(完整版)小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)講義(教師版)30講全

1、五年級(jí)奧數(shù)士第1講數(shù)字謎(一)數(shù)字謎的內(nèi)容在三年級(jí)和四年級(jí)都講過，同學(xué)們已經(jīng)掌握了不少方法。例如用猜想、拼湊、排除、 枚舉等方法解題。數(shù)字謎涉及的知識(shí)多，思考性強(qiáng)，所以很能鍛煉我們的思維。這兩講除了復(fù)習(xí)鞏固學(xué)過的知識(shí)外，還要講述數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。例1把+,X, 小四個(gè)運(yùn)算符號(hào)，分別填入下面等式的。內(nèi)，使等式成立(每個(gè)運(yùn)算符號(hào)只準(zhǔn)使用一次)：(501307) O (1709) =12。分析與解：因?yàn)檫\(yùn)算結(jié)果是整數(shù)，在四則運(yùn)算中只有除法運(yùn)算可能出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，所以應(yīng)首先確定 “ 小 ”的位置。當(dāng)“ ”在第一個(gè)O內(nèi)時(shí)，因?yàn)槌龜?shù)是13,要想得到整數(shù)，只有第二個(gè)括號(hào)內(nèi)是13的倍數(shù), 此時(shí)只

2、有下面一種填法，不合題意。(54-13-7) X (17+9) o當(dāng)“ + ”在第二或第四個(gè)O內(nèi)時(shí)，運(yùn)算結(jié)果不可能是整數(shù)。當(dāng)“ + ”在第三個(gè)O內(nèi)時(shí)，可得下面的填法：(5+13X7) + (17-9) =12。例2將19這九個(gè)數(shù)字分別填入下式中的口中，使等式成立：口口義口口二口口又口口二5568。解：將5568質(zhì)因數(shù)分解為5568=26X3X29。由此容易知道，將5568分解為兩個(gè)兩位數(shù)的乘積 有兩種：58X96和64X87,分解為一個(gè)兩位數(shù)與一個(gè)三位數(shù)的乘積有六種：12X464, 16X348, 24X232,29X192, 32X174, 48X116。顯然，符合題意的只有下面一種填法：1

3、74X32=58X96二5568。例3在443后面添上一個(gè)三位數(shù)，使得到的六位數(shù)能被573整除。分析與解：先用443000除以573,通過所得的余數(shù)，可以求出應(yīng)添的三位數(shù)。由443000 +573=77371 推知，443000+(573-71 )=443502 一定能被 573 整除，所以應(yīng)添 502。例4已知六位數(shù)33口口44是89的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。分析與解：因?yàn)槲粗臄?shù)碼在中間，所以我們采用兩邊做除法的方法求解。先從右邊做除法。由被除數(shù)的個(gè)位是4,推知商的個(gè)位是6；由左下式知，十位相減后的差是1, 所以商的十位是9。這時(shí)，雖然89X96=8544,但不能認(rèn)為六位數(shù)中間的兩個(gè)口內(nèi)是85

4、,因?yàn)檫€ 沒有考慮前面兩位數(shù)。_3b8 0 1t 0 10再從左邊做除法。如右上式所示，a可能是6或7,所以b只可能是7或8。由左、右兩邊做除法的商，得到商是3796或3896。由3796X89=337844, 3896X89=346744知，商是3796,所求六位數(shù)是337844。例5在左下方的加法豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，請(qǐng)你用適 當(dāng)?shù)臄?shù)字代替字母，使加法豎式成立。29786850+ 85031486FORTYTEN+ TENSIXTY分析與解：先看豎式的個(gè)位。由Y+N+N=Y或Y+ 10,推知N要么是0,要么是5。如果N=5,那么 要向上進(jìn)位，由豎式的十

5、位加法有T+E+E+1=T或T+10,等號(hào)兩邊的奇偶性不同，所以N#5, N=0o 此時(shí)，由豎式的十位加法T+E+E=T或T+10, E不是0就是5,但是N=0,所以E=5。豎式千位、萬位的字母與加數(shù)的千位、萬位上的字母不同，說明百位、千位加法都要向上進(jìn)位。因?yàn)镹=0,所以IWO,推知1=1, 0=9,說明百位加法向千位進(jìn)2。再看豎式的百位加法。因?yàn)槭患臃ㄏ虬傥贿M(jìn)1,百位加法向千位進(jìn)2,且XWO或1, 所以R+T+T+1222,再由R, T都不等于9知，T只能是7或8。若T=7,則R=8, X=3,這時(shí)只剩下數(shù)字2, 4, 6沒有用過，而S只比F大1, S, F不可能是2, 4, 6中的數(shù)，

6、矛盾。五年級(jí)奧數(shù)4若T=8,則R只能取6或7。R=6時(shí)，X=3,這時(shí)只剩下2, 4, 7,同上理由，出現(xiàn)矛盾；R=7時(shí)7 X=4,剩下數(shù)字2, 3, 6,可取F=2, S=3, 丫=6。所求豎式見上頁右式。解這類題目，往往要找準(zhǔn)突破口，還要整體綜合研究，不能想一步填一個(gè)數(shù)。這個(gè)題目是美國數(shù) 學(xué)月刊上刊登的趣題，豎式中從上到下的四個(gè)詞分別是40, 10, 10, 60,而40+10+10正好是 60,真是巧極了！例6在左下方的減法算式中，每個(gè)字母代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。請(qǐng)你填上適當(dāng) 的數(shù)字，使豎式成立。107021070310704ABCBDEFAG9814-9815-9816-

