《直線與橢圓》PPT課件

1、直線與橢圓直線與橢圓的位置關系直線與橢圓的位置關系種類: 相離(沒有交點)相切(一個交點)相交(二個交點)相離(沒有交點)相切(一個交點)相交(二個交點) 一、直線與橢圓的位置關系的斷定mx2+nx+p=0m 0Ax+By+C=0由方程組：0相交方程組有兩解兩個交點代數(shù)方法代數(shù)方法= n2-4mp12222 byax例例1：知直線：知直線 與橢圓與橢圓x2+4y2=2 ，判別，判別 它們的位置關系它們的位置關系.21 xy直線與橢圓位置關系直線與橢圓位置關系例例1：知直線：知直線 與橢圓與橢圓x2+4y2=2 ，判別，判別 它們的位置關系它們的位置關系.21 xy242122yxxy解：聯(lián)立方

2、程組解：聯(lián)立方程組直線與橢圓位置關系直線與橢圓位置關系例例1：知直線：知直線 與橢圓與橢圓x2+4y2=2 ，判別，判別 它們的位置關系它們的位置關系.21 xy242122yxxy解：聯(lián)立方程組解：聯(lián)立方程組消去消去y01452 xx直線與橢圓位置關系直線與橢圓位置關系例例1：知直線：知直線 與橢圓與橢圓x2+4y2=2 ，判別，判別 它們的位置關系它們的位置關系.21 xy242122yxxy解：聯(lián)立方程組解：聯(lián)立方程組消去消去y01452 xx036) 1(54)4(2因為直線與橢圓位置關系直線與橢圓位置關系例例1：知直線：知直線 與橢圓與橢圓x2+4y2=2 ，判別，判別 它們的位置關

3、系它們的位置關系.21 xy242122yxxy解：聯(lián)立方程組解：聯(lián)立方程組消去消去y01452 xx所以方程有兩個不等實根，所以方程有兩個不等實根，036) 1(54)4(2因為直線與橢圓位置關系直線與橢圓位置關系例例1：知直線：知直線 與橢圓與橢圓x2+4y2=2 ，判別，判別 它們的位置關系它們的位置關系.21 xy242122yxxy解：聯(lián)立方程組解：聯(lián)立方程組消去消去y01452 xx所以方程有兩個不等實根，所以方程有兩個不等實根，那么原方程組有兩組那么原方程組有兩組解解, 036) 1(54)4(2因為直線與橢圓位置關系直線與橢圓位置關系例例1：知直線：知直線 與橢圓與橢圓x2+4

4、y2=2 ，判別，判別 它們的位置關系它們的位置關系.21 xy242122yxxy解：聯(lián)立方程組解：聯(lián)立方程組消去消去y01452 xx所以方程有兩個不等實根，所以方程有兩個不等實根，那么原方程組有兩組那么原方程組有兩組解解, 036) 1(54)4(2因為即直線與橢圓相交即直線與橢圓相交.直線與橢圓位置關系直線與橢圓位置關系1、判別直線kx-y+3=0與橢圓的位置關系14y16x22練習變式：假設直線kx-y+3=0與橢圓恒相交，求K的取值范圍14y16x2214160322yxykx020244122kxxk8025680320576222kkk【解析】 由整理得：，01652k45k當

5、，即，即或時，直線與橢圓相交；0802562k， 45k45k當0 即時，直線與橢圓相切； 當0 即4545k時，直線與橢圓相離. 。的位置關系為與橢圓、直線1491222yxkxy1、直線與圓相交的弦長、直線與圓相交的弦長二、直線與橢圓相交的弦長問題1、直線與圓相交的弦長、直線與圓相交的弦長二、直線與橢圓相交的弦長問題1、直線與圓相交的弦長、直線與圓相交的弦長Ax1,y1Bx2,y2二、直線與橢圓相交的弦長問題1、直線與圓相交的弦長、直線與圓相交的弦長Ax1,y1Bx2,y2二、直線與橢圓相交的弦長問題r1、直線與圓相交的弦長、直線與圓相交的弦長d2lAx1,y1Bx2,y2二、直線與橢圓相

