中考數學專題復習測試題專題三新定義探究教師版_1837

1、學習必備歡迎下載20XX年中考總復習專題三新定義探究一、基本運算新定義1.（ 2013?河北）定義新運算：對于任意實數 a， b，都有 a b=a（ a b） +1，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運算，比如： 2 5=2 ×（ 2 5） +1=2×（ 3）+1=6+1= 5（ 1）求（ 2） 3 的值；（ 2）若 3 x 的值小于 13，求 x 的取值范圍，并在圖所示的數軸上表示出來解：（ 1） ab=a（ab） +1，（ 2） 3= 2（ 2 3）+1=10+1=11 ；（2） 3x 13， 3（3 x） +1 13， 93x+1 13， 3x 3，x 1在數軸上表示如

2、下：2.（1） 2 3 ( 2+3) (2 3)+2 3 ( 2+3) 1 ( 5)+ 23 1 5+6 1（2）因為ab ( a+b)(ab)+2 b( a+b)=a 2 b2 +2 ab +2b2 =ab2；ba ( b+a)( ba)+2 a( b+a)=b2 a2 +2 ab +2 a2 =ab 2所以 a b ba二、幾何圖形新定義1（ 2015?臺州）定義：如圖1，點 M ， N 把線段 AB 分割成 AM ， MN 和 BN，若以 AM ， MN ， BN 為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M ， N 是線段 AB 的勾股分割點（ 1）已知點M， N 是線段 AB 的勾股分割點

3、，若AM=2 ， MN=3 ，求 BN 的長；（ 2）如圖 2，在 ABC 中， FG 是中位線，點D ，E 是線段 BC 的勾股分割點，且EC DEBD ，連接AD ，AE 分別交 FG 于點 M ， N，求證：點M ， N 是線段 FG 的勾股分割點；（ 3）已知點 C 是線段 AB 上的一定點，其位置如圖 3 所示，請在 BC 上畫一點 D ，使點 C， D 是線段 AB 的勾股分割點（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，畫一種情形即可）；（ 4）如圖 4，已知點 M ，N 是線段 AB 的勾股分割點， MN AM BN ， AMC ， MND 和 NBE 均為等邊三角形， AE 分別交 CM

4、， DM ， DN 于點 F， G， H，若 H 是 DN 的中點，試探究 SAMF ， SBEN 和 S 四邊形 MNHG 的數量關系，并說明理由學習必備歡迎下載（1）解：當MN為最大線段時，點M、N 是線段 AB 的勾股分割點， BN=；當 BN為最大線段時，點M、N 是線段 AB的勾股分割點， BN=，綜上所述： BN=或；（2）證明： FG是ABC的中位線， FGBC， = =1，點 M、N 分別是 AD、AE的中點， BD=2FM， DE=2MN，EC=2NG，點 D、 E 是線段 BC的勾股分割點，且222222222ECDEBD，EC =BD+DE，（ 2NG） =（ 2FM）+

5、（ 2MN） ，NG=FM+MN，點 M、 N 是線段 FG的勾股分割點；（3）解：作法：在 AB 上截取 CE=CA；作 AE 的垂直平分線，并截取CF=CA；連接 BF，并作 BF 的垂直平分線，交 AB于 D；點 D 即為所求；如圖所示： （ 4）解： S=S +S，理由如下：設AM=a， BN=b，MN=c，H 是 DN的中點， DH=HN= c，四邊形 MNHGAMF BENMND、BNE 均為等邊三角形， D=DNE=60°，在 DGH和NEH中， DGHNEH（ASA），DG=EN=b，MG=c b，GMEN， AGMAEN，2，c=2abac+bc，點 M、N 是線段

6、 AB的勾股分割點，2222=（ba） c，又 bac，a=b，在 DGH和CAF中， DGHCAF（ ASA），c=a +b ，（ ab）222，222SDGH=S CAF，c=a +bc =a +b ，SDMN=SACM+SENB ，SDMN=SDGH+S 四邊形 M NHG，SACM=SCAF+SAMF，S四邊形 MNHG=SAMF+SBEN2（ 2015?嘉興）類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形 ”（ 1）概念理解：如圖 1，在四邊形 ABCD 中，添加一個條件使得四邊形ABCD 是 “等鄰邊四邊形 ”請寫出你添加的一個條件（ 2）問題探究： 小

