小學(xué)尖子生訓(xùn)練之-容斥原理之重疊問題(一)模塊練習(xí)(含答案)

1、7- 7-1容斥原理之重疊問題（一）.題庫教師版page 12 of 7教學(xué)目標(biāo)1. 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2. 掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用.一、兩量重疊問題在一些計(jì)數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)，不能簡單地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè)數(shù)，用式子可表示成： AJB=A+BAp|B（其中符號(hào)“”讀作并”，相當(dāng)于中文 和”或者 或”的意思；符號(hào) “ 讀作 交”，相當(dāng)于中文 且”的意思.）則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理圖示如下：A表示小圓部分，B表示大圓部分，

2、 C表示大圓與小圓的公共部分，記為： A"B，即陰影面積圖示如下：A表示小圓 部分，B表示大圓部分， C表示大圓與小圓的公共部分，記為： A"B，即陰影面積.1. 先包含一一A+B重疊部分A"B計(jì)算了 2次，多加了 1次；2. 再排除一一A + BAB把多加了 1次的重疊部分 aP）B減去.包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合A B的并集AUB的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：第一步：分別計(jì)算集合 A B的元素個(gè)數(shù)，然后加起來，即先求A B（意思是把 A B的一切元素都 包含”進(jìn)來，加在一起）;第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去c=aDb（意思是 排除

3、”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)）4V1.先包含：重疊部分2 再排除：重疊部分、三量重疊問題A類、B類與C類元素個(gè)數(shù)的總和A類元素的個(gè)數(shù) B類元素個(gè)數(shù) C類元素個(gè)數(shù)-既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)-既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)-既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)同時(shí)是A類、B類、C類的元素個(gè)數(shù).用付號(hào)表示為：aUB Jc=ab c-aDb-bc-ac ADBnc .圖示如下:圖中小圓表示 A的元素的個(gè)數(shù)，中圓表示 B的元素的個(gè)數(shù), 大圓表示C的元素的個(gè)數(shù).ABCA“B、BC、C"A重疊了 2次，多加了 1次.A B C - A“B - B“C - A"a" bPI C重疊了 3次，但是在

4、進(jìn)行 A B C -aDb B PlC A de計(jì)算時(shí)都被減掉了.包含： A +B +C A“B BC Ade +A門 bQ£J在解答有關(guān)包含排除問題時(shí)，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來幫助分析思考.:L例題精講兩量重疊冋題【例1】小明喜歡：踢足球、上網(wǎng)、游泳、音樂、語文、數(shù)學(xué)；小英喜歡：數(shù)學(xué)、英語、音樂、陶藝、跳繩。用圓A、圓B分別表示小明、小英的愛好，如圖所示，則圖中陰影部分表示【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】1星【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第 3題 【解析】陰影部分是兩人都愛好的：數(shù)學(xué)、音樂【答案】數(shù)學(xué)、音樂【例2】 四（1）班全體同學(xué)站成一排，當(dāng)從左向右報(bào)數(shù)時(shí)，小華報(bào): 那么該

5、班有學(xué)生名?！究键c(diǎn)】兩量重疊問題【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第2題【解析】該班學(xué)生人數(shù)為：18 73-1=30 （名）?！敬鸢浮?0名18;當(dāng)從右向左報(bào)數(shù)時(shí)，小華報(bào)：13.【例3】實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年級(jí)二班，參加語文興趣小組的有 28人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有 29人，有12人兩個(gè)小 組都參加這個(gè)班有多少人參加了語文或數(shù)學(xué)興趣小組？【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】1星【題型】解答【解析】如圖所示，A圓表示參加語文興趣小組的人，B圓表示參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，A與B重合的部分C （陰影部分）表示同時(shí)參加兩個(gè)小組的人圖中A圓不含陰影的部分表示只參加語文興趣小組未參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，有

6、 28-12=16（人）;圖中B圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參 加語文興趣小組的人，有 29-12=17（人）方法一：由此得到參加語文或數(shù)學(xué)興趣小組的有：16*12 *17=45（人）方法二：根據(jù)包含排除法，直接可得：參加語文或數(shù)學(xué)興趣小組的人=參加語文興趣小組的人 +參加數(shù)學(xué)興趣小組的人 -兩個(gè)小組都參加的人，即：28 +2912 = 45（人）【答案】45人【鞏固】芳草地小學(xué)四年級(jí)有 58人學(xué)鋼琴，43人學(xué)畫畫，37人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫，問只學(xué)鋼琴和只學(xué)畫畫 的分別有多少人？【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】1星【題型】解答【解析】 解包含與排除題，畫圖是一種很直觀、簡捷的方法，可以幫

