2019-2020年高二數(shù)學(xué)排列二 人教版

1、2019-2020年高二數(shù)學(xué)排列二 人教版一、本講進度 第十章 排列、組合和概率10.2 排列二、主要內(nèi)容1、 排列的概念、表示法、計算公式；2、 與排列數(shù)有關(guān)的計算題、證明題等；3、排列應(yīng)用題：沒有附加條件，有附加條件的三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、排列的定義：從n個不同元素中，任取m（mn）個，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素取出m個元素的排列數(shù)，用符號Anm表示。根據(jù)排列的定義，它有兩個要點：（1）從n個不同元素中任取m個；（2）按照一定順序排成一列。所謂“按照一定的順序排成一列”應(yīng)該理解成是將m個元素

2、放在m個不同的位置上。所以排列定義中的每個要點，可以簡略地稱之為一是元素，二是位置。在確定排列的數(shù)目時，往往要借助于樹圖寫出所有的排列。2、排列數(shù)的計算公式：Anm=n(n-1)(n-2)n-(m-1)，等號右邊是m個連續(xù)的正整數(shù)的積，第一項為n，成遞減趨勢。排列數(shù)的化簡公式：Anm=規(guī)定：0！=1，Anm=n!=n(n-1)(n-2)··2·1排列數(shù)公式的推導(dǎo)過程是分步計數(shù)原理的直接應(yīng)用根據(jù)排列數(shù)的定義，可得到與排列數(shù)有關(guān)的變形公式： = k·k!=(k+1)!-k! 3、排列應(yīng)用主要是解決與實際問題有關(guān)的應(yīng)用題。這類問題從條件出發(fā)，分兩類：一類是沒有

3、附加條件的排列問題；二類是有附加條件的排列問題。有附加條件的排列問題主要有兩種：一是“在與不在”的問題，就是某一個或某幾個元素在或不在某些特殊位置，一是“鄰與不鄰”問題，是指某些元素相鄰或不相鄰的問題，這類總是常用“捆綁法”或“插空法”。解有附加條件 排列問題的基本思路：從元素出發(fā)或從位置出發(fā)稱為“元素分析法”、“位置分析法”。解有附加條件的排列問題的基本方法：一是直接法，先從特殊元素或特殊位置出發(fā)，再考慮非特殊元素及非特殊位置，用分步計數(shù)原理；二是間接法，先不考慮條件限制，求出排列總數(shù)，再求出不滿足條件的排列數(shù)，前者與后者的差即為問題結(jié)論，也可稱這種方法的原理為減法原理。四、典型例題例1、

4、由a1，a2，a7七個元素組成的全排列中（1） a1在首位的有多少種？（2） 前兩個位置上是a1、a2（順序固定）的有多少種？（3） 前兩個位置上是a1、a2（順序不固定）的有多少種？解題思路分析： （1）先滿足特殊元素（a1）與特殊位置（首位），把a1放在首位，有A11種方法；再讓其余6個元素在其余6個位置上作全排列，有A66種方法。這兩個步驟完成以后，就得到所要求的排列。根據(jù)分步計數(shù)原理，有： A11A66=A66種方法 （2）先把a1、a2分別放在第一、二個位置上，滿足a1、a2在前兩個位置上（順序固定），有A11A11種方法；再讓其余5個元素排在其余5個位置上作全排列，有A55種方法

5、共有A11A11A55=A55種方法 （3）先把a1、a2放在前兩個位置上，由于順序不固定，所以有A22種方法，再讓其余5個元素在其余5個位置上作全排列，有A55種方法。 共有A22A55種方法評注：計算Anm時，如果要求某一特殊元素必須放在某一特殊位置，那么先把這個元素放在這個特殊位置，這時元素少了1個，位置也少了1個，則問題轉(zhuǎn)化為求的問題，這種情況可以推廣到某r個元素必須分別在r個特殊位置上，其結(jié)果是。如果特殊的r個元素在特殊的r個位置上，又可以變換位置，在這種情況下，完成這一步驟的方法有Arr種，在這一步完成后，完成第二步有種方法，因此解這類問題的公式是。 例2、由a1，a2，a7七個元

