中考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題講解幾何探索題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載二幾何探索題巡視探索類問題是近幾年中考命題的重點，不少省市還作為壓軸的大題。筆者研究了各地中考試卷，對命題特點、解題方法做了一些探討。本文以中考題為例說明之，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。一、實驗型探索題例 1. 等腰三角形是我們熟悉的圖形之一，下面介紹一種等分等腰三角形面積的方法：如圖1，在 ABC中， AB AC，把底邊BC分成 m等份，連接頂點A 和底邊 BC各等分點的線段，即可把這個三角形的面積m等分。圖 1問題提出：任意給定一個正n 邊形，你能把它的面積m等分嗎？探究與發(fā)現(xiàn)： 為了解決這個問題，我們先從簡單問題入手怎樣從正三角形的中心（正多邊形的各對稱軸的交點，又稱為正多邊形的

2、中心）引線段，才能將這個正三角形的面積m等分？如果要把正三角形的面積4 等分，我們可以先連接正三角形的中心和各頂點（如圖2(1) ），這些線段將這個三角形分成了3 個全等的等腰三角形） ；再把所得到的每個等腰三角形的底邊4 等分，連接中心和各邊等分點（如圖 2(2) ，這些線段把這個三角形分成了12 個面積相等的小三角形）；最后依次把相鄰的3 個小三角形拼合在一起（如圖2(3) ），這樣就能把這個正三角形的面積4 等分了。圖 2（ 1）實驗與驗證：仿照上述方法，利用刻度尺在圖3 中畫出一種將正三角形的面積5 等分的示意圖。圖 3（ 2）猜想與證明：怎樣從正三角形的中心引線段，才能將這個正三角形

3、的面積m等分？敘述你的分法并說明理由。（ 3）拓展與延伸：怎樣從正方形（如圖4）的中心引線段，才能將這個正方形的面積m 等分（敘述分法即可，不要求說明理由）？圖 4學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 4）問題解決：怎樣從正n 邊形（如圖5）的中心引線段，才能使這個正n 邊形的面積m等分？（敘述分法，不要求說明理由）圖 5分析： 這類問題的特點是先給出一個解決問題的范例，然后要求解答一個類似的問題，最后將結(jié)論或方法推廣到一般情況。這類問題文字較多，首先應(yīng)弄清楚哪些是范例，哪些是要求解答的問題，然后詳細(xì)閱讀范例，從中領(lǐng)會解決問題的方法，并能運用這個方法解決問題。解：（ 1）先連接正三角形的中心和各頂點，再把正三角

4、形各邊分別5 等分，連接中心和各分點，然后將每3個相鄰的小三角形拼在一起，就可將正三角形的面積5 等分了（圖略） 。（ 2）先連接正三角形的中心和各頂點，再把正三角形各邊分別m 等分，連接中心和各個分點，然后把每3個相鄰的小三角形拼合在一起，即可把這個正三角形的面積m等分了。理由：每個小三角形的底和高都相等，因此它們的面積都相等，每 3 個拼合在一起的圖形面積當(dāng)然也都相等，即把正三角形的面積m等分。（ 3）先連接正方形的中心和各頂點，然后將正方形各邊m等分，連接中心和各分點，再依次將相鄰的4 個小三角形拼合在一起，這就把這個正方形的面積m等分了。（ 4）連接正n 邊形的中心和各頂點，然后將這個

5、正n 邊形各邊m等分，再依次將n 個相鄰的小三角形拼在一起，這就將這個正n 邊形的面積m等分了。二、操作型探索題例 2. 已知線段 AC 8， BD 6。（ 1）已知線段 AC BD于 O（O不與 A、B、 C、 D四點重合），設(shè)圖 6（ 1）、圖 6（ 2）和圖 6（ 3）中的四邊形ABCD的面積分別為S1、 S2、 S3，則 S1 _ ， S2 _，S3 _；圖 6（ 2）如圖 6（ 4），對于線段 AC與線段 BD垂直相交（垂足 O不與點 A、B、 C、 D 重合）的任意情形，請你就四邊形 ABCD面積的大小提出猜想，并證明你的結(jié)論；（ 3）當(dāng)線段 BD與 AC（或 CA）的延長線垂直相

