MATLAB在求二階系統(tǒng)中階躍響應(yīng)的分析及應(yīng)用

1、武漢理工大學(xué)基礎(chǔ)技能強(qiáng)化訓(xùn)練課程設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū)摘要二階系統(tǒng)控制系統(tǒng)按數(shù)學(xué)模型分類(lèi)時(shí)的一種形式，是用數(shù)學(xué)模型可 表示為二階線 性常微分方程的系統(tǒng)。二階系統(tǒng)的解的形式，可由對(duì)應(yīng)傳遞函數(shù) W(s)的分母多項(xiàng) 式P (s)來(lái)判別和劃分，P (s)的一般形式為變換算子s的二次三項(xiàng)代數(shù)式。代數(shù)方程P (s)=0的根，可能出現(xiàn)四種情況。1. 兩個(gè)實(shí)根的情況，對(duì)應(yīng)丁兩個(gè)申聯(lián)的一階系統(tǒng)。如果兩個(gè)根都是負(fù)值，就 為非周期性收斂的穩(wěn)定情況。2. 當(dāng)al = 0, a2>0 ,即一對(duì)共軸虛根的情況，將引起頻率固定的等幅振蕩，是 系統(tǒng)不穩(wěn)定的一種表現(xiàn)。3. 當(dāng)al <0 , al -4a2 <0，即共鑰復(fù)

2、根有正實(shí)部的情況，對(duì)應(yīng)丁系 統(tǒng)中發(fā)生發(fā) 散型的振蕩，也是不穩(wěn)定的一種表現(xiàn)。4. 當(dāng)al >0 , al -4a2 <0，即共鑰復(fù)根有負(fù)實(shí)部的情況，對(duì)應(yīng)丁收斂型振蕩， 且實(shí)部和虛部的數(shù)值比例對(duì)輸出過(guò)程 有很大的影響。一般以阻尼系數(shù)，來(lái)表征， 取在0.4 0.8之間為宜。當(dāng)，>0.8后，振蕩的作用 就不顯著，輸出的速度也比較 慢。而I <0.4時(shí)，輸出 量就帶有明顯的振蕩和較大的超調(diào)量，衰減也較慢，這也 是控制系統(tǒng)中所不希望的。當(dāng)激勵(lì) 為單位階躍函數(shù)時(shí)，電路的零 狀態(tài)響應(yīng)稱(chēng)為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱(chēng)階躍 響應(yīng)。階躍響應(yīng)g(t)定義為：系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)u(t )的激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀

3、態(tài) 響應(yīng)。關(guān)鍵詞：二階系統(tǒng) 階躍響應(yīng)MATLAB/S im uli nk3MATLAEfc求二階系統(tǒng)中階躍響應(yīng)的分析及應(yīng)用1訓(xùn)練目的和要求通過(guò)對(duì)MATLAEBM軟件的語(yǔ)言的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)在MATLAB中解決電路原理、模擬電子技術(shù)基礎(chǔ)、數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)等所學(xué)課本上的問(wèn)題，進(jìn)一 步熟悉并掌握 MATLAB電路、信號(hào)與系統(tǒng)、自動(dòng)控制原理、數(shù)字信號(hào)處理等中的應(yīng) 用。通過(guò)對(duì)軟件的應(yīng)用，鞏固已學(xué)知識(shí)。以求達(dá)到通過(guò)訓(xùn)練能熟練掌握MATLAB的應(yīng)用，能夠深入到實(shí)際問(wèn)題中。要求通過(guò)理論分析所要求題目并通過(guò)MATLAEM比較實(shí)驗(yàn)結(jié)果。2理論分析計(jì)算i2-已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 S +2/+1，求其階躍響應(yīng)。并分析 -變

