五邑大學,近代物理,物理數(shù)學,quantum_statistics

1、2021-11-16121量子統(tǒng)計法量子統(tǒng)計法2021-11-16122內(nèi)能的統(tǒng)計表達式考慮一個量子系統(tǒng)，并假定總粒子數(shù)是可以改變的：考慮一個量子系統(tǒng)，并假定總粒子數(shù)是可以改變的：iNN1eiiiiie1eiie1lniie1lniie1ln巨配分函數(shù)巨配分函數(shù)ln由此得到內(nèi)能的統(tǒng)計表達式：由此得到內(nèi)能的統(tǒng)計表達式：iiNU1eiiiiiiie1eiie1lnln2021-11-16123熵的統(tǒng)計表達式外界對系統(tǒng)的廣義力的統(tǒng)計表達式：外界對系統(tǒng)的廣義力的統(tǒng)計表達式：yNYii1eiiiyln1y由此得到壓強的統(tǒng)計表達式：由此得到壓強的統(tǒng)計表達式：ln1Vp由于粒子數(shù)可變，基本熱力學方程必須改寫

2、成這樣：由于粒子數(shù)可變，基本熱力學方程必須改寫成這樣：NyYUTSddd1d 是粒子的化學勢是粒子的化學勢lnlnlndklnlnlnkS引入化學勢后，引入化學勢后，量子分布改寫成量子分布改寫成1ekTiiiN2021-11-16124熵的全微分NyYUTSddd1dklndyydlnlndlndkdlnyydlnlnddln熵變是全微分熵變是全微分lnlnlndk2021-11-16125用積分代替求和考慮一個粒子數(shù)固定考慮一個粒子數(shù)固定不變的玻色系統(tǒng)：不變的玻色系統(tǒng)：1ekTiiiN00i宏觀約束條件宏觀約束條件iNN取基態(tài)能級為能量零點：取基態(tài)能級為能量零點：000假定系統(tǒng)中的粒子是近獨

3、立的：假定系統(tǒng)中的粒子是近獨立的：mp22利用能態(tài)密度的概念將求和轉(zhuǎn)化成積分：利用能態(tài)密度的概念將求和轉(zhuǎn)化成積分： dgid22233mhV宏觀約束條件變成：宏觀約束條件變成：1ed22233kTmhVN這一項使基這一項使基態(tài)能級對積態(tài)能級對積分沒有貢獻分沒有貢獻積分式只體現(xiàn)非零能級。積分式只體現(xiàn)非零能級。宏觀約束條件不能簡單地用積分代替求和，宏觀約束條件不能簡單地用積分代替求和，必須將基態(tài)能級的粒子數(shù)必須將基態(tài)能級的粒子數(shù)單獨提取出來，對非單獨提取出來，對非零能級求和則用積分代替零能級求和則用積分代替 1ed222330kTmhVTNN2021-11-16126玻色愛因斯坦凝聚當系統(tǒng)的溫度較

4、高時，所有粒子都分布在較高的能級，當系統(tǒng)的溫度較高時，所有粒子都分布在較高的能級，基態(tài)能級沒有粒子：基態(tài)能級沒有粒子：0,TNN1ed22233kTmhV當溫度下降時，基態(tài)能級仍然沒有粒子，當溫度下降時，基態(tài)能級仍然沒有粒子，0,TN保持不變，這要求化學勢隨之增加。保持不變，這要求化學勢隨之增加?；瘜W勢總是小于零，這導致它的最大值等于零?；瘜W勢總是小于零，這導致它的最大值等于零。于是，當溫度下降到某個臨界溫度于是，當溫度下降到某個臨界溫度Tc 時，時， 0cT如果溫度繼續(xù)下降，化學勢將保持不變，如果溫度繼續(xù)下降，化學勢將保持不變，0,TN不能再保持不變，基態(tài)能級開始填充粒子：不能再保持不變，基

