夯實四基,培養(yǎng)四能(4月2日丁國忠老師在全省小數(shù)教學大賽中講座課件)

1、夯實四基，培養(yǎng)四能 例談數(shù)學新課標理念的落實人民教育出版社小學數(shù)學室 丁國忠關于數(shù)學課程目標夯實四基基本知識、基本技能過去的“雙基”通常是指：數(shù)學的基本概念、基本公式、基本運算、基本性質(zhì)、基本法則、基本程式、基本定理、基本作圖、基本推理、基本語言、基本方法、基本操作、基本技巧，等等。在“知識爆炸”的時代，對于過去數(shù)學“雙基”的某些內(nèi)容，如繁雜的計算、細枝末節(jié)的證明技巧等，需要有所刪減；而對于估算、算法、數(shù)感、符號意識、收集和處理數(shù)據(jù)、概率初步、統(tǒng)計初步、數(shù)學建模初步等，又要有所增加。數(shù)學的基本思想由“數(shù)學抽象的思想”派生出來的可以有：分類的思想，集合的思想，“變中有不變”的思想，符號表示的思想

2、，對應的思想，有限與無限的思想，等等。由“數(shù)學推理的思想”派生出來的可以有：歸納的思想，演繹的思想，公理化思想，數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)換化歸的思想，聯(lián)想類比的思想，逐步逼近的思想，運籌的思想，代換的思想，特殊與一般的思想，等等。由“數(shù)學建模的思想”派生出來的可以有：簡化的思想，量化的思想，函數(shù)的思想，方程的思想，優(yōu)化的思想，隨機的思想，統(tǒng)計的思想，等等。由“數(shù)學審美的思想”派生出來的可以有：簡潔的思想，對稱的思想，統(tǒng)一的思想，和諧的思想，以簡馭繁的思想，“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的思想，等等。 重大而關鍵的問題是活的血液，是推動數(shù)學發(fā)展的重要動力源泉。 希爾伯特？發(fā)現(xiàn)和提出問題嘗試一下：假如，從A島出發(fā)，

3、過橋1到B，過橋2回到A，過橋6到C，過橋7回到A，過橋4到D。此時，若選擇橋3，要回到A，必然要經(jīng)過橋1和橋2中的其中一座。若選擇橋5，要回到A，必然要經(jīng)過橋6和橋7中的其中一座。都不能滿足“每座橋都只許通過一次并且回到起始地點”的要求。不管選擇A、B、C、D中哪個地點作為起點，人們都無法找到一條符合條件的行走路線。經(jīng)過無數(shù)次失敗的嘗試之后，人們開始懷疑這樣一條路線的存在性，可又無法證明它的不存在性。在數(shù)學的探究過程中，嘗試錯誤是人們最常使用的方法之一，往往也是最先使用的策略。當人們面對一個全新的問題時，如果找不到一個現(xiàn)成的解決方案，經(jīng)常會把各種可能的途徑都嘗試一遍。雖然試誤的過程看起來比較

4、低效，但有時卻是最有意義的策略。一些便捷、高效的數(shù)學方法往往是在試誤的基礎上逐步提煉出來的。1234567每一塊陸地的大小、形狀以及在每一塊陸地內(nèi)部如何行走，都與解決問題無關。點與點之間的連接線的長短與曲直也與解決問題無關?！案缒崴贡て邩騿栴}”就轉(zhuǎn)化為“從A、B、C、D中的任一點出發(fā)，能否既不重復也不遺漏地把每一條線都走過一遍，并最終回到起點？” 1234567數(shù)學抽象、數(shù)學模型的思想數(shù)學推理的思想（歸納、演繹）：具體問題一般化、通過解決一般性問題來解決特殊問題數(shù)學模型的思想：從七橋問題到一筆畫問題數(shù)學審美的思想：所以一筆畫問題都可用此法解決 歐拉把這樣的點與線的組合稱為一個圖，把A、B、C、

5、D稱為圖的頂點，把連接頂點的線段或曲線稱為圖的邊。他注意到，一筆畫成一個圖的情況只有兩類。第一類，起點和終點不重合，與起點相連的只有一條出來的邊，與終點相連的只有一條進去的邊，而對其他各個頂點而言，如果有進去的邊，就必須有出來的邊，否則就不能滿足“走過的路線不能重復”這一條件。第二類，起點和終點重合，在這種情況下，與每個頂點相連的邊都必須是偶數(shù)條。為此，歐拉提出了奇點和偶點的概念，即與奇數(shù)條邊相連的頂點稱為奇點，與偶數(shù)條邊相連的點稱為偶點。在此基礎上，歐拉得出了關于一筆畫的結(jié)論，即可以一筆畫成的圖，或者沒有奇點（起點與終點重合的情況），或者只有兩個奇點（起點與終點不重合的情況）。除此之外，沒有

6、其他可能性。 在得出這一結(jié)論以后，“哥尼斯堡七橋問題”就迎刃而解了。分析和解決問題論文哥尼斯堡七橋問題，直接開創(chuàng)了一個新的數(shù)學分支圖論 圖論在解決運籌學、網(wǎng)絡理論、信息論、控制論、博弈論及計算機科學等各個領域的問題時，發(fā)揮出越來越重要的作用。 圖論中的“圖”并不僅僅是指幾何中的圖，而可泛指現(xiàn)實生活、生產(chǎn)活動以及科學研究中各種事物之間的關系。用點表示事物，用點之間的連線表示事物之間的某種關系，這樣，點與點之間的若干條連線就構(gòu)成了圖。事實上，任何一個包含了某種二元關系的系統(tǒng)都可以用圖來模擬。促進了另一個幾何學分支拓撲學的發(fā)展 拓撲學研究的是幾何圖形在連續(xù)改變形狀時還能保持不變的一些特性，它只考慮物

