動(dòng)量守恒和能量守恒4

1、第四章動(dòng)能和勢(shì)能§4.1  能量-另一個(gè)守恒量伽利略最早認(rèn)識(shí)到，在做功中省力不省功。到牛頓時(shí)代，哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家們普遍注意到運(yùn)動(dòng)物體具有某種“功效”，例如運(yùn)動(dòng)的子彈可轉(zhuǎn)鉆入泥土；另外，使物體運(yùn)動(dòng)起來(lái)需要付出代價(jià)。于是涉及按其功效和付出的代價(jià)去描述運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。人類對(duì)能量的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)是自然界一切過(guò)程都必須滿足能量守恒定律, 但滿足能量守恒定律的過(guò)程不一定都能實(shí)現(xiàn)。從經(jīng)典物理學(xué)到現(xiàn)代物理學(xué)，對(duì)能量的認(rèn)識(shí)發(fā)生了巨大的變化.經(jīng)典物理認(rèn)為物體發(fā)出或得到的能量可連續(xù)取值。當(dāng)物理學(xué)研究深入到微觀世界時(shí)，發(fā)現(xiàn)原子光譜為線光譜。這無(wú)法用經(jīng)典電磁學(xué)和力學(xué)用電子繞原子核運(yùn)動(dòng)去解釋，甚至無(wú)法解釋原子的

2、穩(wěn)定性。    1905年，狹義相對(duì)論的出現(xiàn)使大家對(duì)能量的認(rèn)識(shí)發(fā)生另一個(gè)飛躍，即質(zhì)量和能量是等價(jià)的.質(zhì)量m和能量E的關(guān)系式為E=mc²，c為真空中光速, 它表明只要有質(zhì)量m，必有能量E，反之亦然。§4.2力的元功.用線積分表示功一力的元功和功率中學(xué)功的定義：力和在力的方向上的位移的乘積。力是大小和方向不變的恒力；位移沿直線運(yùn)動(dòng)的情況?，F(xiàn)在討論力的大小、方向變化、質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)的情況。1元位移：將質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑分成許多小段，每一段可看成為一方向不變的位移，這小位移稱為元位移。是無(wú)窮小量。小位移和軌跡重合，2元功：力在元位移上的功。定義：元功等于力

3、和元位移的標(biāo)積。數(shù)學(xué)表達(dá)式：； 其中為和的夾角。 力做正功； 力不做功； 力做負(fù)功。3功的單位 SI制中：焦耳（J）：1N的力使受力點(diǎn)沿力的方向移動(dòng)1m做的功等于1焦耳。 厘米克秒制中：爾格（erg）：電子伏ev：1伏 電壓的電場(chǎng)對(duì)電子電荷做的功。 4功的量綱：注意：更換力的作用點(diǎn)不意味受力質(zhì)點(diǎn)位移，力不做功。5 合力做的功：若力、作用于一質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)位移為，合力做的功 結(jié)論：合力做的功等于分力做功的代數(shù)和。6力的瞬時(shí)功率：時(shí)間內(nèi)做功為，則時(shí)間內(nèi)的平均功率：瞬時(shí)功率：時(shí)，平均功率的極限，即 結(jié)結(jié)論：力的功率等于力與受力點(diǎn)的速度的標(biāo)積。 單位：SI中：瓦特（W），1W=1J/s二 元功在不同坐標(biāo)系

4、中的表示 1直角平面坐標(biāo)系： 2平面自然坐標(biāo)： 三力在有限路程上的功 變力沿曲線自做的功： 將路徑分成若干個(gè)元位移，每個(gè)元位移上力為常量，力的元功為： 總功近似為：當(dāng)元位移數(shù)目無(wú)限增多，元位移趨于零，和式的極限即為總功，則 結(jié)論：和式的極限稱為沿曲線自到的線積分a 直角坐標(biāo)系中線積分計(jì)算若質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，則 若力是恒力，力和位移的夾角為，則b自然坐標(biāo)系中線積分計(jì)算：xX0x0X1O例1：如圖所示，彈簧一端固定另一端與一質(zhì)點(diǎn)相連，經(jīng)度系數(shù)為k，求質(zhì)點(diǎn)有彈力做的功。坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于彈簧自由伸長(zhǎng)時(shí)質(zhì)點(diǎn)位置。解：彈力 做負(fù)功，功的數(shù)值如陰影所示。例2馬拉雪橇水平前進(jìn)，自A點(diǎn)延長(zhǎng)為L(zhǎng)的曲線到B點(diǎn)，雪橇對(duì)