6、交時，猜想順次連接點A、B、C、D 所圍成的封閉圖形的面積是多少。分析：題（ 1）實際上是將BD沿 AC由下向上移動，計算BC在不同位置時四邊形ABCD的面積，再觀察計算結(jié)果。題（ 2）是 AC沿 BD左右移動，計算四邊形ABCD的面積，再觀察計算結(jié)果。題（3）是在更一般的情況下探索規(guī)律。這種由淺入深的探索方式是中考探索類問題的特點。解：（ 1） 24 24 24（ 2）對于線段 AC與線段 BD垂直相交（垂足 O不與點 A、 C、B、 D 重合）的任意情形，四邊形 ABCD的面積為定值 24。證明如下：顯然， S1AC· OB，S1 AC· OD BCA2DAC2學(xué)習(xí)必備

7、歡迎下載S1 AC·OB1 AC· OD四邊形 ABCD221 AC( OB OD )21 AC·BD 242（ 3）所圍成的封閉圖形的面積仍為 24。三、觀察猜想型探索題例 3. （山西?。┤鐖D 7，正方形 ABCD的邊 CD在正方形 EFGC的邊 CE上，連接 BE、DG。圖 7（ 1）觀察并猜想 BE 與 DG之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（ 2）圖 7 中是否存在通過旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的三角形？若存在，請說明旋轉(zhuǎn)過程；若不存在，說明理由。分析：證明題是直接給出結(jié)論，要求尋找結(jié)論成立的理由，而這一類探索題是題目沒有給出結(jié)論，要求自己下結(jié)論，并證明結(jié)論成立。這

8、就要求有較強的觀察猜想能力。解：（ 1） BE DG，證明如下：在 Rt BCE和 Rt DCG中， BCCD， CECG， BCE DCG。故 BE DG。（ 2）將 Rt BCE繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn) 90°，可與 Rt DCG重合。四、圖形計數(shù)型探索題例 4. 如圖 8，在圖（ 1）中，互不重疊的三角形有4 個，在圖（ 2）中，互不重疊的三角形有7 個，在圖（ 3）中，互不重疊的三角形有10 個，則在圖（n）中互不重疊的三角形有_個（用含n 的代數(shù)式表示） 。圖 8分析：這類圖形計數(shù)型探索題有線段計數(shù)、射線計數(shù)、角計數(shù)等。解這類題首先要通過幾個具體圖形尋找規(guī)律，然后寫出公式，或稱

9、一般表達(dá)式。解題的關(guān)鍵是找規(guī)律。解：圖（ 1）： 1 1× 34；圖（ 2）： 1 2× 3 7；圖（ 3）： 1 3× 310。所以圖（ n）中有 1 3n 個互不重疊的三角形，應(yīng)填3n 1。五、其他類型探索題例 5. 如圖 9，已知 AC、 AB是 O的弦， ABAC。(1)(2)圖 9（ 1）在圖 9（ 1）中，判斷能否在 AB上確定一點 E，使得 AC2AE· AB，并說明理由；學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2）在圖 9（ 2）中，在條件（ 1）的結(jié)論下，延長 EC到 P。連接 PB，如果 PB PE，試判斷 PB 和 O 的位置關(guān)系，并說明理由。分析：一般的探索題是由特殊到一般，探求結(jié)論的普遍性，而這道題是兩個小題互相獨立，只是基本圖形相同。題（ 1）是作出滿足線段關(guān)系式的圖形，題（2）是判斷圖形中的一些線段的相互關(guān)系。解：（ 1）作法有多種，這里舉一例。如圖2AC AE· AB。連接 BC，顯然 A