7、體間的位置關系而不考慮它們的距離和大小。七橋問題帶來的數(shù)學學科的發(fā)展 歐拉解決“哥尼斯堡七橋問題”，并不僅僅是解決了生活中的一個實際問題那么簡單，他跨出了數(shù)學發(fā)展史上革命性的一大步?，F(xiàn)實問題為數(shù)學家提供了思考與探索的動力和源泉，而數(shù)學家對現(xiàn)實問題的研究又推動著數(shù)學不斷往前發(fā)展，成為解決新的現(xiàn)實問題的有力工具。如此不斷往復，才有了今天數(shù)學科學的輝煌成就。河岸小島模型的應用一一對應思想一班8面紅旗，二班比一班多4面，二班多少面？ 一班88面紅旗，二班比一班多44面，二班多少面？和一班同樣多的88面一班有88面比一班多44面數(shù)學的抽象25個點80個點n個點：1+2+3+4+（n-1）n個點：21+2

8、+3+4+（n-1）(n-1)n2)1（nn【數(shù)學課本五大奇人】第五名：勻速行駛、從不晚點的勞?；疖囁緳C；第四名：分工明確、合作默契的良心甲乙包工頭；第三名：一邊注水、一邊放水的瘋狂泳池管理員；第二名：把母雞和兔子裝進一個籠子的變態(tài)老農(nóng)；第一名：早早出門、卻故意放慢腳步，只等哥哥趕上的傲嬌小明。數(shù)學的基本活動經(jīng)驗十位十位個位個位“四基”不應僅僅看作是四個事物簡單的疊加或混合，而應是一個有機的整體，是互相聯(lián)系、互相促進的。培養(yǎng)四能從大綱到2001年課標到2011年修訂版的變化大綱（試用修訂版）2001年課標2011年修訂版課標內(nèi)容領域數(shù)與計算量與計量幾何初步知識統(tǒng)計初步知識代數(shù)初步知識比和比例應

9、用題實踐活動數(shù)與代數(shù)空間與圖形統(tǒng)計與概率實踐與綜合應用數(shù)與代數(shù)圖形與幾何統(tǒng)計與概率綜合與實踐一、總目標 第2條 體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。問題解決初步學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力。獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識。學會與他人合作交流。初步形成評價與反思的意識。2011年修訂版課標對“問題解決”的界定第一學段第二學段一班8面紅旗，比二班多4面，二班多少面？8+4=12（面）到

10、底誰多？閱讀與理解回顧與反思四下 過去：以封閉性問題、常規(guī)性問題、演繹性問題居多。曹飛羽（1994）：適當出一些開放性的題目，適當出一些探索規(guī)律性的題目，適當出一些非常規(guī)的題目。封閉性問題開放性問題常規(guī)性問題探索性問題實際問題純數(shù)學問題簡單問題綜合問題經(jīng)典問題緊跟時代的問題 覆蓋的范圍大大擴展三下：兩位數(shù)乘兩位數(shù)一下：找規(guī)律五下：長方體和正方體五下：因數(shù)和倍數(shù)三上：測量三上：長方形和正方形三下：四則運算四下：數(shù)學廣角雞兔同籠二上：表內(nèi)乘法（二）一下：100以內(nèi)數(shù)的認識一下：100以內(nèi)數(shù)的加減法二下：有余數(shù)除法五上：簡易方程六上：分數(shù)除法培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力提出問題比解決問題更重要，

11、因為解決問題也許是一個數(shù)學上或?qū)嶒炆系募寄芏?，而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，卻需要創(chuàng)造性的想象力，而且標志著科學的真正進步。 愛因斯坦發(fā)現(xiàn)問題、提出問題應貫穿于問題解決的整個過程。問題已知信息未知信息（問題）已知信息未知信息（問題）-六上：圓 圓的外切正方形面積是4r2。 外切正方形與圓之間的面積是0.86r2。 內(nèi)接正方形的面積是2r2。 圓與內(nèi)接正方形之間的面積是1.14r2。 外切正方形的面積是內(nèi)接正方形面積的2倍。 外切正方形與內(nèi)接正方形之間的面積正好是和內(nèi)接正方形面積相等，都是2r2。為什么鐘面、量角器的刻度要這樣設計？這個礦泉水瓶的容積是多少？六下：圓柱與圓

12、錐7次珠子顆數(shù) 3 4移動次數(shù) 7 15 在貝拿勒斯的圣廟里，安放著一個黃銅板，板上插著三根寶石針。每根針像韭菜葉那樣粗細。印度神梵天在創(chuàng)造世界的時候，在其中一根針上從下到上放下了由大到小的64個金片，這就是所謂的梵塔。 不論白天黑夜，都有一個值班的僧侶把這些金片在三根針上移來移去：一次只能移一片，并且要求不管在哪根針上，小片永遠在大片的上面。當所有的64片都從梵天創(chuàng)造世界時所放的那根針上移到另外一根針上時，世界就將在一聲霹靂中消滅，梵塔、廟宇和眾生都將同歸于盡。珠子顆數(shù) 1 2 3 4移動次數(shù) 1 3 7 15珠子顆數(shù) 1 2 3 4移動次數(shù) 1 3 7 1512+132+172+122-1222-1 2222-1珠子顆數(shù) 1 2 3 4 5 6移動次數(shù) 1 3 7 15 ？ ？2222=2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 10242222=2222222222222222222222