6、交的弦長問題r1、直線與圓相交的弦長、直線與圓相交的弦長d2lAx1,y1Bx2,y22、直線與橢圓相交的弦長、直線與橢圓相交的弦長二、直線與橢圓相交的弦長問題r1、直線與圓相交的弦長、直線與圓相交的弦長d2lAx1,y1Bx2,y22、直線與橢圓相交的弦長、直線與橢圓相交的弦長1、直線與圓相交的弦長、直線與圓相交的弦長Ax1,y1dr2l2、直線與橢圓相交的弦長、直線與橢圓相交的弦長Bx2,y2方法方法1：求出：求出A、B坐標，利用兩點間間隔公式；坐標，利用兩點間間隔公式；Ax1,y1Bx2,y2二、直線與橢圓相交的弦長問題1、直線與圓相交的弦長、直線與圓相交的弦長Ax1,y1dr2l2、直

7、線與橢圓相交的弦長、直線與橢圓相交的弦長利用弦長公式利用弦長公式:21221241|xxxxkAB）（Bx2,y2方法方法1：求出：求出A、B坐標，利用兩點間間隔公式；坐標，利用兩點間間隔公式；方法方法2：Ax1,y1Bx2,y2y=kx+b二、直線與橢圓相交-弦長問題1、直線與圓相交的弦長、直線與圓相交的弦長Ax1,y1dr2l2、直線與橢圓相交的弦長、直線與橢圓相交的弦長利用弦長公式利用弦長公式:21221241|xxxxkAB）（212212411yyyyk）（其中其中k 是弦的斜率，是弦的斜率，(x1, y1) 、(x2, y2)是弦的端點坐標是弦的端點坐標.Bx2,y2方法方法1：求

8、出：求出A、B坐標，利用兩點間間隔公式；坐標，利用兩點間間隔公式；方法方法2：Ax1,y1Bx2,y2y=kx+b二、直線與橢圓相交-弦長問題1、直線與圓相交的弦長、直線與圓相交的弦長Ax1,y1dr2l2、直線與橢圓相交的弦長、直線與橢圓相交的弦長利用弦長公式利用弦長公式:21221241|xxxxkAB）（212212411yyyyk）（其中其中k 是弦的斜率，是弦的斜率，(x1, y1) 、(x2, y2)是弦的端點坐標是弦的端點坐標.Bx2,y2方法方法1：求出：求出A、B坐標，利用兩點間間隔公式；坐標，利用兩點間間隔公式；方法方法2：Ax1,y1Bx2,y2設而不求設而不求y=kx+

9、b二、直線與橢圓相交-弦長問題例例1：知直線：知直線 與橢圓與橢圓x2+4y2=2.21 xy242122yxxy解：聯(lián)立方程組解：聯(lián)立方程組消去消去y01452 xx所以方程有兩個實數(shù)根，所以方程有兩個實數(shù)根， (2) 相交所得弦相交所得弦AB的弦長是多少？的弦長是多少？那么原方程組有兩組解那么原方程組有兩組解, 即直線與橢圓相交即直線與橢圓相交.弦長問題弦長問題036) 1(54)4(2(1)(1)判別它們的位置關系判別它們的位置關系. .例例1：知直線：知直線 與橢圓與橢圓x2+4y2=2.21 xy242122yxxy解：聯(lián)立方程組解：聯(lián)立方程組消去消去y01452 xx所以方程有兩個

10、實數(shù)根，所以方程有兩個實數(shù)根， (2) 相交所得弦相交所得弦AB的弦長是多少？的弦長是多少？解解:2122124)1|xxxxkAB（那么原方程組有兩組解那么原方程組有兩組解, 即直線與橢圓相交即直線與橢圓相交.036) 1(54)4(2(1)(1)判別它們的位置關系判別它們的位置關系. .弦長問題弦長問題例例1：知直線：知直線 與橢圓與橢圓x2+4y2=2.21 xy242122yxxy解：聯(lián)立方程組解：聯(lián)立方程組消去消去y01452 xx所以方程有兩個實數(shù)根，所以方程有兩個實數(shù)根， (2) 相交所得弦相交所得弦AB的弦長是多少？的弦長是多少？解解:2122124)1|xxxxkAB（那么原