7、助解決問題，畫圖時(shí)注意把不同的對象與不同的區(qū)域?qū)?yīng)清楚建議教師幫助學(xué)生畫圖分析，清楚的分析每一部分的含義.如圖，A圓表示學(xué)畫畫的人， B圓表示學(xué)鋼琴的人，C表示既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫的人，圖中A圓不含陰影的部分表示只學(xué)畫畫的人，有：4337=6（人），圖中B圓不含陰影的部分表示只學(xué)鋼琴的人，有：5837 =21（人）【答案】21人【鞏固】四（二）班有48名學(xué)生，在一節(jié)自習(xí)課上，寫完語文作業(yè)的有30人，寫完數(shù)學(xué)作業(yè)的有 20人，語文數(shù)學(xué)都沒寫完的有 6人.問語文數(shù)學(xué)都寫完的有多少人？ 只寫完語文作業(yè)的有多少人？【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】1星【題型】解答【解析】 由題意，有48 -6 =42（人）至少

8、完成了一科作業(yè)，根據(jù)包含排除原理，兩科作業(yè)都完成的學(xué)生有：30 20 -42=8（人） 只寫完語文作業(yè)的人數(shù) 二寫完語文作業(yè)的人數(shù)-語文數(shù)學(xué)都寫完的人數(shù)，即 30-8 =22（人） 【答案】22人【鞏固】四（1）班有46人，其中會(huì)彈鋼琴的有 30人，會(huì)拉小提琴的有 28人，則這個(gè)班既會(huì)彈鋼琴又會(huì)拉 小提琴的至少有人?！究键c(diǎn)】兩量重疊問題【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第6題【解析】 至少一項(xiàng)不會(huì)的最多有（46-30）+（46-28）=34,那么兩項(xiàng)都會(huì)的至少有 46-34=12人【答案】12人【例4】 如圖，圓A表示1到50這50個(gè)自然數(shù)中能被 3整除的數(shù)，圓B表示這5

9、0個(gè)數(shù)中能被5整除的數(shù), 則陰影部分表示的數(shù)是 ?！究键c(diǎn)】兩量重疊問題【難度】1星【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第4題【解析】陰影部分是A和B共有的，即1到50這50個(gè)自然數(shù)中能被 35= 15整除的數(shù)，即15, 30, 45【答案】15 , 30 , 45【例5】 學(xué)校為了豐富學(xué)生的課余生活，組建了乒乓球俱樂部和籃球俱樂部，同學(xué)們踴躍報(bào)名參加，其中有321人報(bào)名參加乒乓球俱樂部，429人報(bào)名參加了籃球俱樂部，但學(xué)校最后發(fā)現(xiàn)有50人既報(bào)名參加了乒乓球俱樂部，又報(bào)名參加了籃球俱樂部，還有23人什么俱樂部都沒報(bào)名，問該學(xué)校共有名學(xué)生.【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯

10、，4年級(jí)，第5題【解析】321 429 -50 23 =723人【答案】723人【例6】 某班共有46人，參加美術(shù)小組的有 12人，參加音樂小組的有 23人，有5人兩個(gè)小組都參加了 這 個(gè)班既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的有多少人？【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】1星【題型】解答【解析】已知全班總?cè)藬?shù)，從反面思考，找出參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)，只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個(gè)人數(shù)， 就得到既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的人數(shù)根據(jù)包含排除法知，該班至少參加了一個(gè)小組 的總?cè)藬?shù)為12+23-5=30 （人）.所以，該班未參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)是46-30 = 16（人）【答案】16人 【鞏固】四年級(jí)一班

11、有45人，其中26人參加了數(shù)學(xué)競賽，22人參加了作文比賽，12人兩項(xiàng)比賽都參加了.班有多少人兩項(xiàng)比賽都沒有參加？【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】1星【題型】解答【解析】由包含排除法可知，至少參加一項(xiàng)比賽的人數(shù)是：26 22 _12 =36（人），所以，兩項(xiàng)比賽都沒有參加的人數(shù)為：4536 =9（人）【答案】9人【鞏固】 實(shí)驗(yàn)二校一個(gè)歌舞表演隊(duì)里，能表演獨(dú)唱的有10人，能表演跳舞的有 18人，兩種都能表演的有 7人.這個(gè)表演隊(duì)共有多少人能登臺(tái)表演歌舞？【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】1星【題型】解答【解析】根據(jù)包含排除法，這個(gè)表演隊(duì)能登臺(tái)表演歌舞的人數(shù)為：1018_7 = 21（人）【答案】21人【例7

