《隨機信號分析》ppt課件

1、第二章 隨機信號分析2.1 隨機過程的根本概念2.2 平穩(wěn)隨機過程2.4 高斯過程2.5 窄帶隨機過程2.6 隨機過程經過線性系統2.1 隨機過程的根本概念n隨機過程是時間t的函數n在恣意時辰察看，它是一個隨機變量n隨機過程是全部可以實現的總體n 分布函數與概率密度：n設 表示一個隨機過程， t1為恣意時辰是一個隨機變量。n F1x1，t1=P x1 n的一維分布函數n假設存在n n那么稱之為 的一維概率密度函數 )(t)(1t)(1t)(t),(),(1111111txfxtxF)(t 的n維分布函數n維概率密度函數 n越大，Fn，fn描畫 的統計特性就越充分nnnnnxtxtxtPtttx

2、xxF)(,)(,)(),;,(22112121nnnnnxxxtttxxxF212121),;,(),;,(2121nnntttxxxf)(t)(t數學期望與方差 E = D =E -E 2 =E 2-E 2 =協方差函數與相關函數 用來衡量恣意兩個時辰上獲得的隨機變量的統計相關特性協方差 Bt1，t2=E -at1 -at2=)(),(1tadxtxxf)(t)(2t)(t)(t)(t)(t)(t)(11tax)(1t)(2t212121222),;,()(dxdxttxxftax 相關函數 Rt1，t2=E =Bt1，t2=Rt1，t2-E E ， 表示兩個隨機過程互協方差函數 相互關函

3、數212121221),;,(xddxttxxfxx)(1t)(2t)(1t)(2t)(t)(t),(21ttB)()()()(2211tattatE)()(),(2121ttEttR2.2 平穩(wěn)隨機過程任何n維分布函數或概率密度函數與時間起點無關),;,(2121nnntttxxxf),;,(2121nnntttxxxf恣意的n和 因此，一維分布與t無關，二維分布只與t1，t2間隔 有關。均值 2方差 3相關函數 Rt1，t2= 41dxtxxftE),()(adxxxf)(2)()(tatEdxtxfax),()(222)()(dxxfax212121221),;,(xddxttxxfxx

4、)()(21RttR均值，方差與時間無關相關函數只與時間間隔有關滿足2，3，4廣義平穩(wěn)寬平穩(wěn)滿足1 狹義平穩(wěn) 嚴平穩(wěn) 時間平均：取一固定的樣本函數實現對時間取平均 xt為恣意實現22)(1limTTTadttxT2222)(1limTTTdtatxT22)()()(1limTTTRdttxtxT平穩(wěn)隨機過程 ，其實現為x1t，x2t，xnt，如其時間平均都相等，且等于統計 平均， 即 a= 那么稱平穩(wěn)隨機過程 具有各態(tài)歷經性。 各態(tài)歷經性可使統計平均轉化為時間平均，簡化計算。)(ta22)()(RR)(t相關函數與功率譜密度)(t 為實平穩(wěn)隨機過程，其自相關函數性質：1 R0=E =S 的平均

5、功率2 R =R- R 是偶函數3 )(2t)(t)0()(RR證明：2)()(ttE)()()(2)(22ttttE)()(2)0(2ttER0)(2)0(2RR)()0(RR4 的直流功率5 的交流功率 恣意確定功率信號ft，功率譜密度)(t)(t)()(2tER2)()0( RR)(SPTFPTTS2)(lim)()(TF 是fTtft截短函數的頻譜函數隨機過程的功率譜密度應看作是每一可以實現的功率譜的統計平均， 某一實現之截短函數)()(TTFt)(tTFEPEPTTS2)(lim)()()()(RPdPS)(21他應該知道的：n傅里葉變換n記為：nFj=F ftnft =F -1Fj

6、dtetfjFtj)()(dejFtftj)(21)( 的自相關函數與功率譜密度之間互為傅氏變換關系n例：某隨機過程自相關函數為R ，求功率譜密度。n解：)(tdteRptj)()(tsR其它,02,2)(222dtetj2212tjejjeejj242228 Sa例 求隨機相位正弦波 的自相關函數與功率譜密度， 常數， 在0，2 均勻分布。n解 )sin()(0tt0)sin()(0tEtasincoscossin00ttE0)()(),(2121ttEttR0cos21)()(cos000)(2)(2)(00P21)0( RS21)(21dPs2.3高斯過程 恣意的n維分布都服從正態(tài)分布的