11、方程組有兩組解那么原方程組有兩組解, 即直線與橢圓相交即直線與橢圓相交.51542121xxxx036) 1(54)4(2(1)(1)判別它們的位置關系判別它們的位置關系. .弦長問題弦長問題例例1：知直線：知直線 與橢圓與橢圓x2+4y2=2.21 xy242122yxxy解：聯(lián)立方程組解：聯(lián)立方程組消去消去y01452 xx所以方程有兩個實數(shù)根，所以方程有兩個實數(shù)根， (2) 相交所得弦相交所得弦AB的弦長是多少？的弦長是多少？解解:2122124)1|xxxxkAB（那么原方程組有兩組解那么原方程組有兩組解, 即直線與橢圓相交即直線與橢圓相交.51542121xxxx036) 1(54)

12、4(2526)51(4)54)(11 (22(1)(1)判別它們的位置關系判別它們的位置關系. .弦長問題弦長問題關于弦長計算關于弦長計算: :直線與直線與二次二次曲線相交所得的弦長曲線相交所得的弦長 直線具有斜率直線具有斜率k,直線與直線與二次二次曲線的兩個交點坐標分別為曲線的兩個交點坐標分別為1122( , ), ( ,)A x yB x y,則它的弦長則它的弦長 22212121 21(1) ()4ABxxxxxxkk1211yy2k 注注:實質上是由兩點間距離公式推導實質上是由兩點間距離公式推導出來的出來的,只是只是用了用了交點坐標交點坐標設而不求的技巧設而不求的技巧而已而已(因為因為

13、1212()yyxxk，運用韋達定理來進行，運用韋達定理來進行計算計算. 當直線斜率不存在是當直線斜率不存在是,則則12AByy. 弦長問題小結弦長問題小結例例 2 2: :已已知知點點12FF、分分別別是是橢橢圓圓22121xy 的的左左、右右 例例 2 2: :已已知知點點12FF、分分別別是是橢橢圓圓22121xy 的的左左、右右 例例 2 2: :已已知知點點12FF、分分別別是是橢橢圓圓22121xy 的的左左、右右 例例 2 2: :已已知知點點12FF、分分別別是是橢橢圓圓22121xy 的的左左、右右 例例 2 2: :已已知知點點12FF、分分別別是是橢橢圓圓22121xy

14、的的左左、右右 例例 2 2: :已已知知點點12FF、分分別別是是橢橢圓圓22121xy 的的左左、右右 例例 2 2: :已已知知點點12FF、分分別別是是橢橢圓圓22121xy 的的左左、右右 例例 2 2: :已已知知點點12FF、分分別別是是橢橢圓圓22121xy 的的左左、右右 例3知橢圓 及直線當直線和橢圓有公共點時，務虛數(shù)的取值范圍；求橢圓截得的最長弦所在的直線方程分析：用方程組解的情況來判別，從方程角度看，主要是由一元二次方程根的判別式解:解方程組消去 整理得my2241xyyxm0,1422mxyyx012522mmxx.1620) 1(204222mmm， 由韋達定理得

15、， 弦長 ， 當 時，L獲得最大值為，此時直線方程為 515222121mxxmxx221212222L= (1+k ) (x +x ) -4x x4m4(m -1)2= 2-=10-8m25550mxy .2525,0162002mm解之得得由 求橢圓求橢圓 被過右焦點且垂被過右焦點且垂 直于直于x軸的直線所截得的弦長。軸的直線所截得的弦長。1422 yx練習練習 1ABx xyo中點弦問題中點弦問題 例例4 過橢圓過橢圓 內一點內一點 引一引一條弦，使弦被點條弦，使弦被點 平分，求這條弦所在直平分，求這條弦所在直線的方程線的方程141622yx) 1 , 2(MM例例4 過橢圓過橢圓 內一

16、點內一點 引一引一條弦，使弦被點條弦，使弦被點 平分，求這條弦所在直平分，求這條弦所在直線的方程線的方程141622yx) 1 , 2(MMAM(2,1)x xyoB中點弦問題中點弦問題 例例4 過橢圓過橢圓 內一點內一點 引一引一條弦，使弦被點條弦，使弦被點 平分，求這條弦所在直平分，求這條弦所在直線的方程線的方程141622yx) 1 , 2(MMM(2,1)x xyo中點弦問題中點弦問題 解解:依題意依題意,所求直線斜率存在所求直線斜率存在,M(2,1)x xyo141622yx中點弦問題中點弦問題 解解:依題意依題意,所求直線斜率存在所求直線斜率存在,設它的方程為設它的方程為y-1=k