7、 EFAG+ FFF888888888FFFABCBD分析與解：按減法豎式分析，看來比較難。同學(xué)們都知道，力口、減法互為逆運(yùn)算，是否可以把減 法變成加法來研究呢（見右上式）？不妨試試看。因?yàn)榘傥患臃ㄖ荒芟蚯贿M(jìn)1,所以E=9, A=l, B=0。如果個(gè)位加法不向上進(jìn)位，那么由十位加法l+F=10,得F=9,與E=9矛盾，所以個(gè)位加法向上 進(jìn)1,由l+F+l=10,得到F=8,這時(shí)07。余下的數(shù)字有2, 3, 4, 5, 6,由個(gè)位加法知，G比D 大2,所以G, D分別可取4, 2或5, 3或6, 4。所求豎式是解這道題啟發(fā)我們，如果做題時(shí)遇到麻煩，不妨根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)概念、法則、定律把原題加以變

8、 換，將不熟悉的問題變?yōu)槭煜さ膯栴}。另外，做題時(shí)要考慮解的情況，是否有多個(gè)解。練習(xí)11 .在一個(gè)四位數(shù)的末尾添零后，把所得的數(shù)減去原有的四位數(shù)，差是621819,求原來的四位數(shù)。解：6218194- (100-1) = 6281 o2 .在下列豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字。請(qǐng)你用適當(dāng)?shù)臄?shù)字代替字母，使豎式成立:(2)ABAB-ACABAAC（1） A B+ B C A ABC5 44-4 9 55 4 9（1）由百位加法知,A=B+1；再由十位加法A+知B+10,推知09,進(jìn)而得到A二5, B二4 （見上右式）。（2）由千位加法知B=AT,再由個(gè)位減法知09。因?yàn)?/p>

9、十位減法向百位借1,百位減法向千位借1, 所以白位減法是（10+BT） -A=A,化簡(jiǎn)為9+B=2A,將B二A-1代入，得A=8, B=7 （見右上式）。3 .在下面的算式中填上括號(hào)，使得計(jì)算結(jié)果最大：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9。解：14- （24-34-44-54-64-74-84-9） =90720o4 .在下面的算式中填上若干個(gè)（），使得等式成立：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9=2.8。解：14- （24-3） +4+ （54-64-74-8） +9=2. 8。提示：因?yàn)?.8= 號(hào)，而1必須在分子上，2必須在分

10、母上，即裳 j2 x）X號(hào)，剩下的3, 4, 6, 8, 9,五個(gè)數(shù)填在林中，應(yīng)使林=4只有3X6X84X9一種填法。由1X3X6X7X82X4X5X 9=2.8可得答案。5 .將19分別填入下式的口中，使等式成立：口口乂 口口二口口義口口口二3634。 提示：3634=2 X 23 X 79 o 46X79= 23X158= 3634。6 .六位數(shù)391 口口是789的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。提示：仿照例3。391344。7 .已知六位數(shù)7口口888是83的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。提示：仿例4,商的后3位是336,商的第一位是8或9。774888。五年級(jí)奧數(shù)-5 -第2講數(shù)字謎（二）這一講主要講數(shù)字

11、謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。例1在下面的算式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，求abcde.labcde X 3=abcdel分析與解：這道題可以從個(gè)位開始，比較等式兩邊的數(shù)，逐個(gè)確定各個(gè)字母所代表的數(shù)碼?，F(xiàn) 在，我們從另一個(gè)角度來解。labcde與abcdel只是1所在的位置不同，設(shè)x二abcde 則算式變?yōu)椋?00000+X） X3=10x+l,300000+3x=10x+l,7x=299999,x=42857。這種代數(shù)方法干凈利落，比用傳統(tǒng)方法解簡(jiǎn)潔。我們?cè)倏磶讉€(gè)例子。 例2在口內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使左下方的乘法豎式成立。1 2 4X 8 11 2 49 9 2

12、1 0 0 4 4 義 8 1 解：設(shè)被乘數(shù)為X。由8乂4999知乂4124（,又由81x>10000知求展式。8123 0因?yàn)閤是整數(shù)，所以x = 124°右上式為所ol例3左下方的除法豎式中只有一個(gè)8,請(qǐng)?jiān)诳趦?nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使除法豎式成立。 80州9112)1107631008bDDc6.375)995 896 -10081008-0 口口口, a0 0 016)1020 0 0瞿120,1120解：豎式中除數(shù)與8的積是三位數(shù),而與商的百位和個(gè)位的積都是四位數(shù)，所以商為989。設(shè)除數(shù)為x,由9x9x）1000知；由豎式特點(diǎn)知，除數(shù)與8的乘積的百位數(shù)不可能是9,即8x：&l

13、t;900,所以又因?yàn)閤是整數(shù)，所以x=112,被除數(shù)為989X112=110768。右上式為所求豎式。代數(shù)解法雖然簡(jiǎn)潔，但只適用于一些特殊情況，大多數(shù)情況還要用傳統(tǒng)的方法。例4在口內(nèi)填入適當(dāng)數(shù)字，使下頁左上方的小數(shù)除法豎式成立。分析與解：先將小數(shù)除法豎式化為我們較熟悉的整數(shù)除法豎式（見下頁右上方豎式）?？梢钥?出，除數(shù)與商的后三位數(shù)的乘積是1000=2$><5$的倍數(shù)，即除數(shù)和商的后三位數(shù)一個(gè)是28的 倍數(shù)，另一個(gè)是5二125的奇數(shù)倍，因?yàn)槌龜?shù)是兩位數(shù)，所以除數(shù)是8的倍數(shù)。乂由豎式特點(diǎn)知 a=9,從而除數(shù)應(yīng)是96的兩位數(shù)的約數(shù)，可能的取值有96, 48, 32, 24和16。因?yàn)?/p>