7、紅猜想：對角線互相平分的“等鄰邊四邊形 ”是菱形，她的猜想正確嗎？請說明理由 如圖 2，小紅畫了一個Rt ABC ，其中 ABC=90 °， AB=2 ， BC=1 ，并將 Rt ABC 沿 ABC 的平分線 BB 方向平移得到A BC，連結 AA ，BC，小紅要使平移后的四邊形ABC A是“等鄰邊四邊形 ”，應平移多少距離（即線段BB 的長）？（ 3）拓展應用：如圖 3， “等鄰邊四邊形 ”ABCD 中， AB=AD ， BAD+ BCD=90 °， AC ， BD 為對角線， AC= AB ，試探究BC， CD ，BD 的數量關系解：（1）AB=BC或 BC=CD或 C

8、D=AD或 AD=AB（任寫一個即可） ；（ 2）正確，理由為：四邊形的對角線互相平分，這個四邊形是平行四邊形，四邊形是“等鄰邊四邊形”，這個四邊形有一組鄰邊相等，這個“等鄰邊四邊形”是菱形；學習必備歡迎下載 ABC=90°， AB=2， BC=1，AC=，將 RtABC平移得到 ABC， BB=AA，ABAB，AB=AB=2，BC=BC=1，AC=AC=，（I ）如圖1，當 AA=AB 時，BB=AA=AB=2； （ II ）如圖 2，當 AA=AC時，BB=AA=AC=；（ III）當 AC=BC=時，如圖 3，延長 CB交 AB于點 D，則 CBAB， BB平分 ABC， AB

9、B=ABC=45°， BBD=ABB=45°BD=B，設BD=BD=x，則CD=x+1，BB=22222=（2x，在 RtBCD 中， BD+（CD） =（BC）x+（ x+1） ，解得： x 1=1， x2= 2（不合題意，舍去） ，BB=x=（）當 BC=AB=2 時，如圖4，與（）方法一同理可得：BD2+（CD） 2=（BC） 2 ，設 BD=BD=x，則 x 2+（x+1）2 =22 ，解得： x 1=， x 2=（不合題意，舍去） ，BB=x=；（3） BC， CD， BD的數量關系為：222CF， ABFADC，BC+CD=2BD，如圖 5，AB=AD，將 AD

10、C 繞點 A 旋轉到 ABF，連接ABF=ADC， BAF=DAC， AF=AC，FB=CD，BAD=CAF，=1，ACFABD ，=，BD，BAD+ADC+BCD+ABC=360°，ABC+ADC360° （BAD+BCD） =360°90°=270°， ABC+ABF=270°，22=222222CBF=90°， BC +FB CF =（BD） =2BD，BC +CD=2BD3（2015?杭州）如圖 1， O 的半徑為 r（r 0）， 若點 P在射線 OP 上，滿足 OP?OP=r2，則稱點 P是點 P 關于 O 的 “

11、反演點 ” 如圖 2， O 的半徑為4，點 B 在 O 上， BOA=60 °， OA=8 ，若點 A ，B 分別是點A ， B 關于 O 的反演點，求 A B的長解：設 OA交O于 C，連結 BC，如圖2，OA?OA=42，而 r=4 ，OA=8，OA=2，OB?OB=4 2，OB=4，即點 B 和 B重合， BOA=60°，OB=OC， OBC為等邊三角形，而點A為 OC的中點， BAOC，在 RtOAB中， sin AOB=，AB=4sin60 °=2三、函數新定義1（2015?揚州）平面直角坐標系中，點 P（x，y）的橫坐標x 的絕對值表示為|x| ，縱坐

12、標 y 的絕對值表示為|y|，我們把點P（ x，y）的橫坐標與縱坐標的絕對值之和叫做點P（ x，y）的勾股值， 記為P，即P=|x|+|y|（其中的 “+”是四則運算中的加法）（ 1）求點 A （ 1， 3）， B（+2， 2）的勾股值A、 B；（ 2）點 M 在反比例函數 y= 的圖象上，且 M =4，求點 M 的坐標；（ 3）求滿足條件 N =3 的所有點 N 圍成的圖形的面積解：（ 1） A（ 1，3），B（+2，2）， A =|1|+|3|=4，B =|+2|+| 2|=+2+2=4；（2）設：點M 的坐標為（ m，n），由題意得解得：，學習必備歡迎下載 M （1，3），（ 1， 3）