17、(x-2)M(2,1)x xyo141622yx中點弦問題中點弦問題 解解:依題意依題意,所求直線斜率存在所求直線斜率存在,設它的方程為設它的方程為y-1=k(x-2)把它代入橢圓方程并整理得把它代入橢圓方程并整理得:016) 12(4)2(8) 14(2222kxkkxkM(2,1)x xyo141622yx中點弦問題中點弦問題 解解:依題意依題意,所求直線斜率存在所求直線斜率存在,設它的方程為設它的方程為y-1=k(x-2)把它代入橢圓方程并整理得把它代入橢圓方程并整理得:016) 12(4)2(8) 14(2222kxkkxk設直線與橢圓的交點為設直線與橢圓的交點為:A (x1 , y1

18、)、B (x2 , y2)Ax2 , y2M(2,1)x xyox1 , y1B141622yx中點弦問題中點弦問題 解解:依題意依題意,所求直線斜率存在所求直線斜率存在,設它的方程為設它的方程為y-1=k(x-2)把它代入橢圓方程并整理得把它代入橢圓方程并整理得:016) 12(4)2(8) 14(2222kxkkxk設直線與橢圓的交點為設直線與橢圓的交點為:A (x1 , y1)、B (x2 , y2)于是于是14)2(82221kkkxxAx2 , y2M(2,1)x xyox1 , y1B141622yx中點弦問題中點弦問題 解解:依題意依題意,所求直線斜率存在所求直線斜率存在,設它的

19、方程為設它的方程為y-1=k(x-2)把它代入橢圓方程并整理得把它代入橢圓方程并整理得:016) 12(4)2(8) 14(2222kxkkxk設直線與橢圓的交點為設直線與橢圓的交點為:A (x1 , y1)、B (x2 , y2)于是于是14)2(82221kkkxx又又M為為AB的中點的中點Ax2 , y2M(2,1)x xyox1 , y1B141622yx中點弦問題中點弦問題 解解:依題意依題意,所求直線斜率存在所求直線斜率存在,設它的方程為設它的方程為y-1=k(x-2)把它代入橢圓方程并整理得把它代入橢圓方程并整理得:016) 12(4)2(8) 14(2222kxkkxk設直線與

20、橢圓的交點為設直線與橢圓的交點為:A (x1 , y1)、B (x2 , y2)于是于是14)2(82221kkkxx又又M為為AB的中點的中點214)2(422221kkkxxAx2 , y2M(2,1)x xyox1 , y1B141622yx中點弦問題中點弦問題 解解:依題意依題意,所求直線斜率存在所求直線斜率存在,設它的方程為設它的方程為y-1=k(x-2)把它代入橢圓方程并整理得把它代入橢圓方程并整理得:016) 12(4)2(8) 14(2222kxkkxk設直線與橢圓的交點為設直線與橢圓的交點為:A (x1 , y1)、B (x2 , y2)于是于是14)2(82221kkkxx

21、又又M為為AB的中點的中點214)2(422221kkkxx21ABk解得：Ax2 , y2M(2,1)x xyox1 , y1B141622yx中點弦問題中點弦問題 解解:依題意依題意,所求直線斜率存在所求直線斜率存在,設它的方程為設它的方程為y-1=k(x-2)把它代入橢圓方程并整理得把它代入橢圓方程并整理得:016) 12(4)2(8) 14(2222kxkkxk設直線與橢圓的交點為設直線與橢圓的交點為:A (x1 , y1)、B (x2 , y2)于是于是14)2(82221kkkxx又又M為為AB的中點的中點214)2(422221kkkxx21ABk解得：Ax2 , y2M(2,1