12、】 全班50個(gè)學(xué)生，每人恰有三角板或直尺中的一種，28人有直尺，有三角板的人中，男生是 14人，若已知全班共有女生 31人，那么有直尺的女生有 ?！究键c(diǎn)】兩量重疊問題【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第8題【解析】有三角板的學(xué)生共 50-28=22 （人），其中女生22-14=8 （人），那么有直尺的女生有 31-8=23 （人）。 【答案】23人12人得滿分，第一部分有25人做對，第二部分有19人有【例8】 某次英語考試由兩部分組成，結(jié)果全班有 錯(cuò)，問兩部分都有錯(cuò)的有多少人？/只做對只做對第一部;分全第二部）分的'對的,/分的兩部分都有錯(cuò)的【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】2

13、星【題型】解答【解析】如圖，用長方形表示參加考試的人數(shù)，A圓表示第一部分對的人數(shù).B圓表示第二部分對的人數(shù)，長方形中陰影部分表示兩部分都有錯(cuò)的人數(shù).已知第一部分對的有 25人，全對的有12人，可知只對第一部分的有： 25-12 = 13（人）又因?yàn)榈诙?部分有19人有錯(cuò)，其中第一部分對第二部分有錯(cuò)的有 13人，那么余下的19-13 = 6（人）必是第一部分 和第二部分均有錯(cuò)的，兩部分都有錯(cuò)的有 6人.【答案】6人20人，會(huì)打籃球的有25人兩項(xiàng)都會(huì)的有10人，兩項(xiàng)都不會(huì)的【例9】對全班同學(xué)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，會(huì)游泳的有 有9人.這個(gè)班一共有多少人？【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答【解析】如圖，

14、用長方形表示全班人數(shù)，A圓表示會(huì)游泳的人數(shù)，B圓表示會(huì)打籃球的人數(shù)，長方形中陰影部分表示兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù).由圖中可以看出，全班人數(shù) 二至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù)，至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)為：20 *25-10 =35（人），全班人數(shù)為：35 9=44 （人）.【答案】44人【鞏固】 某班組織象棋和軍棋比賽，參加象棋比賽的有32人，參加軍棋比賽的有 28人，有18人兩項(xiàng)比賽都參加了，這個(gè)班參加棋類比賽的共有多少人？【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】2星 【題型】解答【解析】如圖，A圓表示參加象棋比賽的人，B圓表示參加軍棋比賽的人，A與B重合的部分表示同時(shí)參加兩項(xiàng)比賽的人.圖中A圓不含陰影的部分表示只參加

15、象棋比賽不參加軍棋比賽的人，有 32 一18 =14 （人）；圖中B圓不含 陰影的部分表 示只 參加軍 棋比賽不參加象 棋比賽 的人，有 28-18=10（人）.由此得到參加棋類比賽的人有 14 18 142（人）.或者根據(jù)包含排除法直接得：32+2818=42（人）.【答案】42人【例10】在46人參加的采摘活動(dòng)中，只采了櫻桃的有18人，既采了櫻桃又采了杏的有7人，既沒采櫻桃又沒采杏的有6人，問：只采了杏的有多少人？【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答【解析】如圖，用長方形表示全體采摘人員 46人，A圓表示采了櫻桃的人數(shù)，B圓表示采了杏的人數(shù)長方形中陰影部分表示既沒采櫻桃又沒采杏的人

16、數(shù).由圖中可以看出，全體人員是至少采了一種的人數(shù)與兩種都沒采的人數(shù)之和，則至少采了一種的人數(shù)為：46 -6 =40（人），而至少采了一種的人數(shù) =:只采了櫻桃的人數(shù)兩種都采了的人數(shù)只采了杏 的人數(shù)，所以，只采了杏的人數(shù)為：40-18-7 =15（人）.【答案】15人【例11】甲、乙、丙三個(gè)小組學(xué)雷鋒，為學(xué)校擦玻璃，其中68塊玻璃不是甲組擦的，52塊玻璃不是乙組擦的，且甲組與乙組一共擦了60塊玻璃那么，甲、乙、丙三個(gè)小組各擦了多少塊玻璃？【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】2星 【題型】解答【解析】68塊玻璃不是甲組擦的，說明這68塊玻璃是乙、丙兩組擦的；52塊玻璃不是乙組擦的，說明這52塊玻璃是甲、丙

17、兩組擦的.如圖，用圓A表示乙、丙兩組擦的68塊玻璃，B圓表示甲、丙兩組擦的 52塊玻璃因甲乙兩組共擦了 60塊玻璃，那么68 *52 -60 =60（塊）,這是兩個(gè)丙組擦的玻璃數(shù).60亠2 = 30（塊）.丙組擦了 30塊玻璃乙組擦了： 68-30 =38（塊）玻璃，甲組擦了：52-30 = 22（塊）玻璃.【答案】甲組擦了：52-30 =22（塊）玻璃，乙組擦了：68-30 =38（塊）玻璃，丙組擦了 30塊玻璃?！纠?2】育才小學(xué)畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級(jí)的，有15幅畫不是五年級(jí)的，五、六年級(jí)共展出25幅畫，其他年級(jí)的畫共有多少幅?【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】2星【題型