13、，（ 3，1），（ 3， 1）（ 3）設 N 點的坐標為（ x， y）， N=3， |x|+|y|=3， x+y=3 ， x y=3，x y=3， x+y=3 ， y=x+3， y= x 3， y=x 3，y=x+3 ，如圖：所有點 N 圍成的圖形的面積 =3=182（ 2015?河南）如圖，邊長為8 的正方形OABC 的兩邊在坐標軸上，以點C 為頂點的拋物線經過點A ，點 P是拋物線上點A ，C 間的一個動點（含端點），過點 P 作 PF BC 于點 F，點 D、E 的坐標分別為（0，6），（ 4， 0），連接 PD、 PE、 DE （ 1）請直接寫出拋物線的解析式；（ 2）小明探究點 P

14、的位置發(fā)現：當 P 與點 A 或點 C 重合時， PD 與 PF 的差為定值，進而猜想：對于任意一點P， PD 與 PF 的差為定值，請你判斷該猜想是否正確，并說明理由；（ 3）小明進一步探究得出結論： 若將 “使 PDE 的面積為整數 ”的點 P 記作 “好點 ”，則存在多個 “好點 ”，且使 PDE 的周長最小的點 P 也是一個 “好點 ”請直接寫出所有 “好點 ”的個數，并求出 PDE 周長最小時 “好點 ”的坐標解：（ 1）邊長為8 的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點C 為頂點的拋物線經過點A， C（ 0，8），A（ 8， 0），設拋物線解析式為：y=ax2 +c，則，解得：故拋物

15、線的解析式為：y=x 2+8；（2）正確，理由：設 P（ a， a2+8），則 F（ a，8）， D （0， 6）， PD= a2 +2，PF=8（ a2+8） = a2， PDPF=2；（ 3）在點 P 運動時， DE 大小不變，則PE 與 PD 的和最小時， PDE 的周長最小， PDPF=2， PD =PF+2， PE+PD=PE+PF+2，當 P、E、 F 三點共線時， PE+PF 最小，此時點 P，E 的橫坐標都為 4，將 x= 4 代入 y= x2+8，得 y=6， P（ 4，6），此時 PDE 的周長最小，且 PDE 的面積為 12，點 P 恰為 “好點， PDE 的周長最小時

16、”好點 “的坐標為：（ 4，6），由（ 2）得： P（ a， a2+8），點 D、E 的坐標分別為（0，6），（ 4，0）， 當 4a 0 時， SPDE=； 4 S PDE12， 當 a=0 時， SPDE=4， 8 a 4 時， SPDE=（a2+8+6） ×（ a）× ×4×6（ a4）×（a2 +8） × = a23a+4，4S PDE13， 當 a= 8 時，S PDE=12， PDE 的面積可以等于 4到 13 所有整數， 在面積為 12時，a 的值有兩個，所以面積為整數時好點有11 個，經過驗證周長最小的好點包含這11

17、個之內，所以好點共 11 個， 11 個好點， P（ 4， 6）學習必備歡迎下載3、（ 2011?河北）如圖，在平面直角坐標系中，點P 從原點O出發(fā)，沿x 軸向右以毎秒1 個單位長的速度運動t 秒（ t 0），拋物線y=x2+bx+c經過點O和點P，已知矩形ABCD的三個頂點為A （1，0），B （ 1， 5），D （4，0）（1）求c， b（用含t 的代數式表示）：（ 2）當4 t 5 時，設拋物線分別與線段AB， CD交于點M，N在點P 的運動過程中，你認為AMP的大小是否會變化？若變化，說明理由；若不變，求出AMP的值；求 MPN的面積S與t的函數關系式，并求t 為何值時，；（ 3）在矩形 ABCD的內部（不含邊界） ，把橫、縱坐標都是整數的點稱為“好點”分成數量相等的兩部分，請直接寫出t 的取值范圍若拋物線將這些“好點”解：（ 1）把 x=0，y=0