22、)x xyox1 , y1B故所求直線的方程為故所求直線的方程為x+2y-4=0141622yx中點弦問題中點弦問題 中點弦問題小結中點弦問題小結 弦中點問題的兩種處置方法：弦中點問題的兩種處置方法： 1聯(lián)立方程組，消去一個未知數(shù)，利用韋達定了解之；聯(lián)立方程組，消去一個未知數(shù)，利用韋達定了解之； 弦中點問題的兩種處置方法：弦中點問題的兩種處置方法：中點弦問題小結中點弦問題小結 1聯(lián)立方程組，消去一個未知數(shù)，利用韋達定了解之；聯(lián)立方程組，消去一個未知數(shù)，利用韋達定了解之； 2點差法：將弦的兩端點坐標，代入曲線方程相減后點差法：將弦的兩端點坐標，代入曲線方程相減后 分解因式，便可與弦所在直線的斜率

23、及弦的中點聯(lián)分解因式，便可與弦所在直線的斜率及弦的中點聯(lián) 系起來。系起來。 弦中點問題的兩種處置方法：弦中點問題的兩種處置方法：中點弦問題小結中點弦問題小結 例例5、知橢圓、知橢圓 , 求斜率為求斜率為2的直線截橢圓所得的直線截橢圓所得的平行弦的中點軌跡方程。的平行弦的中點軌跡方程。1222 yx例題講解例題講解 例例5、知橢圓、知橢圓 , 求斜率為求斜率為2的直線截橢圓所得的直線截橢圓所得的平行弦的中點軌跡方程。的平行弦的中點軌跡方程。1222 yxAx xyoB例題講解例題講解 例例6.中心在原點一個焦點為的橢中心在原點一個焦點為的橢圓的截直線所得弦的中點橫坐圓的截直線所得弦的中點橫坐標為

24、，求橢圓的方程標為，求橢圓的方程23 xy21)50, 0 (1F, a b 解：設所求橢圓的方程為由得把直線方程代入橢圓方程，整理得 設弦的兩個端點為，那么由根與系數(shù)的關系得 又中點的橫坐標為由此得 12222byax)50, 0(F5022ba0)4(12)(222222abxbxba),(11yxA),(22yxB22221912babxx21223ba 25,7522ba1257522xy.故所求的橢圓方程為: 例例7知橢圓知橢圓 與直線與直線 相交于相交于 兩點，兩點， 是的是的 中中點假設點假設 ， 斜率為斜率為 為原點，為原點，求橢圓方程求橢圓方程122nymx1 yx22AB

25、ABc ccABoc22 例例7知橢圓知橢圓 與直線與直線 相交于相交于 兩點，兩點， 是的是的 中中點假設點假設 ， 斜率為斜率為 為原點，為原點，求橢圓方程求橢圓方程122nymx1 yx22AB ABc ccABoc22分析：本例是一道綜合性比較強的問題，求解分析：本例是一道綜合性比較強的問題，求解此題要利用中點公式求出點坐標，從而得的斜此題要利用中點公式求出點坐標，從而得的斜率，另外還要用到弦長公式：率，另外還要用到弦長公式：2121ABkxx解：由方程組解：由方程組1122yxnymx消去消去 整理得：整理得：y012)(2nnxxnm112233(,)(,)(,)A xyB xyC

26、xy設、1212121212120021,222()2,22nnxxxxmnmnnmyyxxmnmnxxyynmxymnmn則22mn則 由 題 設 得 :22212121221(1) ()424(1)2 ()22ABkxxkxxx xnnmnmn又即：即：1nmmnnm解得解得.32,31nm132322yx所求的橢圓方程為所求的橢圓方程為課堂練習課堂練習 1、過橢圓、過橢圓 x2+2y2=4 的左焦點作傾斜角為的左焦點作傾斜角為300的直線與的直線與橢圓相交于橢圓相交于A、B兩點兩點, 那么弦長那么弦長 |AB|= _ .2、假設對恣意實數(shù)、假設對恣意實數(shù)k，直線，直線y=kx+1與橢圓與橢圓 恒恒有公共點，那么有公共點，那么m的范圍是的范圍是 A、0，1 B、0，5 C、 1，55，+ D、1，+ 1522myx課堂練習課堂練習 1、過橢圓、過橢圓 x2+2y2=4 的左焦點作傾斜角為的左焦點作傾斜角為300的直線與的直線與橢圓相交于橢圓相交于A、B兩點兩點, 那么弦長那么弦長 |AB|= _ .5162、假設對恣意實數(shù)、假設對恣意實數(shù)k，直線，直線y=kx+1與橢圓與橢圓 恒恒有公共點，那么有公共點，那么