14、，c=5, 5與除數(shù)的乘積仍是兩位數(shù)，所以除數(shù)只能是16,進(jìn)而推知b=6。因?yàn)樯痰暮?三位數(shù)是125的奇數(shù)倍，只能是125, 375, 625和875之一，經(jīng)試驗(yàn)只能取375。至此，己求 出除數(shù)為16,商為6. 375,故被除數(shù)為6. 375X 16=102。上頁右式即為所求豎式。求解此類小數(shù)除法豎式題，應(yīng)先將其化為整數(shù)除法豎式，如果被除數(shù)的末尾出現(xiàn)n個(gè)0，則 在除數(shù)和商中，一個(gè)含有因子2n （不含因子5）,另一個(gè)含有因子5n （不含因子2）,以此為突破 口即可求解。例5 一個(gè)五位數(shù)被一個(gè)一位數(shù)除得到下頁的豎式（1）,這個(gè)五位數(shù)被另一個(gè)一位數(shù)除得到下頁的豎 式（2）,求這個(gè)五位數(shù)。(1) e*

15、 (2)*,* * * * :*1 *-0*)10*091*-a*F分析與解：由豎式（1）可以看出被除數(shù)為10*0 （見豎式（1）'）,豎式（1）的除數(shù)為3或 9o在豎式（2）中，被除數(shù)的前兩位數(shù)10不能被整數(shù)整除，故除數(shù)不是2或5,而被除數(shù)的 后兩位數(shù)*0能被除數(shù)整除，所以除數(shù)是4, 6或8。當(dāng)豎式（1）的除數(shù)為3時(shí)，由豎式（1） '知，a=1或2,所以被除數(shù)為100*0或101*0,再由豎式（2）中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩 位數(shù)分別能被除數(shù)整除,可得豎式（2）的除數(shù)為4,被除數(shù)為10020；當(dāng)豎式（1）的除數(shù)為9時(shí)，由能被9整除的數(shù)的特征，被除數(shù)的百位與十位數(shù)字之和應(yīng)為8。

16、因?yàn)樨Q式（2）的除數(shù)只能是4, 6, 8,由豎式（2）知被除數(shù)的百位數(shù)為偶數(shù)，故被除數(shù)只有10080, 10260, 10440和10620四種可能，最后由豎式（2）中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除 數(shù)整除，且十位數(shù)不能被除數(shù)整除，可得豎式（2）的除數(shù)為8,被除數(shù)為10440。所以這個(gè)五位數(shù)是10020或10440o練習(xí)21.下面各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字,求出abed及abcxyz：（1） labedX 3= abcd5;（2）7X abexyz = 6X xyzabco答案（1） 4285； （2） 461538o 踴,用麻嬴 B表示品 |O7X &

17、lt;1000A+6X WOB+A）,化簡(jiǎn)后得538A=461B,由于538與461互質(zhì)，且A, B均為三位數(shù)，所以A=461, B=538o所求六位數(shù)是461538。2.用代數(shù)方法求解下列豎式：3.在口內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使下列小數(shù)除法豎式成立： 8 7. 口口 口 .） .） .口 口 8 口 口 00口 口0答案（1） 124X81=10044； （2） 1176844-12= 9807。提小:(1)設(shè)被乘數(shù)為a,由8aW999, 81a210000,推知377123 <124 ,olo所以a=124。（2）根據(jù)豎式特點(diǎn)知，商是9807。設(shè)除數(shù)是a,根據(jù)豎式特點(diǎn)由8aV100, 9a

18、2100,推知1 / ,1 所以 a=12。3 .答案（1）先將豎式化為整數(shù)除法豎式如左下式：易知f=2, g=0；由g=0知b, d中有一個(gè)是5,另一個(gè)是偶數(shù)而2,所以b=5,進(jìn)而推知 d= 6：再由d= 6, f= 2知a=2或7,而e=3或4,所以a=7；最后求出c=5。見上頁右下式。（2）先將除法豎式化為整數(shù)除法豎式如左下式：由豎式特點(diǎn)知b=c=0；因?yàn)槌龜?shù)與d的乘積是1000 的倍數(shù)，d與e都不為0,所以d與除數(shù)中必分別含有因子2和5，故d=8,除數(shù)是125的奇數(shù)倍， 因此e=5； 乂 fWO, e= 5,所以f=g二5；由g=5, d=8得到除數(shù)為5000 + 8=625,再由62

19、5Xa是三位 數(shù)知a=l,所以被除數(shù)為625X1008=630000,所求豎式見右上式。五年級(jí)奧數(shù)士第3講定義新運(yùn)算(一)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過加、減、乘、除運(yùn)算，這些運(yùn)算，即四則運(yùn)算是數(shù)學(xué)中最基本的運(yùn)算，它們的意 義、符號(hào)及運(yùn)算律已被同學(xué)們熟知。除此之外，還會(huì)有什么別的運(yùn)算嗎？這兩講我們就來研究這個(gè)問 題。這些新的運(yùn)算及其符號(hào)，在中、小學(xué)課本中沒有統(tǒng)一的定義及運(yùn)算符號(hào)，但學(xué)習(xí)討論這些新運(yùn)算, 對(duì)于開拓思路及今后的學(xué)習(xí)都大有益處。例1對(duì)于任意數(shù)a, b,定義運(yùn)算: a*b=aXb-a-bo求12*4的值。分析與解：根據(jù)題目定義的運(yùn)算要求，直接代入后用四則運(yùn)算即可。根據(jù)以上的規(guī)定，求12*4=12X4-

20、12-4=48-12-4=32o例2己知aAb表示a的33倍減去b的，例如：42 = IX 3-2X J = 2。10A6的值。解：10Z6=10X36xJ = 303 = 27。 乙A3, x>=2,求 X 的值。例3 對(duì)于數(shù)a, b, c, d,規(guī)定 < a, b, c, d>= 2ab o 己知 2,c分析與解：按照定義的運(yùn)算，<1, 2, 39 x=2,2X1X2-| = 2ox=6o由上面三例看出，定義新運(yùn)算通常是用某些特殊符號(hào)表示特定的運(yùn)算意義。新運(yùn)算使用的符號(hào)應(yīng) 避免使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號(hào)，如+, X, +, <, >等，以防止

