CAD、CAM應(yīng)用數(shù)第一章

1、目錄 第一章 矢量§1-1 矢量的概念§1-2 矢量的標(biāo)積和矢積§1-3 矢量的多重積§1-4 矢函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 第二章 坐標(biāo)變換§2-1 概述§2-2 點(diǎn)的變換§2-3 圖形的變換§2-4 點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)和平移的聯(lián)合變換§2-5 螺旋運(yùn)動(dòng)§2-6 透視變換§2-7 齊次坐標(biāo)的應(yīng)用 第三章 曲線§3-1平面曲線一、平面曲線的表達(dá)式二、常用的平面曲線三、切線與法線四、曲率與密切圓五、曲線的拐點(diǎn)和奇異點(diǎn)§3-2 空間曲線一、空間曲線的表達(dá)式二、不變量與不變矢量三、曲線論的基本公式

2、 第四章 曲面§4-1 曲面概述一、曲面方程二、常用曲面三、切平面和法線§4-2 曲面的度量性質(zhì)一、曲面的第一基本性質(zhì)二、曲面上二條曲線的夾角§4-3 曲面的曲率一、曲面的第二基本形式二、曲面曲線的法曲率三、默尼埃定理四、主曲率與主方向五、歐拉公式§4-4 可展曲面一、直紋面二、可展曲面§4-5 曲面的其它表達(dá)式一、曲面的隱式方程二、APT中曲面定義 第五章 曲線的擬合與設(shè)計(jì)§5-1 概述§5-2 圓弧擬合§5-3 三次樣條曲線§5-4 參數(shù)曲線§5-5 曲線§5-6 B樣條曲線

3、67;5-7 組合曲線一、曲線組合的條件二、組合的曲線三、組合的三次曲線四、組合的三次B樣條曲線第一章 矢量§1-1 矢量概念一、概述 凡是只有大小的量稱為標(biāo)量或數(shù)量（skalat），時(shí)間、距離、體積等都是標(biāo)量。 凡是既有大小又有方向的量稱為矢量，力、速度、加速度等都是矢量。幾何圖形中的有向線段也是一個(gè)矢量。因此，矢量可以用起點(diǎn)O和終點(diǎn)A的有向線段表示（圖1-1），并記作或用黑體字母a表示。表示矢量大小的數(shù)值稱為矢量的?；蜷L(zhǎng)度，用記號(hào)表示。模等于1的矢量叫做幺矢或單位矢量，即=。矢與矢量的方向一致。僅考慮大小、方向而不考慮作用點(diǎn)的矢量稱為自由矢量，我們所說的矢量都是自由矢量。二、矢量

4、的坐標(biāo)分量在空間直角坐標(biāo)系o-xyz中，x軸、y軸和z軸的正向矢分別記為。在空間坐標(biāo)系中，若有一點(diǎn)A(x,y,z)，則矢徑=記作：=(ax，ay , a z)三、矢量的加法和減法1. 加法：若=(ax，ay , a z)，則 （1-1）加法運(yùn)算適合如下規(guī)律：1. 交換律：=2. 結(jié)合律：2. 減法： （1-2）3. 數(shù)乘：以實(shí)數(shù)m乘矢量 稱為數(shù)乘，記作。 (1-3)四、例題例1-1 在空間直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)P0=，作平行于某個(gè)定矢量的直線，（圖1-3）。求該直線的矢量方程。解：設(shè)直線上定點(diǎn)P0的矢徑為，任意點(diǎn)P的矢徑為：由圖1-3得：因?yàn)槭噶科叫杏诙ㄊ噶?，因此即：式中，m為一參數(shù)，直線上某一

5、點(diǎn)P的位置決定于它的大小。式（1-4）也可以寫成坐標(biāo)分量的形式： (1-5)或 (1-6)這里，如果分母為零，分子也應(yīng)理解為零，上式叫做直線的對(duì)稱方程，§1-2 矢量的標(biāo)積和矢積一、兩個(gè)矢量的標(biāo)積1、定義：設(shè)是矢量之間的夾角，則數(shù)值叫做矢量的標(biāo)積，用表示。 =它等于一個(gè)矢量的模乘以另一矢量的模在它上的投影。如圖1-4。顯然，兩個(gè)矢量的標(biāo)積是個(gè)標(biāo)量，它的大小與這兩個(gè)矢量的模和它們之間的夾角有關(guān)。在空間直角坐標(biāo)系中，幺矢之間存在如下關(guān)系： 2、兩矢量標(biāo)積的運(yùn)算規(guī)律交換律：分配律：結(jié)合律：3、標(biāo)積的分量表示設(shè)，則： (1-8)若或 （1-9）上式是矢量的模的計(jì)算公式。4、二矢量的夾角由式（

6、1-7）（1-9）可以得出二個(gè)矢量的夾角為： (1-10)兩個(gè)矢量相互垂直的條件是：=0或： (1-11)兩個(gè)矢量平行的條件是：=1,或 （1-12）5、例題：例1-2 已知平面上某點(diǎn)Po（或矢量）和平面的法幺矢。求過Po點(diǎn)并與幺矢垂直的平面方程。解：設(shè)平面上動(dòng)點(diǎn)P的矢徑為r，則矢量在該平面上，并與法幺矢垂直（如圖1-5）。根據(jù)矢量的標(biāo)積，得： （1-13） 上式是過Po點(diǎn)的平面方程，其中，d是坐標(biāo)原點(diǎn)到平面的距離。設(shè)平面的法矢為，已知點(diǎn)Po為（1，0，0）和平面上動(dòng)點(diǎn)P的矢徑時(shí)，由式（1-13）和（1-8）得平面方程為： 上式是所求平面的方程式，變量x， y和z都是一次的，平面方程的一般表達(dá)

