高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧方法總結(jié)

1、 圓錐曲線1.圓錐曲線的兩定義：第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點f，f的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時，軌跡是線段ff，當(dāng)常數(shù)小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點f，f的距離的差的絕對值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|ff|，定義中的“絕對值”與|ff|不可忽視。若|ff|，則軌跡是以f，f為端點的兩條射線，若|ff|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如方程表示的曲線是_（答：雙曲線的左支）2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點）在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸時的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）：（1）橢圓：焦點在軸上時（），焦點在軸上時1（

2、）。方程表示橢圓的充要條件是什么？（abc0，且a，b，c同號，ab）。 若，且，則的最大值是_，的最小值是_（答：）（2）雙曲線：焦點在軸上： =1，焦點在軸上：1（）。方程表示雙曲線的充要條件是什么？（abc0，且a，b異號）。如設(shè)中心在坐標(biāo)原點，焦點、在坐標(biāo)軸上，離心率的雙曲線c過點，則c的方程為_（答：）（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的坐標(biāo)軸上。如已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_（答：）（2）雙曲線：由,項系數(shù)的正負(fù)決定，焦點在系數(shù)為

3、正的坐標(biāo)軸上；（3）拋物線：焦點在一次項的坐標(biāo)軸上，一次項的符號決定開口方向。提醒：在橢圓中，最大，在雙曲線中，最大，。4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。如（1）若橢圓的離心率，則的值是_（答：3或）；（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為_（答：）（2）雙曲線（以（）為例）：范圍：或；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸

4、長為2，虛軸長為2，特別地，當(dāng)實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；兩條漸近線：。（3）拋物線（以為例）：范圍：；焦點：一個焦點，其中的幾何意義是：焦點到準(zhǔn)線的距離；對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線； 離心率：，拋物線。如設(shè)，則拋物線的焦點坐標(biāo)為_（答：）；5、點和橢圓（）的關(guān)系：（1）點在橢圓外；（2）點在橢圓上1；（3）點在橢圓內(nèi)6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）相交：直線與橢圓相交； 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行

5、時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；（2）過雙曲線1外

6、一點的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：p點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；p點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；p在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；p為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。7、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）問題： ，當(dāng)即為短軸端點時，的最大值為bc；對于雙曲線。 如 （1）短軸長為，

7、8、拋物線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；（2）設(shè)ab為焦點弦， m為準(zhǔn)線與x軸的交點，則amfbmf；（3）設(shè)ab為焦點弦，a、b在準(zhǔn)線上的射影分別為a，b，若p為ab的中點，則papb；（4）若ao的延長線交準(zhǔn)線于c，則bc平行于x軸，反之，若過b點平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于c點，則a，o，c三點共線。9、 弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點a、b，且分別為a、b的橫坐標(biāo)，則，若分別為a、b的縱坐標(biāo)，則，若弦ab所在直線方程設(shè)為，則。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第

8、二定義求解。拋物線：10、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；弦所在直線的方程： 垂直平分線的方程：在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=。提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗！11了解下列結(jié)論（1）雙曲線的漸近線方程為；（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數(shù)，0）。（3）中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為；（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為，焦準(zhǔn)距（焦點到相應(yīng)

9、準(zhǔn)線的距離）為，拋物線的通徑為，焦準(zhǔn)距為； （5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；（6）若拋物線的焦點弦為ab，則；（7）若oa、ob是過拋物線頂點o的兩條互相垂直的弦，則直線ab恒經(jīng)過定點12、解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：（1） 給出直線的方向向量或；（2）給出與相交,等于已知過的中點;（3）給出,等于已知是的中點;（4）給出,等于已知與的中點三點共線;（5） 給出以下情形之一：；存在實數(shù)；若存在實數(shù),等于已知三點共線.（6） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角,（8）給出,等于已知是的平分線/（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱

10、形;（10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；（12） 在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；（14）在中，給出等于已知通過的內(nèi)心；（15）在中，給出等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點）； （16） 在中，給出,等于已知是中邊的中線; （3）已知a,b為拋物線x2=2py(p>0)上異于原點的兩點，點c坐標(biāo)為（0，2p）（1）求證：a,b

11、,c三點共線； （2）若（）且試求點m的軌跡方程。（1）證明：設(shè)，由得，又，即a,b,c三點共線。（2） 由（1）知直線ab過定點c，又由及（）知omab，垂足為m，所以點m的軌跡為以oc為直徑的圓，除去坐標(biāo)原點。即點m的軌跡方程為x2+(y-p)2=p2(x¹0，y¹0)。13.圓錐曲線中線段的最值問題：例1、(1)拋物線c:y2=4x上一點p到點a(3,4)與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點 p的坐標(biāo)為_ (2)拋物線c: y2=4x上一點q到點b(4,1)與到焦點f的距離和最小,則點q的坐標(biāo)為 。分析：（1）a在拋物線外，如圖，連pf，則，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a、p、f三點共線時，

12、距離和最小。（2） b在拋物線內(nèi)，如圖，作qrl交于r，則當(dāng)b、q、r三點共線時，距離和最小。 解：（1）（2，）（2）（）1、已知橢圓c1的方程為，雙曲線c2的左、右焦點分別為c1的左、右頂點，而c2的左、右頂點分別是c1的左、右焦點。 (1) 求雙曲線c2的方程； (2) 若直線l：與橢圓c1及雙曲線c2恒有兩個不同的交點，且l與c2的兩個交點a和b滿足(其中o為原點)，求k的取值范圍。解：（）設(shè)雙曲線c2的方程為，則故c2的方程為（ii）將由直線l與橢圓c1恒有兩個不同的交點得即 .由直線l與雙曲線c2恒有兩個不同的交點a，b得 解此不等式得 由、得故k的取值范圍為在平面直角坐標(biāo)系xoy

13、中，已知點a(0,-1)，b點在直線y = -3上，m點滿足mb/oa， maab = mbba，m點的軌跡為曲線c。（）求c的方程；（）p為c上的動點，l為c在p點處得切線，求o點到l距離的最小值。()設(shè)m(x,y),由已知得b(x,-3),a(0,-1).所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由愿意得知（+） =0,即（-x,-4-2y） (x,-2)=0.所以曲線c的方程式為y=x-2. ()設(shè)p(x,y)為曲線c：y=x-2上一點，因為y=x,所以的斜率為x因此直線的方程為，即。則o點到的距離.又，所以當(dāng)=0時取等號，所以o點到距離的最

14、小值為2.設(shè)雙曲線（a0,b0）的漸近線與拋物線y=x2 +1相切，則該雙曲線的離心率等于( )設(shè)雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的離心率為( ). 過橢圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為（ ）已知雙曲線的左、右焦點分別是、，其一條漸近線方程為，點在雙曲線上.則·( )0已知直線與拋物線相交于兩點，為的焦點，若，則( )已知直線和直線，拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是（ ）設(shè)已知拋物線c的頂點在坐標(biāo)原點，焦點為f(1，0)，直線l與拋物線c相交于a，b兩點。若ab的中點為（2，2），則直線l的方程為_.橢圓的焦點為，點p在橢圓上，若，則 ；的大小為 .過拋物線的焦點f作傾斜角