21、發(fā)生混淆，而 表示新運(yùn)算的運(yùn)算意義部分，應(yīng)使用通常的四則運(yùn)算符號(hào)。如例1中，a*b=aXb-a-b,新運(yùn)算符號(hào)使 用，而等號(hào)右邊新運(yùn)算的意義則用四則運(yùn)算來表示。例4a, b表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定a°b岑。Q) 20 (|og) =?(2)OOx = 1,求x = ?4 62分析與解：按新運(yùn)算的定義，符號(hào)“。”表示求兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。 2 4(1)因?yàn)?0 (10 p神勺()沒有被重新定義，所以其意義與四則運(yùn)算中的意義相同，即先進(jìn)行小括號(hào)中的運(yùn)算，再進(jìn)行小括號(hào)外面的運(yùn)算。2c4 ,2 4.22 . 11言(六)+2市+2下按通常的規(guī)則從左2。盤)=2噲%)+2嶗?1(2)因?yàn)樵?；中沒壟有重新規(guī)

22、定運(yùn)算次序，所以應(yīng) 46至右進(jìn)行運(yùn)算。五年級(jí)奧數(shù)-9 -3cl ,3 k 、 114°6=（4 + 62 = 241湖。x4Ox= 4+x）”由+ 0 +2=;，解得N二號(hào)。例5 規(guī)定：4。2 = 4+44203=2+22+222,1日4二 1+11+111+1111。求 3。5二？分析與解：從已知的三式來看，運(yùn)算“”表示幾個(gè)數(shù)相加，每個(gè)加數(shù)各數(shù)位上的數(shù)都是符號(hào)前面的那個(gè)數(shù)，而符號(hào)后面的數(shù)是幾，就表示幾個(gè)數(shù)之和，其中第1個(gè)數(shù)是1位數(shù)，第2個(gè)數(shù) 是2位數(shù)，第3個(gè)數(shù)是3位數(shù)按此規(guī)定，得35=3+33+333+3333+33333二37035。從例5知，有時(shí)新運(yùn)算的規(guī)定不是很明顯，需要先找

23、規(guī)律，然后才能進(jìn)行運(yùn)算。例6對(duì)于任意自然數(shù)，定義：n! =1X2XXno例如4! =lX2X3X4o那么1! +2! +3! +100!的個(gè)位數(shù)字是幾？分析與解：1! =1,2! =1X2=2,3!二 1X2X3=6,4! =1X2X3X4=24,5! =1X2X3X4X5=120,6! =1X2X3X4X5X6=720,由此可推知，從5!開始，以后6! , 7! , 8!,，100!的末位數(shù)字都是0。所以，要求1! +2! +3! +100!的個(gè)位數(shù)字，只要把1!至4!的個(gè)位數(shù)字相加便可求得: 1+2+6+4=13。所求的個(gè)位數(shù)字是3o例7如果m, n表示兩個(gè)數(shù)，那么規(guī)定：man=4n- （

24、m+n） +2。求3。（4Q6） Q12的值。解：3Q （4Q6） 012=30 4X6- （4+6） +2 Q12=3Q19CS12= 4X19- （3+19） 4-2 012=65012=4X12- （65+12） 4-2=9. 5練習(xí)31.對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)a和b,規(guī)定a*b=3Xa-b + 3。求8*9的值。（值為2） 2.已知ab表示a除以3的余數(shù)再乘以b,求134的值。（值為4）3 .已知ab表示（a-b） + （a+b）,試計(jì)算：（53）（106）。（值為0）解,（5®3）® （1®6）=7®- = 04 4 44 .規(guī)定a©b表示

25、a與b的積與a除以b所得的商的和，求8©2的值。答案420。槍示：新運(yùn)算是ab+705 .假定mOn表示m的3倍減去n的2倍，即mOn=3m-2n。計(jì)算：(|o|)o|；(2)已知X。(401) =7,求X的值。答案-o 7,八提不:5. (1) 8； (2)9。(2) xO (401)= 7, xO (4X3-1X2)= 7,xO10=7,3x-10X2=7, x=9o6.規(guī)定：V7 = l,2V = 1X 1乙3V = 1X Ax 1 236. (1) ; (2)8。乙4V = lxlxlxl, 234(1)求(7V)+(5V)的值；(2)己知x二忌求x的值。痂(2)相當(dāng)于由 1

26、X2X3X -Xx=40320,求 x。 40320 + 2 = 20160,201604-3= 6720, 67204-4=1680, 16804-5=336, 84-8=1,即 1/40320=1 義 1/2 X 1/3 義 1/4 X 1/5 X 1/6 義"7X1/8。所以 x=8。7 .對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)P，Q，規(guī)定P*Q=(PXQ)+4。例如：28=(2X8)+4。己知(85)=10,求x的 值。解：x* (8*5) = x* (8X54-4) = x*10= xX10 + 4,由 xX10 + 4=10,求得 x=4。8 .定義：ab=ab-3b a0b=4a-b/a&#

27、187; 計(jì)算：(443) (20b)<>解：(4A3)(2A6)= (4X3-3X3)/(4乂2-6/2) = 345=3X5-3X5=0。9 .已知：2。3=2義3義4, 405=4X5X6X7X8,求(4©4) + (3Q3)的值。提示：新運(yùn)算是：從第一個(gè)數(shù)字起，求越來越大的連續(xù)幾個(gè)自然數(shù)的乘積，因數(shù)個(gè)數(shù)是第二個(gè)數(shù)字。(4。4) + (33) = (4X5X6X7) + (3X4X5)= 14。第4講定義新運(yùn)算(二)例 1 已知 aXb= (a+b) - (a-b),求 9X2 的值。分析與解：這是一道很簡(jiǎn)單的題，把a(bǔ)=9, b=2代入新運(yùn)算式，即可算出結(jié)果。但是，

