上海市徐匯區(qū)2016屆高三第一學(xué)期學(xué)習(xí)能力診斷數(shù)學(xué)理試題

1、2015學(xué)年第一學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷卷高三數(shù)學(xué)理科試卷 2016.1一 填空題：(本題滿分56分，每小題4分)1設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_2方程的解是_ 3設(shè)，則數(shù)列的各項(xiàng)和為_4函數(shù)的最小值為_5若函數(shù)的圖像與對數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則的解析式為_6若函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_7若，且，則的最小值是_8若三條直線和相交于一點(diǎn)，則行列式的值為_9展開后各項(xiàng)系數(shù)的和等于_10已知四面體的外接球球心在棱上，則、兩點(diǎn)在四面體的外接球上的球面距離是_11已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則這樣的集合最多有 _個(gè)12正四面體的四個(gè)面上分別寫有數(shù)字0,1,2,3

2、把兩個(gè)這樣的四面體拋在桌面上，則露在外面的6個(gè)數(shù)字之和恰好是9的概率為_13設(shè)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，若是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，則=_ 14 已知O是銳角的外心，若則實(shí)數(shù)_二 選擇題：（本題滿分20分，每小題5分）15已知向量與不平行，且，則下列結(jié)論中正確的是-（ ）A 向量與垂直 B 向量與垂直 C 向量與垂直 D 向量與平行16設(shè)為實(shí)數(shù)，則“”是“”的-（ ）A 充分不必要條件 B必要不充分條件C 充分必要條件 D既不充分也不必要條件17設(shè)、均是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的實(shí)部大于，虛部不小于，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的點(diǎn)集用陰影表示為下圖中的-（ ）18設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋魧τ谌我?、，?dāng)時(shí)，恒有，則稱

3、點(diǎn)為函數(shù)圖像的對稱中心研究函數(shù)的某一個(gè)對稱中心，并利用對稱中心的上述定義，可得到的值為-（ ）A B C D 三 解答題：（本大題共5題，滿分74分）19（本題滿分12分）在三棱錐中，且 .求證并求三棱錐的體積20（本題滿分14分；第（1）小題分，第（2）小題分）已知實(shí)數(shù)滿足且（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求的最大值和最小值，并求此時(shí)的值21（本題滿分14分；第（1）小題分，第（2）小題分）節(jié)能環(huán)保日益受到人們的重視，水污染治理也已成為“十三五”規(guī)劃的重要議題.某地有三家工廠，分別位于矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)、及的中點(diǎn)處，km，km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界），且與、等距離的一

4、點(diǎn)處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道、.設(shè)（弧度），排污管道的總長度為km（1） 將表示為的函數(shù)；（2） 試確定點(diǎn)的位置，使鋪設(shè)的排污管道的總長度最短，并求總長度的最短公里數(shù)（精確到0.01 km）22（本題滿分16分；第（1）小題3分，第（2）小題6分，第（2）小題7分）給定數(shù)列，記該數(shù)列前項(xiàng)中的最大項(xiàng)為，即；該數(shù)列后項(xiàng)中的最小項(xiàng)為，即；（1）對于數(shù)列：3,4,7,1，求出相應(yīng)的（2）若是數(shù)列的前項(xiàng)和，且對任意有其中為實(shí)數(shù)，且設(shè)證明數(shù)列是等比數(shù)列；若數(shù)列對應(yīng)的滿足對任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍23（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（3）小題9分）已知直線

5、、與曲線分別相交于點(diǎn)、和、，我們將四邊形稱為曲線的內(nèi)接四邊形（1） 若直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，求的值；（2） 若直線與圓分別交于點(diǎn)、和、，求證：四邊形為正方形；（3） 求證：橢圓的內(nèi)接正方形有且只有一個(gè)，并求該內(nèi)接正方形的面積2015學(xué)年第一學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷卷 數(shù)學(xué)學(xué)科（理科）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2016.1三 填空題：(本題滿分56分，每小題4分) 3 45 6 716 80 928 10 119 12 13 14二選擇題：（本題滿分20分，每小題5分）15A1617A18四 解答題：（本大題共5題，滿分74分）19（本題滿分12分）解：因?yàn)椋?所以平面,所以.又.所以平面

6、.故.-6分在中，,所以.-8分又在中，,所以.-10分又因?yàn)槠矫?所以.-12分20（本題滿分14分；第（1）小題6分，第（2）小題8分）解：（1）設(shè)，則上式化為，即，-6分（2）因?yàn)椋?10分當(dāng)，即時(shí)，-12分當(dāng)或，即或時(shí)，-14分21（本題滿分16分；第（1）小題6分，第（2）小題8分）解：（1）由已知得，即（其中）-6分（2）記，則，則有，解得或-10分由于，所以，當(dāng)，即點(diǎn)在中垂線上離點(diǎn)距離為km處,取得最小值（km）-14分22（本題滿分16分；第（1）小題3分，第（2）小題6分，第（2）小題7分）解：（1）-3分（2）當(dāng)時(shí)，所以-4分當(dāng)時(shí)，兩式相減得所以 又所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)、為

7、公比的等比數(shù)列.-9分由知： ；又，由于所以由推得所以對任意的正整數(shù)恒成立.-13分因?yàn)樗?14分由，得，但且，所以解得，所以-16分23（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（3）小題9分）解：（1）由于直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，所以，在等腰直角中，圓心到直線的距離為，同理，-4分（2）由題知，直線關(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)閳A的圓心為原點(diǎn)，所以，故四邊形為平行四邊形.易知，點(diǎn)在對角線上.聯(lián)立解得，由得，所以，于是，因?yàn)椋运倪呅螢檎叫?-9分（3） 證明：假設(shè)橢圓存在內(nèi)接正方形，其四個(gè)頂點(diǎn)為.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線、的方程為，因?yàn)樵跈E圓上，所以，由四邊形為正方形，易知，直線、的方程為，正方形的面積.-12分當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線、的方程分別為，顯然.設(shè)，聯(lián)立得，所以代人，得，同理可得，因?yàn)闉檎叫?，所以解得因?yàn)?，所以，因此，直線與直線關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以原點(diǎn)為正方形的中心（由知，四邊形為平行四邊形）