高中數(shù)學立體幾何知識點總結及例題(下)

1、n(5)兩平面平行的判定n定義：如果兩個平面沒有公共點，那么這兩個平面平行，即無公共點.n如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行，即若a,b，ab=p,a,b,則.n垂直于同一直線的兩平面平行.即若a,a,則.n平行于同一平面的兩平面平行.即若,則.n一個平面內的兩條直線分別平行于另一平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行，即若a,b,c,d,ab=p,ac,bd,則.例1、n7、正方體abcda1b1c1d1中(1)求證：平面a1bd平面b1d1c；n (2)若e、f分別是aa1，cc1的中點，求證：平面eb1d1平面fbda1ab1bc1cd1dgef例2、n1

2、0、如圖，在正方體 abcda1b1c1d1 中，e、f、g分別是ab、ad、c1d1的中點.n求證：平面d1ef平面bdg.n(6)兩平面垂直的判定n定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個平面互相垂直，即二面角a=90.n如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直，即若l,l，則.n一個平面垂直于兩個平行平面中的一個，也垂直于另一個.即若，則. 例3、n已知四棱錐pabcd，底面abcd是菱形， n 平面abcd，pd=ad，n點e為ab中點，點f為pd中點.n （1）證明平面ped平面pab；pddab,60例4、n在四面體中在四面體中abcd， ，且

3、，且e、f分別是分別是ab、bd的中點，的中點，n（）求證：直線）求證：直線ef/面面acdn（ii）求證：面）求證：面efc面面bcdbcafdebdadcdcb ,六、直線在平面內的判定n(1)利用公理1：一直線上不重合的兩點在平面內，則這條直線在平面內.n(2)若兩個平面互相垂直，則經(jīng)過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內，即若,a，ab，則ab.n(3)過一點和一條已知直線垂直的所有直線，都在過此點而垂直于已知直線的平面內，即若aa,ab，a,b，則a.n(4)過平面外一點和該平面平行的直線，都在過此點而與該平面平行的平面內，即若p，p，pa,a，則a.n(5)如果一

4、條直線與一個平面平行，那么過這個平面內一點與這條直線平行的直線必在這個平面內，即若a,a，ab,ba,則b.七、存在性和唯一性定理n(1)過直線外一點與這條直線平行的直線有且只有一條；n(2)過一點與已知平面垂直的直線有且只有一條；n(3)過平面外一點與這個平面平行的平面有且只有一個；n(4)與兩條異面直線都垂直相交的直線有且只有一條；n(5)過一點與已知直線垂直的平面有且只有一個；n(6)過平面的一條斜線且與該平面垂直的平面有且只有一個；n(7)過兩條異面直線中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個；n(8)過兩條互相垂直的異面直線中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個.九、射影及有關性質

5、n(1)點在平面上的射影自一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面上的射影，點的射影還是點.n(2)直線在平面上的射影自直線上的兩個點向平面引垂線，過兩垂足的直線叫做直線在這平面上的射影.n和射影面垂直的直線的射影是一個點；不與射影面垂直的直線的射影是一條直線.n(3)圖形在平面上的射影一個平面圖形上所有的點在一個平面上的射影的集合叫做這個平面圖形在該平面上的射影.n當圖形所在平面與射影面垂直時，射影是一條線段；n當圖形所在平面不與射影面垂直時，射影仍是一個圖形.n(4)射影的有關性質n從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中：n(i)射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；n(

6、ii)相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；n(iii)垂線段比任何一條斜線段都短.高考題練習n1（本小題滿分12分）n如圖：已知直三棱柱abca1b1c1，abac，f為棱bb1上一點，bf fb12 1，bfbc2a。n（i）若d為bc的中點，e為ad上不同于a、d的任意一點，證明effc1；n2.在棱長為4的正方體abcd-a1b1c1d1中，o是正方形a1b1c1d1的中心，點p在棱cc1上，且cc1=4cp.n設o點在平面d1ap上的射影是h，求證：d1hap； b1pacda1c1d1bohn3如圖，在四棱錐 中，底面abcd是正方形，側棱 底面abcd， ，e是pc的

7、中點， 作 交pb于點f。 (i)證明 平面 edb ； (ii)證明 平面efd； n4、如圖，在棱長為1的正方體abcda1b1c1d1中，點e是棱bc的中點，點f是棱cd上的動點.n（i）試確定點f的位置，使得d1e平面ab1f；n5、已知長方體abcda1b1c1d1中，ab=bc=4，aa1=8，e、f分別為ad和cc1的中點，o1為下底面正方形的中心。n （）證明：af平面fd1b1；abdca1d1c1b1efo1hn6、04（19）如圖，已知正方形）如圖，已知正方形abcd和矩和矩形形acef所在的平面互相垂直，所在的平面互相垂直，n ab=根號根號2，af=1，m是線段是線段

8、ef的中點的中點.n（）求證）求證am平面平面bde；n（ii）求證）求證am平面平面bdf；n7、06（17）如圖，在四棱錐）如圖，在四棱錐 中，中， 底面為直角梯形，底面為直角梯形， n， 底底 面面abcd，且，且 n ，m、n分別為分別為pc,pb的中點的中點.n() 求證求證 ； abcdp 90,/badbcadpabcabadpa2 dmpb n8、07（20） 在如圖所示的幾何體中，在如圖所示的幾何體中， 平面平面abc， 平面平面abc， ，且且 ，n m是是ab的中點的中點n（i）求證）求證 ： ； ea dbbcac aebdbcac2 emcm aedcbmn9、08(

9、20)如圖如圖,矩形矩形abcd和梯形和梯形befc所所在平面互相垂直，在平面互相垂直，be/cf，n角角bcf=角角cef=90度度,ad=根號根號3,ef=2。n（）求證：）求證：ae/平面平面dcf；abcdef預測題定向提高練習n預測（預測（1） 線面平行線面平行+線面垂直線面垂直n已知線段已知線段 矩形矩形abcd所在平面，所在平面，m、n分別是分別是ab,pc的中點。的中點。n（）求證：）求證： 平面平面pad；n（ii）當）當 時，求證：時，求證： 平面平面pcd。 pa/mn45pda mnpncambdn預測（預測（2） 線面平行線面平行+線面垂直線面垂直n如圖，已知正三棱柱

10、如圖，已知正三棱柱 中，中， ，點，點d為為 a1c1 的中的中點。（點。（）求證：）求證： 平面平面ab1d；n（ii）求證：）求證： 平面平面ab1d。/1bc ca1111cbaabc 12aaab c1b1a1dcabn預測預測(3) 線線垂直線線垂直+線面平行線面平行n如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐 中，中， n（）求證：）求證： ；n（ii）試在線段）試在線段pb上找一點上找一點m，使，使 平面平面pad，并說明理由。，并說明理由。abcdp .,21,/pcbcabdcadabadabcd bcpa/cmpdcban預測（預測（4） 線面垂直線面垂直+線面平行線面平行+線面角線面角n如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐 中，底面中，底面abcd是正方形，側面是正方形，側面 底面底面 abcd ， ，且，且pd與底面與底面abcd 所所成的角為成的角為45度。度。n（）求證：