18、】解答【解析】通過16幅畫不是六年級(jí)的可以知道，五年級(jí)和其他年級(jí)的畫作數(shù)量之和是16,通過15幅畫不是五年級(jí)的可以知道六年級(jí)和其他年級(jí)的畫作數(shù)量之和是15,那也就是說五年級(jí)的畫比六年級(jí)多1幅，我們還知道五、六年級(jí)共展出 25幅畫，進(jìn)而可以求出五年級(jí)畫作有13幅，六年級(jí)畫作有12幅，那么久可以求出其他年級(jí)的畫作共有3幅.【答案】3幅【例13】47名學(xué)生參加數(shù)學(xué)和語文考試，其中語文得分95分以上的14人，數(shù)學(xué)得分95分以上的21人，兩門都不在95分以上的有22人.問：兩門都在 95分以上的有多少人？數(shù)學(xué)?95分/95分 95分 （以上以上以上兩門都不在95分以上的【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】2星

19、【題型】解答【解析】如圖，用長方形表示這 47名學(xué)生，A圓表示語文得分95分以上的人數(shù)，B圓表示數(shù)學(xué)得95分以上 的人數(shù)，A與B重合的部分表示兩門都在 95分以上的人數(shù)，長方形內(nèi)兩圓外的部分表示兩門都不在 95分以上的人數(shù).由圖中可以看出，全體人數(shù)是至少一門在 95分以上的人數(shù)與兩門都不在 95分以上的人數(shù)之和， 則至 少一門在95分以上的人數(shù)為：47-22=25（人）根據(jù)包含排除法，兩門都在95分以上的人數(shù)為：14+2125=10（人）.【答案】10人【鞏固】 有100位旅客，其中有10人既不懂英語又不懂俄語，有75人懂英語，83人懂俄語問既懂英語又懂俄語的有多少人？【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難

20、度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯【解析】方法一：在100人中懂英語或俄語的有：100-10=90（人）.又因?yàn)橛?5人懂英語，所以只懂俄語的 有：90-75=15（人）從83位懂俄語的旅客中除去只懂俄語的人，剩下的 83-15 =68（人）就是既懂 英語又懂俄語的旅客.方法二：學(xué)會(huì)把公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，由包含與排除原理，得：AUB =A B AB =75 83 90 =68（人）.【答案】68人【例14】一個(gè)班48人，完成作業(yè)的情況有三種：一種是完成語文作業(yè)沒完成數(shù)學(xué)作業(yè)；一種是完成數(shù)學(xué)作 業(yè)沒完成語文作業(yè)；一種是語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成了.已知做完語文作業(yè)的有37人；做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人.

21、這些人中語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的有多少人？【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答【解析】不妨用下圖來表示:完成數(shù)擁業(yè)的人數(shù)DB表示做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)，重線段AB表示全班人數(shù)，線段 AC表示做完語文作業(yè)的人數(shù)，線段 疊部分DC則表示語文、數(shù)學(xué)都做完的人數(shù).根據(jù)題意，做完語文作業(yè)的有37人，即AC =37 做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有 42人，即DB =42 .AC DB =37 42 =79 （人）AB=48（人）式減式，就有DC =79 -48=31（人），所以，數(shù)學(xué)、語文作業(yè)都做完的有31人.【答案】31人【鞏固】 四年級(jí)科技活動(dòng)組共有 63人在一次剪貼汽車模型和裝配飛機(jī)模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老

22、師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車模型的同學(xué)有42人，裝配好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有34人每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)問：同時(shí)完成這兩項(xiàng)活動(dòng)的同學(xué)有多少人？【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】2星 【題型】解答【解析】因42 34 =76, 76 63，所以必有人同時(shí)完成了這兩項(xiàng)活動(dòng).由于每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)，根據(jù)包含排除法知，42 +34-（完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù) ）=全組人數(shù)，即76-（完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)）=63.由減法運(yùn)算法則知，完成兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)為76 -63=13（人）也可畫圖分析.【答案】13人 【鞏固】 科技活動(dòng)小組有55人在一次制作飛機(jī)模型和制作艦艇模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：制作好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有40人，制作好一艘艦艇的同學(xué)有 32人每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)制作問兩項(xiàng)制作都完成的同學(xué)有多少人？【考點(diǎn)】兩量重疊問題【難度】2星【解析】因?yàn)?0 32 =72 , 72 55，所以必有人兩項(xiàng)制作都完成了 由于每