p316-349_講稿

1、第六章 空間群與晶體能帶復(fù)習(xí)：§6.3 平移群的不可約表示不可約表示的求出平移群T1是一個N1階的阿貝爾群。（1）群元的不可約表示由 ，有得到 其中 稱為波矢量，是平移群不可約表示的記號；給出群元的N1個不可約表示。（2）群元的不可約表示（3）群元的不可約表示則不可約表示矩陣其中 是波矢量，給出群元的N=N1N2N3個不可約表示。布里淵區(qū)倒格矢 對于 ，由于所以，與等價。只需由布里淵區(qū)內(nèi)的波矢，就可得到平移群的全部不可約表示。平移群不可約表示矩陣元的正交性（1）群元的不可約表示矩陣元當(dāng)時，當(dāng)時，這是一個等比級數(shù)的N1項(xiàng)和，有即 （2）群元的不可約表示矩陣元同理可證平移群不可約表示基函

2、數(shù)的性質(zhì)（1）平移群不可約表示的基函數(shù)平移群群元的不可約表示矩陣元不可約表示的基函數(shù)，記作。又 得到平移群不可約表示基函數(shù)的性質(zhì)或 稱為Bloch函數(shù)。記 可證 即Bloch函數(shù)是周期調(diào)幅的平面波。（2）周期場中電子的能量本征函數(shù)由于 ，所以，平移群T是薛定諤方程的（子）群。復(fù)習(xí)：p242 定理一 H的具有相同本征值的本征函數(shù)，構(gòu)成薛定諤方程群T的一個表示的基函數(shù)。本征函數(shù)構(gòu)成（就是）平移群不可約表示的基函數(shù)，即即周期場中電子的能量本征函數(shù)是Bloch函數(shù)。§6.4 簡單空間群的不可約表示晶體中電子的能量本征方程目的：通過哈密頓算符群的不可約表示，分析能量本征值即能帶的特征。

3、7;6.4.1 波矢群與波矢星對于空間群G的點(diǎn)群G0，有 或 波矢群：所有滿足的群元的集合。記作，是G0的子群。波矢星：由得到的不等價波矢的集合，稱為波矢星（或稱k星）。例如：正方形晶格的波矢正方形晶格的點(diǎn)群，波矢群 ，波矢星的 點(diǎn)群G0按波矢群作陪集分解或記作（6.4-3）波矢群的階與波矢星中波矢的數(shù)目，滿足例題：二維正方格子空間群的波矢群與波矢星。解：正方格子空間群的點(diǎn)群是（1）一般點(diǎn)：，（2）軸： ，（3）BZ邊界：，（4）M點(diǎn)： ，一般點(diǎn)、對稱點(diǎn)、對稱軸、對稱面。 E(k) k, 又例（a）簡立方晶格的BZ（p353）（b）體心立方晶體體心立方晶格的倒格子是面心立方BZ是菱形十二面體B

4、Z中的對稱點(diǎn)、對稱軸、對稱面。（c）面心立方晶體BZ是截角八面體BZ中的對稱點(diǎn)、對稱軸、對稱面。作業(yè)30：習(xí)題1（p.417）作業(yè)31：習(xí)題4（p.417）§6.4.2 有關(guān)簡單空間群不可約表示的定理定理一若 ，是波矢群的第p個維的不可約表示，則空間群G的一個維的不可約幺正表示為其中，是陪集代表元的點(diǎn)操作， 。簡單空間群G的全部不可約表示，都可以從波矢群的全部不等價不可約表示求出。證明：（略）例題：求空間群及的不可約表示。（1）的不可約表示 對于點(diǎn)： ，有在點(diǎn)，空間群的不可約表示，與點(diǎn)群Oh的不可約表示相同，有10個。 一般點(diǎn)：，有其中；48維。L點(diǎn)：L點(diǎn)的波矢群；空間群的維的不可約

5、表示中，；。波矢星（）：波矢群有6個不可約表示，維數(shù)： = 1、1、1、1、2、2空間群對應(yīng)的6個不可約表示維數(shù) = 4、4、4、4、8、8對稱性越低的波矢點(diǎn)，空間群不可約表示的維數(shù)越大。例如，一般點(diǎn)；48維。下面具體討論L點(diǎn)的幾種情況：的4個不可約表示的空間群表示對于，簡化為其中；維。恒等表示對應(yīng)的空間群表示其中；維。時，群元的表示矩陣由于，非零矩陣元滿足只有的4個非零矩陣元即 空間群的不可約表示矩陣是一個4維的對角矩陣。時，群元的表示矩陣其中，非零矩陣元滿足只有4個非零矩陣元（D3d群中的2度軸）即 空間群的不可約表示矩陣是一個4維矩陣。其中，對應(yīng)4個一維表示。對于的恒等表示，得到時，群元

6、的表示矩陣具體討論群元的表示矩陣其中，非零矩陣元滿足只有的矩陣元非零其中，。表示矩陣是一個8維對角矩陣。8個非零矩陣元為以及群元的表示矩陣是一個8維矩陣。(p.333)其中非零矩陣元滿足（2）二維正方格子空間群的不可約表示空間群的維的不可約表示的矩陣元為首先討論一般點(diǎn)波矢群：，；波矢星：。波矢群只有1個恒等表示。上式簡化為 （*）這是維的不可約么正表示。下面討論具體群元的表示矩陣：一般點(diǎn)空間群的矩陣元的不可約表示矩陣：這是的具體情況，有只有的矩陣元非零其中一般點(diǎn)矩陣元不可約表示矩陣：對于群元，（p.323），滿足要求時，即，或由群表可知：，只有這8個非零元。即一般點(diǎn)群元的表示矩陣元對于群元為非

7、零元為其中這是一個8維的不可約表示矩陣，對應(yīng)于一般點(diǎn)的是8重簡并的。再討論軸上的點(diǎn)：(p.335)（略）定理二設(shè)函數(shù)集構(gòu)成波矢群的維的不可約表示的基函數(shù)。空間群G的不可約表示的基函數(shù)為 （6.4-9）構(gòu)成維的不可約表示。§6.5 非簡單空間群的不可約表示（簡介）非簡單空間群G，不是平移群T與其點(diǎn)群G0的半直積群。§6.5.1 波矢群與波矢星對于空間群G的點(diǎn)群G0，有 或 波矢群：所有滿足的群元的集合，記作。（注意：不是點(diǎn)群）比較：簡單空間群波矢群是G0的子群。再定義波矢點(diǎn)群，是非簡單空間群G的點(diǎn)群G0的子群。階 如果非簡單空間群 與 簡單空間群具有相同的布拉伐格子，則它們具有相同形狀的布里淵區(qū)。波矢星： 將非簡單空間群G，按波矢群做陪集展開其中。個不等價波矢的集合，稱為波矢星。§6.5.2 非簡單空間群的不可約表示定理一設(shè)是簡約布里淵區(qū)中的波矢量，是非簡單空間群G按波矢群做陪集展開的陪集代表元，。令是波矢群的一個維的不可約幺正表示，這個表示滿足（6.5-5）那么，必相應(yīng)存在非簡單空間群G的一個維的不可約幺正表示，矩陣元為式中 ， 。該式給出了非簡