28、根據(jù)四則 運(yùn)算的法則，我們可以先把新運(yùn)算“”化簡(jiǎn)，再求結(jié)果。aXb=(a+b) (a-b) =a+b-a+b=2bo 所以，9派2二2義2二4。由例1可知，如果定義的新運(yùn)算是用四則混合運(yùn)算表示，那么在符合四則混合運(yùn)算的性質(zhì)、 法則的前提下，不妨先化簡(jiǎn)表示式。這樣，可以既減少運(yùn)算量，又提高運(yùn)算的準(zhǔn)確度。例2定義運(yùn)算：aOb=3a+5ab+kb,其中a, b為任意兩個(gè)數(shù)，k為常數(shù)。比如：207=3X2+5X2X7+7ko (1)已知5。2=73。問：8。5與5。8的值相等嗎？(2)當(dāng)k取什么值時(shí)，對(duì)于任何不同的數(shù)a, b,都有aOb二bOa,即新運(yùn)算“?！狈辖粨Q律？ 分析與解：(1)首先應(yīng)當(dāng)確定

29、新運(yùn)算中的常數(shù)k。因?yàn)?G»2=3X5+5X5X2+kX2=65+2k, 所以由已知502=73,得65+2k=73,求得k= (73-65) +2=4。定義的新運(yùn)算是：aGb=3a+5ab+4bo 805=3 X8+5X8X 5+4 X 5=244,508=3 X 5+5 X5X 8+4 X 8=247 o因?yàn)?244W247,所以 805W508。(2)要使 aG)b=b0a,由新運(yùn)算的定義，有 3a+5ab+kb=3b+5ab+ka, 3a+kb-3b-ka=0,3 X (a-b)-k(a-b)-0,(3-k) (a-b)=0c對(duì)于兩個(gè)任意數(shù)a, b,要使上式成立，必有3-k=

30、0,即k=3。當(dāng)新運(yùn)算是aOb=3a+5ab+3b時(shí)，具有交換律，即a©b=b©ao例3對(duì)兩個(gè)自然數(shù)a和b,它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為a+b,即ab=a, b-(a, b) o比如,10和14的最小公倍數(shù)是70,最大公約數(shù)是2,那么1014=70-2=68。(1)求12+21的值；(2)已知6+x=27,求x的值。分析與解：(1) 1221=12, 21- (12, 21) =84-3=81；(2)因?yàn)槎x的新運(yùn)算“”沒有四則運(yùn)算表達(dá)式，所以不能直接把數(shù)代入表達(dá)式 求x,只能用推理的方法。因?yàn)?*x=6, x- (6, x) =27,而6與x的最大公約數(shù)(6,

31、 x)只能是1, 2, 3, 6。所以 6與x的最小公倍數(shù)6, x只能是28, 29, 30, 33。這四個(gè)數(shù)中只有30是6的倍數(shù)，所以6 與x的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別是30和3。因?yàn)閍Xb=a, b X (a, b), 所以6Xx=30X3,由此求得x=15。例4 a表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° , b表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180° , c表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° , d表示不轉(zhuǎn)。定義 運(yùn)算表示“接著做”。求：a©b； b©c； cOao分析與解：a©b表示先順時(shí)針轉(zhuǎn)90° ,再順時(shí)針轉(zhuǎn)180。，等于順時(shí)針轉(zhuǎn)270。，也等于逆時(shí)針轉(zhuǎn) 90

32、° ,所以 a©b=Cob©c表示先順時(shí)針轉(zhuǎn)180° ,再逆時(shí)針轉(zhuǎn)90° ,等于順時(shí)針轉(zhuǎn)90° ,所以b©c二a。c©a表示先逆時(shí)針轉(zhuǎn)90° ,再順時(shí)針轉(zhuǎn)90° ,等于沒轉(zhuǎn)動(dòng)，所以c©a二d。對(duì)于a, b, c, d四種運(yùn)動(dòng)，可以做一個(gè)關(guān)于“”的運(yùn)算表(見下表)。比如c©b,由c所在 的行和b所在的列，交叉處a就是c©b的結(jié)果。因?yàn)檫\(yùn)算符合交換律，所以由c所在的列和b所 在的行也可得到相同的結(jié)果。oabcdabcdabcdabcdabcdabcd例 5 對(duì)任意的數(shù)

33、a, b,定義：f (a) =2a+l, g (b) =bXbo(1)求 f (5) -g (3)的值；(2)求 f (g (2) ) +g (f (2)的值；(3)已知f (x+1) =21,求x的值。解：(1) f (5) -g (3) = (2X5+1) - (3X3) =2；(2) f (g (2) ) +g (f (2) ) =f (2X2) +g (2X2+1) =f (4) +g (5) = (2X4+1) + (5X5) =34；(3) f (x+1) =2X (x+1) +1 =2x+3,由 f (x+1) =21,知 2x+3=21,解得 x=9。五年級(jí)奧數(shù)-11 -練習(xí)4

34、尻庭勒班=3： JU瓢悻?BL* A渺誦:“國醍徽雌蝦醍酸立?AB=BAo(2)京(302)-(203)齷JLUL一 *口案哧(l)AB二餐,3如4+：因?yàn)榧臃ㄓ薪荒X,所吸出BM耳罅?xí)r%鼓解 匕A sj1) A (1)施窠時(shí) 甲檢雌腕2二 203,股(302) - (203) = 0。(5®3)2 = (*宏=那2吟+百書哈，5®(3®2)=5蠟令唬心5耨。顯然(53)62邦回(302),所以運(yùn)算"0 "殳有結(jié)合律臺(tái)2.定義兩種運(yùn)算“X”和如下：aXb表示a, b兩數(shù)中較小的數(shù)的3倍，aab表示a, b兩數(shù)中較大的數(shù)的2. 5倍。比如：4派5二