5、態(tài)能級開始填充粒子： 00TN當溫度下降到某個臨界值以下時，宏觀數(shù)量的玻色子開當溫度下降到某個臨界值以下時，宏觀數(shù)量的玻色子開始逐漸占據(jù)基態(tài)能級。系統(tǒng)的某些物理性質(zhì)發(fā)生突變。始逐漸占據(jù)基態(tài)能級。系統(tǒng)的某些物理性質(zhì)發(fā)生突變。玻色愛因斯坦凝聚2021-11-16127玻色愛因斯坦凝聚的臨界條件當系統(tǒng)的溫度下降到臨界溫度時，化學勢等于零，而非當系統(tǒng)的溫度下降到臨界溫度時，化學勢等于零，而非零能級上的粒子總數(shù)還未開始改變：零能級上的粒子總數(shù)還未開始改變： cTNN 1ed22233ckTmhV2332612. 2cmkThV由此得到玻色由此得到玻色愛因斯坦凝愛因斯坦凝聚的臨界溫度聚的臨界溫度(凝聚溫度

6、凝聚溫度)：mkhnTc2612. 2232實現(xiàn)玻色實現(xiàn)玻色愛因斯坦凝聚的條件是：愛因斯坦凝聚的條件是：cTT 由此得出在確定溫度下實現(xiàn)凝聚由此得出在確定溫度下實現(xiàn)凝聚所必須的粒子數(shù)密度所必須的粒子數(shù)密度(臨界密度臨界密度)2332612. 2mkThnccnn 定義粒子的熱德布羅意波長定義粒子的熱德布羅意波長212mkTh實現(xiàn)凝聚的兩個條件統(tǒng)一寫成：實現(xiàn)凝聚的兩個條件統(tǒng)一寫成：612. 23n2021-11-16128自由電子氣系統(tǒng)在固態(tài)金屬中，價電子脫離原子，在整塊金屬中運動，在固態(tài)金屬中，價電子脫離原子，在整塊金屬中運動，可以近似地被當做自由電子，形成自由電子氣?？梢越频乇划斪鲎杂呻娮?/p>

7、，形成自由電子氣。按能量均分定理，每個電子應(yīng)對熱容貢獻按能量均分定理，每個電子應(yīng)對熱容貢獻 3kT/2 ，而自，而自由電子的數(shù)目與原子相當，對熱容本應(yīng)有可觀的貢獻。由電子的數(shù)目與原子相當，對熱容本應(yīng)有可觀的貢獻。實驗發(fā)現(xiàn)，除了在極低溫下，自由電子對金屬熱容的貢實驗發(fā)現(xiàn)，除了在極低溫下，自由電子對金屬熱容的貢獻可以忽略。這是玻爾茲曼分布無法解決的難題。獻可以忽略。這是玻爾茲曼分布無法解決的難題。要解決金屬的熱容問題，必須考慮電子的量子特性。要解決金屬的熱容問題，必須考慮電子的量子特性?？紤]一個有確定電子數(shù)的自由電子氣系統(tǒng)，處于某個能考慮一個有確定電子數(shù)的自由電子氣系統(tǒng)，處于某個能級的一個量子態(tài)上

8、的平均粒子數(shù)：級的一個量子態(tài)上的平均粒子數(shù)： 1e1kTiiiiNf費米統(tǒng)計分布函數(shù)費米統(tǒng)計分布函數(shù)其中的化學勢被其中的化學勢被稱為費米能級。稱為費米能級。F宏觀約束條件：宏觀約束條件：iiNN jjf對本征態(tài)求和對本征態(tài)求和2021-11-16129絕對零度下的費米函數(shù)當溫度趨于絕對零度時，當溫度趨于絕對零度時，0FF 1e1limK0kTTiFif00 , 0 , 1FiFi f能量小于費米能級的態(tài)被占滿，高于費米能級的態(tài)留空能量小于費米能級的態(tài)被占滿，高于費米能級的態(tài)留空固體中這兩種狀態(tài)在動量空間的分界面叫費米面。固體中這兩種狀態(tài)在動量空間的分界面叫費米面。xpypzp這結(jié)果有明確的物理

