E、 F 三點(diǎn)共線時(shí)， PE+PF 最小，此時(shí)點(diǎn) P，E 的橫坐標(biāo)都為 4，將 x= 4 代入 y= x2+8，得 y=6， P（ 4，6），此時(shí) PDE 的周長(zhǎng)最小，且 PDE 的面積為 12，點(diǎn) P 恰為 “好點(diǎn)， PDE 的周長(zhǎng)最小時(shí)

16、”好點(diǎn) “的坐標(biāo)為：（ 4，6），由（ 2）得： P（ a， a2+8），點(diǎn) D、E 的坐標(biāo)分別為（0，6），（ 4，0）， 當(dāng) 4a 0 時(shí)， SPDE=； 4 S PDE12， 當(dāng) a=0 時(shí)， SPDE=4， 8 a 4 時(shí)， SPDE=（a2+8+6） ×（ a）× ×4×6（ a4）×（a2 +8） × = a23a+4，4S PDE13， 當(dāng) a= 8 時(shí)，S PDE=12， PDE 的面積可以等于 4到 13 所有整數(shù)， 在面積為 12時(shí)，a 的值有兩個(gè)，所以面積為整數(shù)時(shí)好點(diǎn)有11 個(gè)，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證周長(zhǎng)最小的好點(diǎn)包含這11

17、個(gè)之內(nèi)，所以好點(diǎn)共 11 個(gè)， 11 個(gè)好點(diǎn)， P（ 4， 6）學(xué)習(xí)必備歡迎下載3、（ 2011?河北）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P 從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x 軸向右以毎秒1 個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)t 秒（ t 0），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和點(diǎn)P，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A （1，0），B （ 1， 5），D （4，0）（1）求c， b（用含t 的代數(shù)式表示）：（ 2）當(dāng)4 t 5 時(shí)，設(shè)拋物線分別與線段AB， CD交于點(diǎn)M，N在點(diǎn)P 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，你認(rèn)為AMP的大小是否會(huì)變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出AMP的值；求 MPN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求t 為何值時(shí)，；（ 3）在矩形 ABCD的內(nèi)部（不含邊界） ，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”分成數(shù)量相等的兩部分，請(qǐng)直接寫出t 的取值范圍若拋物線將這些“好點(diǎn)”解：（ 1）把 x=0，y=0