35、4 X3=12, 4A5=5X2. 5=12. 5o 計(jì)算：(0. 6X0. 5) + (0. 3Z0. 8) + (1. 2X0. 7)-(0. 64ZX0. 2)解：原式二(0.5X3+0.8X2.5) 4-(0. 7X3-0. 64X2. 5)=7 ,3®4=1«, 702=30,21®10=H *沏3脆提示:從已知的四式發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)數(shù)的4倍加上第二個(gè)數(shù)等于結(jié)果,所賺糜是&恥/+ b,洋麻4.設(shè)m, n是任意的自然數(shù)，A是常數(shù)，定義運(yùn)算mOn二(AXm-n)數(shù)A,并計(jì)算：(507) 提示：由 2。3二(AX2-3) (202) + (302)=X (

36、202) + (302)4-4=0. 75,推知A=3。定義的運(yùn)算是: (3X5-7) 4-4 X (3X2- 2) 4-4 4-4-4,并且203=0. 75。試確定常m©n= (3m-n) +4。(507) X (3X3-2) -r4=2Xl-r7/4=8/7o5013=4X5+13=3345 .用a, b, c表示一個(gè)等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內(nèi)所作的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng):a表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)240° , b表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120° , c表示不旋轉(zhuǎn)。運(yùn)算“V”表示“接著做”。試以a, b, c為運(yùn)算對(duì)象做運(yùn)算表。6 .對(duì)任意兩個(gè)不同的自然數(shù)a和b,較大的數(shù)除以較小的數(shù)

37、，余數(shù)記為aOb。比如73=1, 529二4, 420=0。(1)計(jì)算：19982000, (5 19) 19, 5(199)；(2)已知 11 x=4, x 小于 20,求 x 的值。6. (1) 2, 3, 1； (2) 7 或 14。提示：(1) (5Q9) ©19= 4©19=3, 5(195) = 54= 1。(2)當(dāng) xVH 時(shí)，x 是 7；當(dāng) x>ll 時(shí)，x 是 14。7 .對(duì)于任意的自然數(shù)a, b,定義:f (a) =aXa-l, g (b)=b + 2+1。(1)求 f (g (6) ) -g (f (3)的值；(2)已知 f (g (x) ) =

38、8,求 x 的值。解：(1) f (g (6) ) - g (f (3) ) = f(64-2+l)- g (3X3-1) = f( 4)- g (8)=(4X4-1) - (84-2+1) = 10： o(2)由 f( g (x) )= 8=3 X 3-1,推知 g (x) = 3；再由 x + 2+l=3,得 x=4。第5講數(shù)的整除性(一)三、四年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被2, 3, 5和4, 8, 9, 6以及11整除的數(shù)的特征，也學(xué)習(xí)了一些整除 的性質(zhì)。這兩講我們系統(tǒng)地復(fù)習(xí)一下數(shù)的整除性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)解答一些問題。數(shù)的整除性質(zhì)主要有：(1)如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被

39、丙數(shù)整除。(2)如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差都能被這個(gè)自然數(shù)整除。(3)如果一個(gè)數(shù)能分別被幾個(gè)兩兩互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)能被這幾個(gè)兩兩互質(zhì)的自然 數(shù)的乘積整除。(4)如果一個(gè)質(zhì)數(shù)能力除兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個(gè)自然數(shù)中的一個(gè)。(5)幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中一個(gè)因數(shù)能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個(gè)數(shù)整除。靈活運(yùn)用以上整除性質(zhì)，能解決許多有關(guān)整除的問題。例1在口里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得七位數(shù)口7358口口能分別被9, 25和8整除。分析與解：分別由能被9, 25和8整除的數(shù)的特征，很難推斷出這個(gè)七位數(shù)。因?yàn)?, 25, 8兩 兩互質(zhì)，由整除的性質(zhì)(3)知

40、，七位數(shù)能被9義25義8二1800整除，所以七位數(shù)的個(gè)位，十位 都是0;再由能被9整除的數(shù)的特征，推知首位數(shù)應(yīng)填4。這個(gè)七位數(shù)是4735800。例2由2000個(gè)1組成的數(shù)111-11能否被41和271這兩個(gè)質(zhì)數(shù)整除？分析與解:因?yàn)?1X271=11111,所以由每5個(gè)1組成的數(shù)11111能被41和271整除。按“11111”把 2000 個(gè) 1 每五位分成一節(jié)，20004-5=400,就有 400 節(jié)，1111,1111,1111。"二>400個(gè) 11111因?yàn)?000個(gè)1組成的數(shù)1111能被Hill整除，而11111能被41和271整除，所以根據(jù) 整除的性質(zhì)(1)可知,由20

41、00個(gè)1組成的數(shù)11111能被41和271整除。例3有四個(gè)數(shù)：76550, 76551, 76552, 76554。能不能從中找出兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被12整除？ 分析與解：根據(jù)有關(guān)整除的性質(zhì)，先把12分成兩數(shù)之積：12=12X1=6X2=3X4。要從已知的四個(gè)數(shù)中找出兩個(gè)，使其積能被12整除，有以下三種情況：(1)找出一個(gè)數(shù)能被12整除，這個(gè)數(shù)與其它三個(gè)數(shù)中的任何一個(gè)的乘積都能被12整除；(2)找出一個(gè)數(shù)能被6整除，另一個(gè)數(shù)能被2整除，那么它們的積就能被12整除；(3)找出一個(gè)數(shù)能被4整除，另一個(gè)數(shù)能被3整除，那么它們的積能被12整除。容易判斷，這四個(gè)數(shù)都不能被12整除，所以第(1)種情況

42、不存在。對(duì)于第(2)種情況，四個(gè)數(shù)中能被6整除的只有76554,而76550, 76552是偶數(shù)，所以可以 選 76554 和 76550, 76554 和 76552。對(duì)于第(3)種情況，四個(gè)數(shù)中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以 可以選 76552 和 76551, 76552 和 76554。綜合以上分析，去掉相同的，可知兩個(gè)數(shù)的乘積能被12整除的有以下三組數(shù)：76550和76554, 76552 和 76554, 76551 和 76552。例4在所有五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能夠被11整除的數(shù)有哪些？分析與解：從題設(shè)的條件分析，對(duì)所求五位數(shù)有兩個(gè)

