對稱性在二重積分中的應用

1、對稱性在二重積分中的應用對稱性在二重積分中的應用高等數(shù)學高等數(shù)學（同濟大學第五版）（同濟大學第五版）主講：張曉斌主講：張曉斌中國民航大學理學院中國民航大學理學院中國民航大學理學院 張曉斌一、一、 常用的有關二重積分的對稱性定理常用的有關二重積分的對稱性定理二、定理的應用（典型例題分析）二、定理的應用（典型例題分析）三、小結(jié)三、小結(jié)主要內(nèi)容中國民航大學理學院 張曉斌一、一、 常用的有關二重積分的對稱性定理常用的有關二重積分的對稱性定理(, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x y定義定義 1 1：若二元函數(shù) 的定義域 關于軸對稱，且滿足 （或 ），則稱 關于 為奇（偶

2、）函數(shù)。( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x y( , )( , )f x yf y x定義定義 2 2：若二元函數(shù) 的定義域 關于軸對稱，且滿足 （或 ），則稱 關于 為奇（偶）函數(shù)。中國民航大學理學院 張曉斌( , )f x y( , )f x y( , )f x y( , )f x y( , )f x y( , )f x yxxyyDyDx定義定義 3 3：若二元函數(shù) 的定義域 關于直線 對稱，且滿足 ，則稱 關于 和 對稱。D yx( , )d dDf x yx y定理定理 1 1若有界閉區(qū)域 關于 軸對稱， 在區(qū)域 上連續(xù)， 則當 關于 為奇函數(shù)時當

3、 關于 為偶函數(shù)時 012( , )d dDf x yx y1( , )|0Dx yD xD1DxyO中國民航大學理學院 張曉斌( , )f x y( , )f x yDyxxD( , )f x y( , )d dDf x yx y 定理定理 1若有界閉區(qū)域 關于 軸對稱， 在區(qū)域 上連續(xù)， 則當 關于 為奇函數(shù)時當 關于 為偶函數(shù)時 012( , )d dDf x yx y1( , )|0Dx yD yD1DxyO中國民航大學理學院 張曉斌Dx( , )f x yy( , )f x yy( , )f x yD( , )d dDf x yx y推論推論 1.11.1若 有界閉區(qū)域 關于 軸 和

4、 軸都對稱， 在區(qū)域 上連續(xù)，且關于 和 均為偶函數(shù)，則1( , )|0,0Dx yD xy14( , )d dDf x yx yD1DxyO中國民航大學理學院 張曉斌DxyxyD( , )f x y定理定理 2 2若有界閉區(qū)域 與區(qū)域 關于直線 對稱， 在區(qū)域 上連續(xù)，則1( , )d d( , )d dDDfx yfyxyxxyD1DxyO中國民航大學理學院 張曉斌1DD yx( , )f x yD yx推論推論 2.12.1若 有界閉區(qū)域 關于直線 對稱， 在區(qū)域 上連續(xù)，則( , )d d( , )d dDDfx yf yyxyxxDxyO中國民航大學理學院 張曉斌D yx( , )f

5、 x yD yx例1. 如圖，由于積分區(qū)域 關于 軸， 軸都對稱，且 和 中的被積函數(shù)分別關于 是奇函數(shù)，根據(jù)定理1和定理1得計算 其中3()d d ,DIxyx y( , ) | 1.Dx yxyDx12000.IIIDxyO3312()d dd dd d,DDDIxyx yx x yyx yIIy1I, xy解：中國民航大學理學院 張曉斌1111二、定理的應用二、定理的應用2ID2D3D4D例2. （總習題九 1(2)）. 則.dd)sincos( yxyxyxDyxyxADddsincos2)(1yxyxBDdd2)(1yxyxyxCDdd)sincos(4)(10)(D1D提示: 如圖

6、 ， A,),(ayxaxayxD ,0),(1ayxaxyxD xyaaaO設有平面閉區(qū)域中國民航大學理學院 張曉斌1234.DDDDD例3. 有一個平面薄片, 在 平面上占有區(qū)域 其面密度為 ，求該薄片的質(zhì)量M。 由于積分區(qū)域 關于 軸， 軸都對稱，且 被積函 數(shù)關于 都是偶函數(shù)，根據(jù)推論1.1得| | | |ed d .xyDMx y( , ) | 1,Dx yxyDxDxyOy, xy| | | |ed dxyDMx y1D中國民航大學理學院 張曉斌111114ed dx yDx y11004 dedxx yxy4.| | | |exy解：根據(jù)二重積分的物理意義， xoy1yx 例4.

7、 設 在 連續(xù)，且證明,d)()(d110yyfxfxIx證明證明: 補區(qū)域 使其與區(qū)域oyx1xy 1Ixyfxfyd)()(010d y1010d)(d)(yyfxxf,2A.22AI 證畢D1Dxy1DDxy ( ) ( )d dDf x f yx y1( ) ( )d dDf y f xx y1,I12III1( ) ( )d dDDf x f yx y1100d( ) ( )dxf x f yy.22AI 注意到被積函數(shù)關于 和 對稱,考慮利用定理2，關于直線 對稱。( )f x0,110( )d,f xxA例5.中國民航大學理學院 張曉斌設 為取值恒大于0的連續(xù)函數(shù)，區(qū)域 ， 與 是兩個非零常數(shù)，則二重積分( )f x 222: ( , )|(0)Dx yxyRR( )( )d d _.( )( )Daf xbf yxyf xf y DyxoRR ab解：由于區(qū)域 關于直線 對稱，根據(jù)推論2.1可得yx( )( )( )( )Daf xbf ydxdyf xf y 從而( )( )( )( )Daf xbf ydxdyf xf y ( )( ),( )( )Daf ybf xdxdyf yf x 1( )( )( )( )2( )( )( )( )Daf xbf yaf ybf xdxdyf xf yf yf x 2Dabdxdy 2.2ab