4、化時(shí)，其階躍響應(yīng)的變化情況。本題要求求解一個(gè)簡(jiǎn)單的二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的階躍響應(yīng)，研究二階系統(tǒng)的特征參數(shù)，當(dāng)無(wú)阻尼自然頻率 斜為1時(shí)阻尼比匚對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響。了解一下基礎(chǔ)知識(shí)后就可以很自然的解決題目了，我們可以對(duì)二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進(jìn)行分析后對(duì)無(wú)阻尼自然頻率賦值1來(lái)求解。然后再用MATLAB仿真。二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式：G (s)=2 222T s 2 Ts 1 s 2 ns n其中，T一為時(shí)間常數(shù)，也稱(chēng)為無(wú)阻尼自由振蕩周期CCn 一自然頻率（或無(wú)阻尼振蕩周期），一阻尼比（相對(duì)阻尼系數(shù)）二階系統(tǒng)的特征方程：S22 S 2 = 0nn特征根為:由題目可知，與n=1, t為一參數(shù)，因此對(duì)丁的取值

5、進(jìn)行分類(lèi)說(shuō)明欠阻尼0<，<1C(s)=(s)R(s)=S222 nS n22(S n)' d22(S n)' dtnth(t) = 1 - e cos dt sind，.2=1,= e nt sin( dt )2將斜=1帶入，可得到阻尼比在此區(qū)問(wèn)內(nèi)時(shí)的階躍響應(yīng)武漢理工大學(xué)基礎(chǔ)技能強(qiáng)化訓(xùn)練課程設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū)(2)臨界阻尼C (s) =2(S n )11" n1S S (S n ) 2 S n臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)稱(chēng)為臨界阻尼響應(yīng)c(t) = 1 - e nt nt - e nt = 1 - e nt(1 nt) t 一 0將缶n=1帶入，可得到阻

6、尼比在此區(qū)問(wèn)內(nèi)時(shí)的階躍響應(yīng)。特點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)上升，無(wú)振蕩，無(wú)超調(diào)，趨近于1,無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差2'n12'n* (S -SQ(S f) S S .n( _2)S ")SC(s)A1A2A3-1(t-0c(t)_ 1 1。 U)" +1。汽 機(jī)* 品t2 2-1(-.： 2 -1)4 22-1("2-1)將研=1帶入，可得到阻尼比在此區(qū)問(wèn)內(nèi)時(shí)的階躍響應(yīng)。特點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)上升，無(wú)振蕩，過(guò)度過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)，趨近丁1,無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差(4)無(wú)阻尼狀態(tài) =0Sl,2 = - jw。系統(tǒng)有一對(duì)共鑰虛根系統(tǒng)在無(wú)阻尼下的單位階躍響應(yīng)為：c(t) = 1 - cos w nt (t - 0)結(jié)論

7、：二階系統(tǒng)的阻尼比 E決定了其振蕩特性K < 0時(shí)，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；> 1時(shí)，無(wú)振蕩、無(wú)超調(diào)，過(guò)渡過(guò)程長(zhǎng)；0< <1時(shí)，有振蕩，E愈小，振蕩愈嚴(yán)重，但響應(yīng)愈快；t = 0時(shí)，出現(xiàn)等幅振蕩。3 MATLAB 仿真根據(jù)以上理論分析，用MATLAB編程分析?？梢杂脙煞N方法求解。3.1程序一(用函數(shù)來(lái)求解)由傳遞函數(shù)與階躍響應(yīng)的關(guān)系，編程如下:C(s) = (s)R(s)=S152匚2 S SJ nn武漢理工大學(xué)基礎(chǔ)技能強(qiáng)化訓(xùn)練課程設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū)syms s%定義系統(tǒng)參數(shù)ssyms x%定義阻尼比xilap lace( (1/(sA3 + 2*x*sA2 + s )%拉普

8、拉斯逆變換函數(shù)求解ans =1-(cosh(t*(xA2-1)A(1/2) + (x*sinh(t* (xA2-1)A(1/2)/(xA2-1)A(1/2)/exp(t*x)%帶有阻尼比參數(shù)的階躍響應(yīng)3.2程序二(使用內(nèi)置函數(shù) step )kos ai = 0. 1: 0.1 :1.0 ,2.0 ;fig ur e( 1)hol d onfor i =k osainum=1;den = 1, 2*i, 1;ste p( nu m,den)endtit le (' The Ste p Resp onse of T wo O rd er Sy st ernl);hol d of f結(jié)果如圖