5、地面的正壓力為N，摩擦系數(shù)為，求摩擦力做的功。解：取自然坐標(biāo)系，前進(jìn)方向?yàn)樽匀蛔鴺?biāo)增加的方向，則摩擦力做的功為： §4.3質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理一 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式： 質(zhì)點(diǎn)在合力的作用下沿某一曲線運(yùn)動(dòng)， 取自然坐標(biāo)系，則 質(zhì)點(diǎn)的加速度：；質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程：質(zhì)點(diǎn)位移，力做的元功：在曲線運(yùn)動(dòng)中 動(dòng)能：定義物理量叫質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能，用表示，它決定于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和速率，是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的函數(shù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式：內(nèi)容：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分等于作用于質(zhì)點(diǎn)的合力所做的功。2 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式： 或 表示：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的合力所做的功。3動(dòng)能和功的區(qū)別xyzo 動(dòng)能是反

6、映質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的函數(shù)。 功是力和經(jīng)歷位移過(guò)程決定，是過(guò)程量。二 質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功 質(zhì)點(diǎn)1和質(zhì)點(diǎn)2相對(duì)參考點(diǎn)O的位置矢量分別是和，1對(duì)2和2對(duì)1的作用力分別是、且 ，1和2的位移分別是和這對(duì)相互作用力元功之和：質(zhì)點(diǎn)2相對(duì)1的位移：質(zhì)點(diǎn)2相對(duì)1的位置矢量： 表示：二質(zhì)點(diǎn)相互作用力所做元功的代數(shù)和等于作用于其中一質(zhì)點(diǎn)的力與該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于另一質(zhì)點(diǎn)元位移的標(biāo)積。這一對(duì)力的功僅決定于力和質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位移。三 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，作用于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的合力的功分別是，。每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的初動(dòng)能、末動(dòng)能為：、 ，2， 對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)： ， 對(duì)一切質(zhì)點(diǎn)取和： 作用質(zhì)點(diǎn)系的一切力做的功包括：一切

7、外力做的功和一切內(nèi)力做的功所以質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：表示：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量在數(shù)值上等于一切外力所做的功和一切內(nèi)力所做的功的代數(shù)和。§4.4 保守力和非保守力 勢(shì)能一力場(chǎng)： 質(zhì)點(diǎn)所受的力一般和位置、速度和時(shí)間有關(guān) 1場(chǎng)力：若質(zhì)點(diǎn)所受的力僅與質(zhì)點(diǎn)的位置有關(guān)，即：，這種力叫場(chǎng)力。如：重力、彈簧彈力、靜電力。2力場(chǎng)：存在場(chǎng)力的空間叫力場(chǎng)。3 兩類典型且簡(jiǎn)單的場(chǎng)力： 均勻力場(chǎng)中的力是常量：如不太大范圍內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)受的重力不變；勻強(qiáng)電場(chǎng)中，帶電粒子受到的電場(chǎng)力。 有心力：質(zhì)點(diǎn)所受力的作用線總通過(guò)一點(diǎn)，這種力叫有心力。這一點(diǎn)叫力心。如：在點(diǎn)電荷形成的電場(chǎng)中，帶電離子受到的力；一端固定的彈簧的彈力。xyab

8、co二 保守力和非保守力1重力做功的特點(diǎn) 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)自經(jīng)曲線acb重力做的功：特點(diǎn)：重力做功僅決定于質(zhì)點(diǎn)的始末位置，與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)。推理：凡均勻力場(chǎng)做功均有此性質(zhì)。om2 一端固定的彈簧彈力做功的特點(diǎn)建立如圖的坐標(biāo)系：彈簧自由端所處的位置為坐標(biāo)的原點(diǎn)，彈簧拉長(zhǎng)了x，質(zhì)點(diǎn)受到的彈力： 。質(zhì)點(diǎn)m從運(yùn)動(dòng)到彈力做的功：qr特點(diǎn)：彈力做功僅和受力質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，和經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)。3 靜電場(chǎng)力做功的特點(diǎn) 在電荷q的電場(chǎng)中，電荷Q從靜電場(chǎng)力做的功 特點(diǎn)：靜電場(chǎng)力做功僅和受力質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，和經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)。4 保守力：若力做的功僅由受力質(zhì)點(diǎn)的始末位置決定而和其經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)，或者說(shuō)此力沿閉