6、素每次取出5個的排列中（1） a1不在首位的有多少種？（2） a1既不在首位，又不在末位的有多少種？（3） a1與a7既不在首位又不在末位的有多少種？（4） a1不在首位，同時a7不在末位的有多少種？解題思路分析： （1）首先滿足特殊元素a1，a1不在首位的排列可以分為兩類：不含a1：此時只需從a1以外的其它6個元素中取出5個放在5個位置上，有A65種；含有a1，a1不在首位的：先從4個位置中選出1個放在a1，再從a1以外的6個元素中選4個排在沒有a1的位置上，共有A41A64種 由分類計數(shù)原理，共有A65+A41A64種法二：把位置作為研究對象，第一步滿足特殊位置（首位），從a1以外的6個元

7、素中選1個排在首位，有A61種方法；第二步，從占據(jù)首位以外的6個元素中選4個排在除首位以外的其它4個位置上，有A64種方法，由分步計數(shù)原理，共有： A61A64種方法法三：間接法，用減法原理：從總的可能情況中減去不符合要求的情況。不考慮a1在首位的要求，總的可能情況有A75種；a1在首位的，有A64種，所以，符合要求的A75-A64種。 （2）把位置作為研究對象，先滿足特殊位置，從a1以外的6個元素中選兩個排在首末兩個位置上，有A62種方法；再從未排上的5個元素中選3個排在中間3個位置上，有A53種方法，由分步計數(shù)原理，有A62A53種方法。 （3）把位置作為研究對象。先從a1、a7以外的5個

8、元素中選兩個排在首末兩個位置，有A52種方法；再從末排上的5個元素選出3個排在中間3個位置上有A53種方法。由分步計數(shù)原理，共有A52A53種方法。 （4）用間接法?？偟目赡芮闆r是A75種，減去a1在首位的A64種，再減去a7在末位的A64種。注意到a1在首位同時a7在末位的情況被減去了兩次，所以還需補回一次A53種，所以結(jié)果是A75-2A64+A53種方法。評注：本題第（1）題給出的三種方法是最常用的，在具體題目中還應(yīng)該選擇適當?shù)姆椒?。因為排列問題對思維的要求很高，所以用不同解法相互檢驗是防止錯誤結(jié)果的行之有效的方法。例3、1，2，3，4，5五個數(shù)字做全排列組成的數(shù)中 （1）1，3，5必須連

9、在一起的有多少個？ （2）2，4不相鄰的有多少個？ （3）2，4必須排在偶數(shù)位上的有多少個？解題思路分析： （1）元素連在一起，先把它們看成一個整體。把1，3，5看成一個整體，加上2，4共3個元素，它們的全排列數(shù)是A33。對于其中的每一個排列，讓彼此相鄰的1，3，5三個元素再做全排列，又有A33種可能，完成這兩個步驟，就得符合要求的數(shù)，所以根據(jù)分步計數(shù)原理，只有A33A33個數(shù)。 （2）先讓1，3，5作全排列，有A33種方法，對其中每一種排法，每兩個數(shù)之間及第1個數(shù)字之前和第末個數(shù)字之后，共有4個位置，讓2，4分別插入這4個位置中的任意兩個，有A42種方法，所以根據(jù)分步計數(shù)原理，共有A33A4