9、意義：在絕對零度下，這結(jié)果有明確的物理意義：在絕對零度下，電子按能量最低原則占據(jù)系統(tǒng)的最低能級。電子按能量最低原則占據(jù)系統(tǒng)的最低能級。根據(jù)泡利原理，每個量子態(tài)最多只能容納根據(jù)泡利原理，每個量子態(tài)最多只能容納一個電子，電子從零能級依次填充至費米一個電子，電子從零能級依次填充至費米能級能級由于固體中電子的能級非常密集，可以采用能態(tài)密度函由于固體中電子的能級非常密集，可以采用能態(tài)密度函數(shù)描寫能級的分布。考慮自旋后得到：數(shù)描寫能級的分布?？紤]自旋后得到： d24d233mhVg dfgN2021-11-161210零溫下的費米能級與內(nèi)能于是，當溫度趨于絕對零度時，于是，當溫度趨于絕對零度時， dfgN

10、00233d24FmhV2303238FmhV由此得到費米能級的表達式：由此得到費米能級的表達式：322038nmhF以及費米動量：以及費米動量：31032nhpF fxpypzp系統(tǒng)的內(nèi)能：系統(tǒng)的內(nèi)能： d0fgU0023233d24FmhV0230323853FFmhV053FN053F定義費米溫度：定義費米溫度：0FFkT2021-11-161211有限溫度下的金屬從經(jīng)典上看，絕對零度意味著粒子的從經(jīng)典上看，絕對零度意味著粒子的熱運動被凍結(jié)，這導致電子按最低能熱運動被凍結(jié)，這導致電子按最低能量原則填滿費米能級以下的態(tài)。量原則填滿費米能級以下的態(tài)。 fxpypzp隨著溫度升高，熱運動逐漸加

11、劇，電子有可能躍遷到隨著溫度升高，熱運動逐漸加劇，電子有可能躍遷到費米能級以上的態(tài)，這導致費米能級以下的態(tài)留空。費米能級以上的態(tài)，這導致費米能級以下的態(tài)留空。在金屬內(nèi)部，自由電子的費米能級都在在金屬內(nèi)部，自由電子的費米能級都在10eV的數(shù)量級，對應(yīng)的費米溫度約的數(shù)量級，對應(yīng)的費米溫度約10萬度。萬度。比如在金屬銅內(nèi)部，比如在金屬銅內(nèi)部，329m10n由此算出的費米能級由此算出的費米能級eV7J10180F在室溫下，熱能的作用只能使費米能級附在室溫下，熱能的作用只能使費米能級附近的電子有可能躍遷到費米能級以上。近的電子有可能躍遷到費米能級以上。0FkT于是，只在費米面附近，電子的分布才發(fā)生改變。

12、于是，只在費米面附近，電子的分布才發(fā)生改變。這種改變，即費米面附近的量子態(tài)占據(jù)狀況決定了金這種改變，即費米面附近的量子態(tài)占據(jù)狀況決定了金屬材料的實際物理性質(zhì)。屬材料的實際物理性質(zhì)。2021-11-161212金屬熱容在常溫下，電子的熱能遠小于費在常溫下，電子的熱能遠小于費米能級，可以將費米能級按溫度米能級，可以將費米能級按溫度的函數(shù)展開并只取最低階小量：的函數(shù)展開并只取最低階小量：2020121FFFkT由于熱激活能太低，仍然有大量電子處于基態(tài)。由于熱激活能太低，仍然有大量電子處于基態(tài)。對量子系統(tǒng)而言，粒子的全同性將使系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)對量子系統(tǒng)而言，粒子的全同性將使系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)變小，這導致系統(tǒng)處于某種簡并狀態(tài)。變小，這導致系統(tǒng)處于某種簡并狀態(tài)。費米系統(tǒng)遵從泡利原理，由微觀態(tài)數(shù)減少導致的簡并費米系統(tǒng)遵從泡利原理，由微觀態(tài)數(shù)減少導致的簡并性相當顯著，由此將帶來巨大的簡并壓力。性相當顯著，由此將帶來巨大的簡并壓力。這種壓力能夠