9、合路徑所做的功等于零，這種力叫保守力。如重力、彈簧的彈力、靜電力、萬(wàn)有引力。5非保守力： 若力做的功不僅決定于受力質(zhì)點(diǎn)的始末位置，而且和其經(jīng)過(guò)的路徑有關(guān)，或者說(shuō)此力沿閉合路徑所做的功不等于零，這種力叫非保守力。如摩擦力。非保守力又叫耗散力。三 勢(shì)能 1勢(shì)能的定義：保守力做功僅決定于受力質(zhì)點(diǎn)始末位置，所以可以找到一個(gè)位置函數(shù)，并使這個(gè)函數(shù)在始末位置的增量恰好決定于受力質(zhì)點(diǎn)從初始位置達(dá)到終止位置時(shí)保守力做的功，這個(gè)函數(shù)叫函數(shù)。、：質(zhì)點(diǎn)處、末位置的勢(shì)能； ：受力質(zhì)點(diǎn)從初始位置達(dá)到終止位置時(shí)保守力做的功定義：即：勢(shì)能的增量等于保守力做功的負(fù)值。若：> 0，保守力做正功，則勢(shì)能減少；&l

10、t;0，保守力做負(fù)功，則勢(shì)能增加。2 某一位置的勢(shì)能 勢(shì)能零點(diǎn)：勢(shì)能等于零的空間點(diǎn)。是人為規(guī)定的。如：重力勢(shì)能的零點(diǎn)常取地面。點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中的勢(shì)能零點(diǎn)取無(wú)窮遠(yuǎn)。若保守力做功的起點(diǎn)為勢(shì)能的零點(diǎn)，即，終點(diǎn)的勢(shì)能 即：某一位置的勢(shì)能在數(shù)值上等于從勢(shì)能的零點(diǎn)到此位置保守力做功的負(fù)值。某一位置的：重力勢(shì)能 電勢(shì)能 彈力勢(shì)能：注意：（1）某位置勢(shì)能的數(shù)值和勢(shì)能零點(diǎn)的選擇有關(guān)；勢(shì)能的增量和勢(shì)能零點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。 （2）勢(shì)能和質(zhì)點(diǎn)間的保守力相聯(lián)系，故勢(shì)能屬于以保守力相互作用的質(zhì)點(diǎn)系。§4.5功能原理和機(jī)械能守恒定律一 質(zhì)點(diǎn)系的功能原理 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理： 內(nèi)力：包括保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力； 質(zhì)點(diǎn)系的功能

11、原理：質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于一切外力和一切非保守內(nèi)力所做功的代數(shù)和。說(shuō)明：（1）只有外力和非保守內(nèi)力才會(huì)引起機(jī)械能的改變。 （2）保守內(nèi)力做功所起的作用：引起質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的改變，不引起質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的改變，僅動(dòng)能和勢(shì)能轉(zhuǎn)化。所以，應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，左方計(jì)入了，右方不能考慮相應(yīng)勢(shì)能。應(yīng)用功能原理時(shí)，右方計(jì)入了勢(shì)能，左方不能計(jì)入 （3）功能原理和動(dòng)能定理無(wú)本質(zhì)區(qū)別，區(qū)別僅在于功能原理考慮勢(shì)能，而不在考慮保守內(nèi)力做的功，這也正是此原理的優(yōu)點(diǎn)。二 質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能守恒定律 機(jī)械能守恒的系統(tǒng)叫保守系統(tǒng)。 表述：再一過(guò)程中若外力不做功之，又每一對(duì)非保守內(nèi)力也不做功，則質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能守恒。 數(shù)學(xué)表達(dá)式：，則 ， 即

12、 恒量 說(shuō)明：每一對(duì)非保守內(nèi)力不做功，并非要求成對(duì)的非保守內(nèi)力中每個(gè)力都不做功，只要求每一對(duì)非保守內(nèi)力做功的代數(shù)和為零。如在阿特伍德機(jī)中，繩子的拉力對(duì)下落的物體作負(fù)功，對(duì)上升的物體做正功，這一對(duì)非保守內(nèi)力都做功，但做功之和等于零。例題：一輕彈簧與質(zhì)量為和的兩物體聯(lián)結(jié)，如圖所示，至少用多大的力向下壓才能在此力撤除后彈簧把下面的物體帶離地面？yO解：建立如圖的坐標(biāo)系o-y，原點(diǎn)取在彈簧自由伸長(zhǎng)時(shí)上端的位置：受重力和彈簧支持力平衡時(shí)的高度：壓縮彈簧停止的高度：剛好被提起時(shí)的高度：看作質(zhì)點(diǎn)并當(dāng)作隔離體，受力如圖所示當(dāng)剛被提起時(shí)=0；則 y軸的投影式： （1）：視做質(zhì)點(diǎn)并當(dāng)作隔離體，受力如圖所示 時(shí)受力