10、2個數(shù)。法二用間接法得A55-A22A44個 （3）第一步把2，4排在偶數(shù)位上，有A22種排法；第二步把1，3，5排在奇數(shù)位上有A33種排法。 共有A22A33個數(shù)評注：第（1）小題的方法稱為“捆綁法”，第（2）小題的方法稱為“插空法”。例4、在3000與8000之間不重復(fù)的奇數(shù)有多少個？解題思路分析：首先弄清結(jié)論要求的數(shù)字含義：（1）在3000與8000之間意思是千位數(shù)字只能取3，4，5，6，7的四位數(shù)；（2）奇數(shù)的意思是個位只能取1，3，5，7或9。其次，根據(jù)首位和末位的要求分析元素之間的關(guān)系，借助于集合符號分類表示如下，其中首尾兩集合集是3，5，7。由圖示，對所求的數(shù)分成兩類：個位上是1

11、或9的；個數(shù)上是3，5或7的。對于第一類：第一步從1，9中選1個放在個位；第二步，從3，4，5，6或7中選1個放在千位，第三步從其余的8個數(shù)字（0，1，2，9中除去已放在個位、千位的2個后剩余的數(shù)字）中任選2個放在首位、十位，根據(jù)分步計數(shù)原理，第一類數(shù)共有A21A51A82個。對于第二類數(shù)，第一步從3，5，7中選1個放在個數(shù)，第二步從3，5，7三個數(shù)字余下的兩個再加上4，6共4個數(shù)字中選1個放在千位，第三步從未放在個位與千位上的其余8個數(shù)字中選2個放在百位和十位，根據(jù)分步計數(shù)原理，第二類數(shù)共有A31A82個。 根據(jù)分類計數(shù)原理，共有A21A51A82+A31A41A82個數(shù)。評注：1、分類、分

12、步的基礎(chǔ)是對元素和位置的分析。用集合的觀點，借助于Veen圖是常用的比較好的一種方法，這樣做使得分類時不重不漏，思考時條理清楚。2、對較復(fù)雜的排列問題，一般這樣思考：先看完成所要求的事件的方法可以不重不漏地分成幾類，根據(jù)加法法則把各類的數(shù)目相加，就得到所要求事件的總數(shù)目；在每一類中，把完成所要求事件的過程分成幾步，根據(jù)分步計數(shù)原理把每步的可能數(shù)相乘，便得到這一類的數(shù)目。計算每一步的可能數(shù)。例5、5名運動員參加100米決賽，如果各人到達終點的順序各不相同，問甲比乙先到達終點的可能有幾種？解題思路分析：法一：將甲到達終點的情況作為分類標準甲第一個到達：乙可以第二、三、四、五名到達，共有N1=A44

13、種甲第二個到達：乙可以第三、四、五名到達，共有N2=A31A33種類似的，甲第三個到達，共有N3=A21A33種甲第四個到達，共有N4=A33種 根據(jù)分類計數(shù)原理，共有N=N1+N2+N3+N4=A44+A31A33+A21A33+A33=60（種）法二：5名運動員到達終點的順序有A55=120（種）而甲先于乙到達和乙先于甲到達的可能性均等 60（種）評注：第二種方法稱為“等可能事件法”。例6、已知，求n解題思路分析：根據(jù)排列數(shù)的計算公式，原方程可以化簡為 (2n+1)(2n)(2n-1)(2n-2)=140n(n-1)(n-2) n3 n(n-1)0 (2n+1)(2n-1)=35(n-2)

14、 n=3或n= nN+ n=3評注：解這類題目時，要注意排列數(shù)Pnm中m、n的取值范圍，如本題中，2n+14且n4，n是自然數(shù)例7、求證：A11+2A22+3A33+nAnn=(n+1)!-1解題思路分析：本題左邊可以看成是數(shù)列的求和問題，根據(jù)右邊的要求，應(yīng)消元化簡分析通項： 1A11=2！-！ 2A22=3！-2！ 3A33=4！-3！ nAnn=(n+1)!-n!將這n個等式左、右兩邊分別相加得: A11+2A22+3A33+nAnn=(n+1)!-1評注：對數(shù)列的通項進行分析是處理數(shù)列問題的重要方法。本題的關(guān)鍵是對n的變形：n=(n+1)-1。根據(jù)不同需要對某些式子作一定變形是解決數(shù)學(xué)問