7、隨機過程n一維概率密度函數n a 數學期望， 均方差， 方差nfx關于 x=a 對稱nfx在 單調上升， 單調下降n 或 n n 且有 )2)(exp(21)(22axxf2),(a),(axx0)(xf1)(dxxf21)()(aadxxfdxxf分布函數n n概率積分函數n誤差函數n互補誤差函數dzazxFx2)(exp21)(22)()(axxF)2(211)2(2121)(axerfcaxerfxFax ax dzzxx)2exp(21)(2xzdzexerf022)(xzdzexerfxerfc22)(1)(2.4 窄帶隨機過程窄帶：信號頻譜被限制在“載波或某中心頻率附近一個窄的頻帶

8、上，中心頻率遠離零頻)(Scfcf n 同相分量n 正交分量n 為零均值，平穩(wěn)高斯窄帶，確定n 統計特性)(cos)()(tttatc0)(tatttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats)(t)(ta)(t)(tc)(ts結論1：n推導：n由于 平穩(wěn)，零均值，即恣意t，均有0)()(tEtEscttEttEtEcsccsin)(cos)()()(t0)(tE0)()(tEtEsc結論2：同一時辰 不相關，或統計獨立。 cs0)0(csR0)0(scR),(ttR)()(ttE)()(ttEcc)(coscosttcc)()(ttEsc)(

9、sincosttcc)()(ttEcs)(cossinttcc)()(ttEss)(sinsinttcc),(ttRc),(ttRsc),(ttRcs),(ttRs平穩(wěn))(t)(),(RttR令 t=0n顯然要求n令 同理可得ctttRRccos),()(0ctttRscsin),(0)(),(ccRttR)(),(scscRttRccsccRRRsin)(cos)()(ct2cccssRRRsin)(cos)()(12由1，2可得n根據相互關函數的性質，應有n 是 的奇函數 有n 同理可證n 即同一時辰 不相關，或統計獨立。)()(scRR)()(csscRR)()(csscRR)()(cs

10、csRR3)(csR0)0(csR0)0(scRcs由1，2還可得 平均功率相等即 方差相等結論3： ， 是高斯過程 證：當)0()0()0(scRRR222sc)(tc)(ts01t)()(11ttcct22)()(22tts)(1tc)(2ts故：是高斯隨機變量。)(tc)(ts是高斯過程重要結論：n均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程，其同相分量和正交分量同樣是平穩(wěn)隨機過程，均值為零，方差一樣，在同一時辰得到的 及 不相關，或統計獨立。 cs 統計特性n 服從瑞利分布n 服從均勻分布)(),(ttaa2exp)(222aaaf0a21)(f20理想的寬帶過程白噪聲n n0為常數n白噪聲的自相關函數

11、僅在 時才不為零，故白噪聲只需在 時才相關，在恣意兩個時辰上隨機變量都不相關。 2)(0nP)(2)(0nR00帶限白噪聲n對帶限白噪聲按抽樣定理抽樣，那么各抽樣值是互不相關的隨機變量)(p20n0f0f021f021f例：限帶3400Hz的語音信號和加性噪聲，以fs=6800Hz的速率對xt進展抽樣n tX(t)=s(t)+n(t)()()(ssskTnkTSkTX)()()(ssxkTXkTXER)()()()(nssnnsRRRR)(sR2.5隨機過程經過線性系統線性系統呼應v0t，輸入vit，沖激呼應htn線性系統是物理可實現的，那么 n 或n當輸入是隨機過程 時，輸出為dthvtvi

12、)()()(0)()()(0ivHvdthvtvti)()()(0dtvhtvi00)()()()(ti)(0t00)()()(dthti假定輸入 是平穩(wěn)隨機過程，調查 的特性)(ti)(0t)(0tE00)()()(dthEtEi0)()(dtEhi平穩(wěn)性 )(tEi0)()(dhtEi000)()()0(dtethHHtj0)(dtth)0()()(0HtEtEi1、2、 的自相關函數n由平穩(wěn)性 n輸出過程是廣義平穩(wěn)的。)(0t),(110ttR),(110ttR)()(1010ttE01)()(dthEi01)()(dthi010)()()(tEhhiddti)(1)()()(11iii

13、RttE),(110ttR)()()()(000RddRhhi3、 的功率譜密度n令 那么)(0t)(0P)(0PdeRj)(0deRhhddji)()()(00)(0P00)()(dehdehjjdeRji)()()()(*iPHH)()(2iPH4、輸出過程 的分布n將 n 改寫為和式：n 可知：假設 為正態(tài)隨機變量n 也為正態(tài)隨機變量n 高斯過程經線性變換后的過程仍為高斯的。)(0t00)()()(dthtikkkkihttk)()(lim)(000)(ti)(0t思索：隨機過程 ，A是均值為a，方差為 的高斯隨機變量，求：n1、 及 的兩個一維概率密度。n2、 能否廣義平穩(wěn)？n3、 的功率譜n4、平均功率是多少？tAtcos)(2A0)(tt1)(tt)(t)(t解：1、Att0)()2)(exp(21)(220AAaxxfAtt1)()2)(e