13、： y軸的投影式： （2） 時(shí)受力向下，但靜止。撤去，從到，機(jī)械能守恒，此過(guò)程只有保守內(nèi)力和重力做功。坐標(biāo)原點(diǎn)為重力勢(shì)能和彈力勢(shì)能的零點(diǎn)。則： （3）聯(lián)立解以上三個(gè)方程得：§4.6 對(duì)心碰撞一 碰撞的兩個(gè)特點(diǎn) 1碰撞的短暫時(shí)間內(nèi)相互作用力很強(qiáng)，外界影響可不考慮，動(dòng)量守恒。 2 碰撞前后狀態(tài)變化突然且明顯。二 碰撞的分類 1按碰撞前后總動(dòng)能是否變化分為：完全彈性碰撞：碰撞前后總動(dòng)能保持不變。非完全彈性碰撞：碰撞后兩物體的總動(dòng)能小于碰撞前的總動(dòng)能完全非彈性碰撞：碰撞后兩物體合成一體，總動(dòng)能損失最大。 2按碰撞前后兩物體的運(yùn)動(dòng)方向分為：對(duì)心碰撞 也叫正碰：碰撞前后兩質(zhì)點(diǎn)都沿連心線運(yùn)動(dòng)非對(duì)心

14、碰撞 也叫斜碰：兩質(zhì)點(diǎn)不沿連心線運(yùn)動(dòng)而發(fā)生的碰撞三 關(guān)于對(duì)心碰撞的基本公式：質(zhì)量為和的兩質(zhì)點(diǎn)可看成質(zhì)點(diǎn)系，碰前的速度分別是和，碰后的速度分別是和，則：若取x軸和速度平行，投影方程： （1）碰前接近時(shí)的相對(duì)速度：； 碰后分離時(shí)的相對(duì)速度：恢復(fù)系數(shù)： （2）聯(lián)立解（1）、（2）得： 四 完全彈性碰撞 查德威克發(fā)現(xiàn)中子 當(dāng) e=1時(shí)，則 （1） 由 得： （2）（1） 乘以（2）得：可見(jiàn)：碰撞前后質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)能保持不變，是完全彈性碰撞。解 得：；幾種特殊情況：1 = 得 ，即兩質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)碰撞而交換速度。 特例：當(dāng)時(shí)，則 ，。即碰撞靜止的，結(jié)果會(huì)突然靜止，而按的速度前進(jìn)，的動(dòng)能完全轉(zhuǎn)變?yōu)榈膭?dòng)能。2 且，即

15、質(zhì)量很小的質(zhì)點(diǎn)碰撞質(zhì)量很大的靜止質(zhì)點(diǎn)，則：， 因 ，所以 意味：重質(zhì)點(diǎn)仍然不動(dòng)而輕球以原速率彈回。如乒乓球碰鉛球。3 且，即質(zhì)量很重的質(zhì)點(diǎn)碰撞質(zhì)量很小的靜止質(zhì)點(diǎn) 因，所以， 表明：重質(zhì)點(diǎn)幾乎以原速度前進(jìn)，而靜止的輕質(zhì)點(diǎn)則以2倍于重質(zhì)點(diǎn)的速率前進(jìn)。 如：鉛球碰皮球。 查德威克發(fā)現(xiàn)中子1940年博脫和約里奧居里夫人發(fā)現(xiàn)：釙發(fā)射的粒子打在鈹上能打出中性輻射，中性輻射能從石蠟中打出質(zhì)子。他們認(rèn)為中性輻射是射線。查德威克預(yù)言是不帶電、質(zhì)量和質(zhì)子差不多的“中子”。實(shí)驗(yàn)結(jié)果：這種中性輻射從石蠟上打出質(zhì)子速率，從一些輕元素打出氮核速率，求中子的質(zhì)量。解：設(shè)中子、質(zhì)子和氮原子的質(zhì)量分別為m、；碰前其速度分別為、0、0， 碰后中子的速度分別是、，質(zhì)子和氮核分別為、 中子氮原子系：； 中子質(zhì)子系：； 解得： ； 則 代入數(shù)值得：考慮到速度誤差10%，認(rèn)為中子質(zhì)量是中子質(zhì)量的1.0061.008倍。五 完全非彈性碰撞當(dāng)e=0時(shí)，則，即兩質(zhì)點(diǎn)碰后并不分開(kāi)，以同一速度運(yùn)動(dòng)，因此是完全非彈性碰撞，這時(shí)動(dòng)能不守恒，損失最大。僅有動(dòng)量守