15、題的基本功。同步練習(xí)（一） 選擇題1、 若aN+，且a20，則(27-a)(28-a)(33-a)(34-a)可表示為A、 B、 C、 D、2、 用1，2，3，9這9個數(shù)字組成數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的個數(shù)是A、 27 B、84 C、504 D、729 3、8個同學(xué)排成一排的排列數(shù)為m，8個同學(xué)排成前后兩排（前排3個，后排5個）的排列數(shù)為n，則m、n的大小關(guān)系是A、m=n B、mn C、mn D、nm2n4、6張同排連號的電影票，分給3名教師和3名學(xué)生，如果師生相間而坐，則不同的方法數(shù)為A、A33A43 B、(A33)2 C、2(A33)2 D、A66-(A33)25、用0，2，4，6，9這五個數(shù)字

16、可以組成數(shù)字不重復(fù)的五位偶數(shù)共有A、72個 B、78個 C、84個 D、384個6、由數(shù)字1，2，3，4，5組成數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)中，小于50000的偶數(shù)有A、 24個 B、36個 C、48個 D、60個7、由0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字組成的數(shù)字不重復(fù)且大于345012的六位數(shù)的個數(shù)是A、245 B、269 C、270 D、3608、已知集合M=a1，a2，a3，P=b1，b2，b6，若M中的不同元素對應(yīng)到P中的像不同，則這樣的的映射共有A、3個 B、20個 C、64個 D、120個9、要排一張有5個獨唱節(jié)目和3個合唱節(jié)目的演出節(jié)目表，如果合唱節(jié)目不排在節(jié)目表的第一個位置上，并且任何兩個

17、合唱節(jié)目不相鄰，則不同的排法總數(shù)是A、A88 B、A55A33 C、A55A53 D、A33A5310、甲、乙、丙、丁、戊五人并排站在一排，如果乙必須站在甲的右邊（甲、乙可以不相鄰），那么不同的排法共有A、24種 B、60種 C、90種 D、120種（二） 填空題11、根據(jù)條件，求x的值（1） Ax5=12Ax3，則x=_。 （2），則x=_。 （3），則x=_。12、7位同學(xué)站成一排，按下列要求，各有多少種不同排法（不求結(jié)果）。（1） 甲站在某一固定位置_。（2） 甲站中間，乙與甲相鄰_。（3） 甲、乙相鄰_。（4） 甲、乙兩人不相鄰 _。（5） 甲、乙、丙三個相鄰_。（6） 甲、乙、丙三人

18、中任何兩人都不相鄰_。（三） 解答題13、3名男生與4名女生排成一排，按下列條件，各有多少種不同排法？（1） 男生按自左至右從高到矮的順序；（2） 男生和女生都分別按自左至右從高到矮的順序；（3） 男生和女生統(tǒng)一按自左至右從高到矮的順序。14、從數(shù)字0，1，3，5，7中取出不同的三個作系數(shù)，可以組成多少個不同的一元二次方程ax2+bx+c=0？其中有實根的方程有多少個？15、用1，2，3，4，5，7這7個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)（1） 如果四位數(shù)必須是偶數(shù)，那么這樣的四位數(shù)有多少個？（2） 如甲組成的四位數(shù)必須大于6500，那么這樣的四位數(shù)有多少個？參考答案（一） 選擇題1、 D。2、B。 A93=504（個）3、A。 m=A88，n=A83A55,4、B。 相間而坐有兩類，師生師生師生，或生師生師生師。每種情況下，教師之間和學(xué)生之間分別交換位置，共有2A33A33種。5、B。 A31 A31 A31+ A41 A33=78個6、B。 抓住首、末兩個特殊位置分析，有A21 A31 A33=36個7、B。 位置分析法，分成四類：第一類，第6位數(shù)字是4，5，有A21 A55個；第二類，第