43、要求：各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43；能被11整除。因?yàn)槟鼙?1整除的五位數(shù)很多，而各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43的五位數(shù)較少，所以應(yīng)選 擇為突破口。有兩種情況：(1)五位數(shù)由一個(gè)7和四個(gè)9組成；(2)五位數(shù)由兩個(gè)8和三個(gè)9組成。上面兩種情況中的五位數(shù)能不能被11整除？ 9, 8, 7如何擺放呢？根據(jù)被11整除的數(shù)的特 征，如果奇數(shù)位數(shù)字之和是27,偶數(shù)位數(shù)字之和是16,那么差是11,就能被11整除。滿足這 些要求的五位數(shù)是：97999, 99979, 98989。例5能不能將從1到10的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個(gè)數(shù)之和都能被3整除？分析與解：10個(gè)數(shù)排成一行的方法很多，逐一試驗(yàn)顯然行不通。我們

44、采用反證法。假設(shè)題目的要求能實(shí)現(xiàn)，那么由題意，從前到后每?jī)蓚€(gè)數(shù)一組共有5組，每組的兩數(shù)之而 能被3整除，推知110的和也應(yīng)能被3整除。實(shí)際上，110的和等于55,不能被3整除。這 個(gè)矛盾說明假設(shè)不成立，所以題目的要求不能實(shí)現(xiàn)。練習(xí)51 .已知4205和2813都是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？ (1)提示：.是。7018和提92分別是4205與2813的和與差。2 .如果兩個(gè)數(shù)的和是64,這兩個(gè)數(shù)的積可以整除4875,那么這兩個(gè)數(shù)的差是多少？ (14)。提示：已知這兩個(gè)數(shù)的積可以整除4875,說明這兩個(gè)數(shù)都是4875的因數(shù)。4875= 3X5X5X5X 13,用這些因子湊成兩

45、個(gè)數(shù)，使它們的和是64,顯然這兩個(gè)數(shù)是3X13=39和5X5=25。它 們的差是39-25=14。3 . 173口是個(gè)四位數(shù)。數(shù)學(xué)老師說：“我在這個(gè)口中先后填入3個(gè)數(shù)字，所得到的3個(gè)四位數(shù)，依 次可以被9, 11, 6整除?！眴枺簲?shù)學(xué)老師先后填入的3個(gè)數(shù)字之和是多少？ (19) 提示：先后填入的三個(gè)數(shù)依次是7, 8, 4。因?yàn)榇殴拂?，觸+ b+虢凝除，推燦二2。又硒瞅嚼,眥確瞅懶,恥詞瓠d= 6,進(jìn) 而知f=4,所求數(shù)為123654和321654。4月卜笳怫翱炭-傷根i嬴其中不同的字母代表16中不同的數(shù)字6要求獨(dú)能被2整除，磕松躺礴樹鐮嬴15的倍數(shù)，曲是6的倍數(shù)。郵獻(xiàn)位腦幾牝各是多奶答案：12

46、3654 和 321654。提不：由題意知，b, d, f是偶數(shù)，e= 5,所以a, c只能是1和3。5 .紅附畔五年級(jí)二班期末數(shù)學(xué)笥卅F均分是90分，總分是兩，這個(gè)班有多少名學(xué)生？提示：總分等于平均分乘以學(xué)生人數(shù)，因?yàn)槠骄?0=9X10,所以總疵福9, 1瞬 撤口B4人二4。所求學(xué)生人數(shù)是4950+90 = 55(人)。6 .能不能將從1到9的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個(gè)數(shù)之和都能被3整除？答案:不能。提示：假設(shè)能。因?yàn)榍皟蓚€(gè)數(shù)的和能被3整除，第2、第3個(gè)數(shù)的和也能被3整除，所以第1、第3兩個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)相同。類似可知，排在第1, 3, 5, 7, 9位的數(shù)除以3的余數(shù)都相同。 在1

47、9中，除以3的余數(shù)相同的數(shù)只有3個(gè)，不可能有5個(gè)。這個(gè)矛盾說明假設(shè)不成立。五年級(jí)奧數(shù)-15 -第6講數(shù)的整除性（二）我們先看一個(gè)特殊的數(shù)lOOlo因?yàn)?001=7X11X13,所以凡是1001的整數(shù)倍的數(shù)都能 被7, 11和13整除。例1 abcabc能否被7, 11和13整除?分析與解：0abcabc = abcXlOO1, 1001是7, 11和13的倍數(shù)，所以abcabc能被7, 11和13整除。能被7, 11和13整除的數(shù)的特征：如果數(shù)A的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）能 被7或11或13整除，那么數(shù)A能被7或11或13整除。否則，數(shù)A就不能被7或

48、11或13整除。 例2判斷306371能否被7整除？能否被13整除？解：因?yàn)?71-306=65, 65是13的倍數(shù)，不是7的倍數(shù)，所以306371能被13整除，不能被7整除。 例3已知10口8971能被13整除，求口中的數(shù)。解：10n8-971=1008-971+n0=37+n0o上式的個(gè)位數(shù)是7,若是13的倍數(shù)，則必是13的9倍， 由13X9-37=80,推知口中的數(shù)是8。舶嬲2傍嬴贏噸題7,踹覦分析界:期捌麗嬴磁否樹,7"3麟,可班題怦位數(shù)進(jìn)行改寫。根據(jù)十進(jìn)制數(shù)的意義,有abbaabbaabba=abbaX 10001000L因?yàn)?00010001各數(shù)位上數(shù)字之和是3,能夠被3