9、3- 1所示：9The- S-te-(3- Rc-s-p-on-at oT Tw o Ord e-r S-vstcrm圖3-1二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)階躍響應(yīng)4 Simulink 仿真4.1 Simulink 簡(jiǎn)介Simul in k是MATLAB中的一種可 視化仿真工具, 是一種 基丁 MATLAB的框圖 設(shè)計(jì)環(huán)境，是實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的一個(gè)軟件包，被廣 泛應(yīng)用丁線性 系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號(hào)處理的建模和仿真中。Sim ul in k可以用 連續(xù)采樣時(shí)間、離散采樣時(shí)間或兩種混合的采樣時(shí)間進(jìn)行建模，它也支持多速率 系統(tǒng)，也就是系統(tǒng)中的不同部分具有 不同的采樣速率。為了創(chuàng)建動(dòng) 態(tài)系

10、統(tǒng)模型， Simul in k提供了一個(gè)建立模型方塊圖的圖形用 戶(hù)接口（ GU）,這個(gè)創(chuàng)建過(guò)程只 需單擊和拖動(dòng)鼠標(biāo)操作就能完成，它提供了一種更快捷、直接明了的方式，而且 用戶(hù)可以立即看到系統(tǒng)的仿真結(jié)果。4.2仿真過(guò)程1. 根據(jù)實(shí)驗(yàn)選擇好仿真元件，設(shè)置仿真參數(shù)和選擇解法器2. 運(yùn)行仿真3. 仿真結(jié)果分析建立仿真界面如圖，輸入幾個(gè)函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。圖4-1 ( =0.1時(shí)仿真圖圖4-2 ( =0.1時(shí)仿真結(jié)果對(duì)(取不同值進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果如下:圖4-3 ( =0.3時(shí)仿真結(jié)果圖4-4 ( =1時(shí)仿真結(jié)果圖4-5( =0.1時(shí)仿真結(jié)果分析比較可知以上幾種方法結(jié)果一樣。5小結(jié)通過(guò)本次強(qiáng)化訓(xùn)練，我基本了解并掌握

11、了MATLABft電路原理中的應(yīng)用，知道了如何在MATLAB以及simulink 里面處理分析電路方面的問(wèn)題，對(duì)待電子方面知識(shí)學(xué) 習(xí)我乂了解了一個(gè)強(qiáng)有力的仿真工具，對(duì)以后也會(huì)有很大的幫助。通過(guò)本次實(shí)驗(yàn)了解到，MATLAB是矩陣實(shí)驗(yàn)室(Matrix Laboratory )的簡(jiǎn)稱(chēng)，是美國(guó)MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用丁算法開(kāi)發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分 析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境，主要包括MATLABffi Simulink兩大部分。MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工 程中常用 的形式十分相似，故用MATLAB來(lái)解算問(wèn)題要比用C, FORTRAN

12、等語(yǔ)言完成相同的 事情簡(jiǎn) 捷得多，并且math wor k也吸收了像Mapl e等軟件的優(yōu)點(diǎn)，使MATLAB成為 一個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件。在新的版本中 也加入了對(duì)C, FORTRAN, C+ , JAVA的支 持?？?以直接調(diào)用，用戶(hù)也可以將自己編寫(xiě)的實(shí)用程序?qū)氲組ATLAB函數(shù)庫(kù) 中方 便自己以后調(diào)用。應(yīng)用到自動(dòng)控制方面也很方便。通過(guò)MATLAB在電路原理二階系統(tǒng)求階躍響應(yīng)的分析實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，不僅了解 到了 MATLAB強(qiáng)大的功能，而且分析起來(lái)非常方便，各種參數(shù)調(diào)整起來(lái)很簡(jiǎn)潔， 生成圖像后分析結(jié)果一目了然?？梢苑浅Ｖ庇^的比較分析隨阻尼比參數(shù)變化節(jié)約 相應(yīng)的變化，比較可以得出工程中適 合的阻尼比范圍。對(duì)以后的學(xué)習(xí)以及工程中 的可能應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。這次實(shí)驗(yàn)后，深深的被MATLAB強(qiáng)大的計(jì)算分析仿真功能所吸引，決心以后 要更加 深入的了解并且掌握與運(yùn)用它 來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。總之，受益 匪淺。1 陳曉平等.MAT