7、式形式為 其中，A，B和C是該平面的法向方向數(shù)。二、兩矢量的矢積1、定義：在許多機(jī)械和幾何問題中，常要求出一個(gè)垂直于二個(gè)已知矢量和的矢量。設(shè)矢量和之間的夾角為（0180°），則矢量的模為。我們稱矢量叫做矢量和的矢積，記作：=×矢量，和之間符合右手規(guī)則（圖1-6）。在矢量的模的計(jì)算公式的平行四邊形的高，因而矢量的模的數(shù)值等于由矢量和構(gòu)成的平行四邊形的面積。若矢量和是非零矢量，當(dāng)×=0時(shí)，則夾角=0，即矢量和相互平行。在空間直角坐標(biāo)系中，幺矢、之間存在如下關(guān)系：2、兩矢量矢積的運(yùn)算規(guī)律交換律：結(jié)合律：，為數(shù)量。分配律：3、矢積的分量表示設(shè)：則： (1-14)或： （1

8、-15）(注：若，則，所以：)4、例題例1-3：求證正弦定理證：在三角形ABC中（圖1-7），因?yàn)?即：因此 所以： 即：將上式除以，得：這就是三角形的正弦定律§1-3矢量的多重積一、矢量與標(biāo)積之積一個(gè)矢量與一個(gè)標(biāo)積之積是一個(gè)方向與相同，但大小不同的矢量。設(shè)標(biāo)積。二、矢量與矢積之積：在矢量，和中，以其中二個(gè)作矢積，再與另一個(gè)作標(biāo)積，所得結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，稱為這三個(gè)矢量的混合積。例如，或等也常簡(jiǎn)化表示為設(shè)：則：由式（1-8）得 （1-16）根據(jù)行列式的性質(zhì)，可得出： （1-17）從幾何上看，矢量的模是矢量 式中， 是平行六面體的高，所以 （1-18） 從上式看出，混合積的絕對(duì)值等于以矢量

9、為棱的平行六面體的體積。當(dāng)矢量構(gòu)成右手系，即090°時(shí)，混合積是正的。當(dāng)矢量構(gòu)成左手系，即90180°時(shí)，混合積則是負(fù)的。在式（1-17）中，各種形式的混合積的絕對(duì)值都是相同的（都等于平行六面體的體積）。并且，在混合積公式中，若各矢量的次序不變，而把矢積和標(biāo)積的符號(hào)顛倒，混合積的數(shù)值仍然不變。 在混合積中，如果三個(gè)矢量在同一個(gè)平面上，則混合積代表的體積v=0，反過來說，混合積 是三個(gè)矢量共面的條件。三、三矢矢積：三個(gè)矢量作矢積，其結(jié)果也是一個(gè)矢量，稱為三矢矢積。由式（1-14）： （1-20）同理： （1-21）四、兩個(gè)矢積的標(biāo)積：設(shè)，則由式（1-17）和（1-21）得 （

10、1-22）上式叫做拉格郎日公式。它的一個(gè)特例是： （1-23）五、例題例1-4 已知不在同一平面的空間四點(diǎn)：求四面體ABCD的體積(如圖1-9)。 由立體幾何中知道，四面體ABCD的體積V等于以矢量為棱的平行六面之體積的六分之一，因而 §1-4 矢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、矢函數(shù)的求導(dǎo)原則 對(duì)于自變量u(標(biāo)量)的每一個(gè)數(shù)值都有變動(dòng)的矢量的確定量(模和方向都確定的)和它對(duì)應(yīng)，則矢量稱為變量u的矢函數(shù)，記作。因?yàn)槭负瘮?shù)是變量u的函數(shù)，所以，它的模與方向都是變量u的函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中， (1-24)或?qū)懗桑核哪椋?(1-25) 在式(1-24)或(1-25)中，當(dāng)變量u作連續(xù)變化時(shí)，矢函數(shù)的矢端

11、在空間或平面上的軌跡是條曲線。因而，它可以用來表達(dá)空間曲線或平面曲線。 矢函數(shù)的求導(dǎo)原則與公式，可以參考普通函數(shù)的求導(dǎo)原則與公式。如果極限存在，就稱它為矢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，記作。矢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為矢函數(shù)，因而又稱導(dǎo)矢。若式(1-24)中的x(u)，y(u)和z(u)，在u=u0時(shí)存在，我們定義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 （1-26）上式是矢端曲線的切線矢量。它的正向是指向參數(shù)u增大的方向。所以，矢函數(shù)某點(diǎn)的切線方向也就是該點(diǎn)導(dǎo)矢的方向。對(duì)矢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)繼續(xù)求導(dǎo)，可得二階，三階等高價(jià)導(dǎo)數(shù)： (1-27)對(duì)于任意函數(shù)，以及非矢函數(shù)，它們的求導(dǎo)公式如下： (1-28) (1-29) (1-30) (1-31) (1-32)（標(biāo)積中各矢量的順序可以交換） (1-33)（矢積中各矢量的順序不可交換） (1-34)（混合積中各矢量的順序不可交換）對(duì)于復(fù)合矢函數(shù) (1-35)對(duì)于有二個(gè)變量u和的矢函數(shù)，它的偏導(dǎo)數(shù)的求法如下：設(shè)則：對(duì)于幺矢，因?yàn)?，于是所以?(1-36) 上式說明，幺矢和它的導(dǎo)數(shù)是二個(gè)相互垂直的矢量。例1-6 已知圓柱螺旋線的方程為 其中，求：(1) 解：例1-7 已知矢函數(shù)和求：解：或者用另一種方法求解（