49、整除，所以這個(gè)12位數(shù)能被3整除。根據(jù)能被7 （或13）整除的數(shù)的特征，100010001與（100010-1=） 100009要么都能被7 （或13） 整除，要么都不能被7 （或13）整除。同理，100009與（100-9二）91要么都能被7 （或13）整除，要么都不能被7 （或13）整除。因?yàn)?1=7X13,所以100010001能被7和13整除，推知這個(gè)12位數(shù)能被7和13整除。例5嫖械教”口巴卿7嬲,（那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是幾？ M23個(gè)分析與解：根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，555555與999999都能被7瞬,所喀2與世蟬桐整除.冊(cè)，9舟刪幀，網(wǎng)嫻 定在 四力JQ j-游 M 郵郵因?yàn)?/p>

50、上式中等號(hào)左邊的數(shù)與等號(hào)右邊第一個(gè)數(shù)都能被7整除，所以等號(hào)右邊第二個(gè)數(shù)也能被7 整除，推知55口99能被7整除。根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，口99-55二口44也應(yīng)能被7整除。由口 44能被7整除，易知口內(nèi)應(yīng)是6。下面再告訴大家兩個(gè)判斷整除性的小竅門。判斷一個(gè)數(shù)能否被27或37整除的方法：對(duì)于任何一個(gè)自然數(shù)，從個(gè)位開始，每三位為一節(jié)將其分成若干節(jié)，然后將每一節(jié)上的數(shù)連加, 如果所得的和能被27 （或37）整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被27 （或37）整除；否則，這個(gè)數(shù)就不 能被27 （或37）整除。例6判斷下列各數(shù)能否被27或37整除：（1） 2673135； （2） 8990615496。解：（1）

51、 2673135=2, 673, 135, 2+673+135=810。因?yàn)?10能被27整除，不能被37整除,所以2673135能被27整除,不能被37整除。（2） 8990615496=8, 990, 615, 496, 8+990+615+496=2, 109。2, 109大于三位數(shù)，可以再對(duì)2, 109的各節(jié)求和，2+109=111。因?yàn)?11能被37整除，不能被27整除，所以2109能被37整除，不能被27整除，進(jìn)一步 推知8990615496能被37整除,不能被27整除。由上例看出，若各節(jié)的數(shù)之和大于三位數(shù)，則可以再連續(xù)對(duì)和的各節(jié)求和。判斷一個(gè)數(shù)能否被個(gè)位是9的數(shù)整除的方法：為了敘

52、述方便，將個(gè)位是9的數(shù)記為k9 (= 10k+9),其中k為自然數(shù)。對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù)，去掉這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)后，再加上個(gè)位數(shù)的(k+1)倍。連續(xù)進(jìn)行這一變換。 如果最終所得的結(jié)果等于k9,那么這個(gè)數(shù)能被k9整除；否則，這個(gè)數(shù)就不能被k9整除。例7 (1)判斷18937能否被29整除;(2)判斷296416與37289能否被59整除。解：(1)上述變換可以表示為：撕媽枷螞胡媽北撇機(jī)瞰靴賺醐69醐3娜上$354金之59, 3 7239 3728+9X6 )3782 2x63390- ¥擔(dān)油 >39。由此可知,2964此能被59整除,37289不能被59整除一般地，每進(jìn)行一次變換，被判

53、斷的數(shù)的位數(shù)就將減少一位。當(dāng)被判斷的數(shù)變換到小于除數(shù)時(shí), 即可停止變換，得出不能整除的結(jié)論。練習(xí)61 .下列各數(shù)哪些能被7整除？哪些能被13整除？88205, 167128, 250894, 396500, 675696, 796842, 805532, 75778885。答案能被 7 整除的有 250894, 675696, 805532；能被 13 整除的有 88205, 167128, 805532, 757788852 .六位數(shù)175口62是13的倍數(shù)?？谥械臄?shù)字是幾？答案1。提示：175-62=113,只要口內(nèi)填1,就有175T62二133 .已加優(yōu)數(shù)13sA 6犍7的憾,求心4,六

54、包教嬴礴否初和3整除?4 .12位斑眥趾baab僦否被涮3瞬?5 .33婦必“8翻13整除,耕間口中的教3.6。提示：I38A-679 = 701 + Ao4,能解 而盤XI?；「蝿t點(diǎn)為1010 = 91能被7和13整除,所以10101能枷和13整除， 從而ababab能被7和13整除。5.能。提不：仿例5o6.4。提示：仿例6。7 .九位數(shù)8765E14321能被21整除，求中間口中的數(shù)。7.0。解：因?yàn)?765口4321能被21整除，所以能被7和3整除。由能被7整除，推知下列各式也能被7整除：876504-321=876504+00-321=876183+00, 876- (183+Q0)

55、=693+口0。由(693+00)能被7整除，可求出口二0或7。再由能被3整除的數(shù)的特征，口內(nèi)的數(shù)只能是0。8 .在下列各數(shù)中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？1861026, 1884924, 2175683, 2560437,11159126, 131313555, 266n7778。解.能被 27 整除的數(shù)有：1884924, 2560437, 131313555, 266117778。能被 37 整除的數(shù)有：1861026, 2560437, 11159126, 131313555。9 .在下列各數(shù)中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？55119, 55537, 62899, 7

56、1258,186637, 872231, 5381717。9.能被 19 整除的數(shù)有：55119, 55537, 186637；能被 79 整除的數(shù)有：55537, 71258, 5381717。第7講奇偶性（一）整數(shù)按照能不能被2整除，可以分為兩類：（1）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,（2）不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個(gè)整數(shù)大小相差1,所以肯定是一奇一 偶。因?yàn)榕紨?shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的形式，其中n為整數(shù)；因?yàn)槠鏀?shù)不能被 2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+l的形式，其中n為整數(shù)。每一個(gè)整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個(gè)屬性叫做這個(gè)數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：（1）兩個(gè)奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個(gè)奇偶性不同的數(shù)的和（或差）一定是奇