(黃夢(mèng)莉)研析二重極限與累次極限的關(guān)系

1、 通化師范學(xué)院本 科 生 畢 業(yè) 論 文（ 2016 屆） 題 目 研析二重極限與累次極限的關(guān)系 學(xué) 院 數(shù)學(xué)學(xué)院 專(zhuān) 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí) 12級(jí)01班 作者姓名 黃夢(mèng)莉 學(xué)號(hào) 201206010104 指導(dǎo)教師 王宏志 職稱(chēng) 副教授 學(xué)位 碩士 論文成績(jī) 2016 年 5 月目 錄摘要 1關(guān)鍵詞 1中文摘要 1英文關(guān)鍵詞 11 引言12 預(yù)備知識(shí)13 二重極限與累次極限之間的聯(lián)系33.1二重極限與累次極限沒(méi)有必然的聯(lián)系33.2二重極限與累次極限在一定條件下的聯(lián)系43.3利用累次極限求解二重極限53.4數(shù)列的二重極限與累次極限的關(guān)系6 4 結(jié)束語(yǔ)65 參考文獻(xiàn)6 研析二重極限與累次極限

2、的關(guān)系數(shù)學(xué)學(xué)院1201 黃夢(mèng)莉 摘 要：二元函數(shù)極限概念是多元函數(shù)微積分學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，本文利用二重極限與累次極限的概念，討論它們的本質(zhì)性區(qū)別，歸納總結(jié)了二重極限與累次極限存在性之間的內(nèi)在聯(lián)系. 關(guān)鍵詞：多元函數(shù)；二重極限；累次極限；關(guān)系Research on the Relationship between Double Limit and Repeated LimitClass1201 School of Mathematics HUANG Mengli Abstract: The concept of limit of two elements function is an impor

3、tant content of multivariate function differential calculus, using the concept of double limit and the repeated limit, discussed their essential differences, summarizes the inner relation between the double limit and double limit. Key words: multivariate;double limit; repeated limit; relationship1 引

4、言 二元函數(shù)的兩種極限二重極限和累次極限，二重極限在多元函數(shù)微積分中占有突出地位，對(duì)于二重極限與累次極限的正確理解和求解是研究多元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)，而二重極限與累次極限的關(guān)系是其重要內(nèi)容對(duì)于初學(xué)者，很容易對(duì)兩者之間的關(guān)系產(chǎn)生疑問(wèn)及誤解，甚至分不清這兩種極限的概念為了正確認(rèn)識(shí)這兩種極限之間的關(guān)系，首先要掌握這兩種極限的概念，清楚理解這兩種極限實(shí)質(zhì)性的區(qū)別，其次深入研究這兩種極限存在性的聯(lián)系掌握二重極限與累次極限的概念及其關(guān)系有利于研究多元函數(shù)微積分及多元函數(shù)極限的計(jì)算在本文中還將介紹二重極限與累次極限的關(guān)系同樣適用于數(shù)列中數(shù)列的二重極限與累次極限的關(guān)系，在這里的數(shù)列是指二重?cái)?shù)列，而二重?cái)?shù)列可以看

5、成二元函數(shù).2 預(yù)備知識(shí) （1）二重極限與累次極限的概念定義1 設(shè)為定義在上的 二元函數(shù)，為的一個(gè)聚點(diǎn)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).若對(duì)任給正數(shù)，總存在某正數(shù)，使得當(dāng) 時(shí)，都有 . 則稱(chēng)在上當(dāng)時(shí)以為極限，記作 . 在對(duì)于不致產(chǎn)生誤解時(shí)，也可以簡(jiǎn)單地寫(xiě)作 . 當(dāng) 分別用坐標(biāo)，表示時(shí)，上式也常寫(xiě)作 . 在所研究的極限 中，兩個(gè)自變量同時(shí)以任何方式趨于，這種極限也稱(chēng)為二重極限定義2 設(shè),在軸、軸上的投影分別為，即 ,.，分別是，的聚點(diǎn)若對(duì)每一個(gè)，存在極限 ，它一般與有關(guān)，故記作 ，如果進(jìn)一步還存在極限，則稱(chēng)此極限為先對(duì)，后對(duì)的累次極限記作 . 類(lèi)似地可以定義先對(duì)后對(duì)的累次極限 . （2）二重?cái)?shù)列及其極限的定義

6、定義3 用來(lái)表示下面的點(diǎn)集： ， 在點(diǎn)集上定義的函數(shù)，通常寫(xiě)成數(shù)列的形式：. 稱(chēng)做二重?cái)?shù)列這種數(shù)列也可以寫(xiě)成“無(wú)窮階矩陣”的形式： 當(dāng),以任意的方式無(wú)限增大時(shí)，這個(gè)二重?cái)?shù)列的極限定義為 .3 二重極限與累次極限的關(guān)系3.1二重極限與累次極限沒(méi)有必然的聯(lián)系 累次極限與二重極限是兩個(gè)獨(dú)立的不同概念，它們的存在性沒(méi)有必然的包含關(guān)系由此開(kāi)始將逐一進(jìn)行分類(lèi)并說(shuō)明二重極限與累次極限沒(méi)有什么關(guān)聯(lián)3.1.1二重極限存在，而兩個(gè)累次極限不存在 例1 . 解 ，由兩邊夾定理可知：，但對(duì)任意給定的，由于，而不存在，所以 不存在，即 不存在，同理， 也不存在 由例1發(fā)現(xiàn)二重極限的存在并不能保證累次極限的存在3.1.2

7、二重極限與一個(gè)累次極限存在，另一個(gè)累次極限不存在由例1知道二重極限存在，兩個(gè)累次極限不存在，但一個(gè)二元函數(shù)的兩個(gè)累次極限不一定相等，雖然只是對(duì)兩個(gè)不同變量求極限的次序不同，但結(jié)果并不一定總是相等的，有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)一個(gè)累次極限存在而另一個(gè)不存在的情形例2 函數(shù)滿(mǎn)足，不存在.又 ，故.3.1.3二重極限與累次極限都不存在 以上例1與例2都是說(shuō)明二重極限存在時(shí)，累次極限的存在性無(wú)法保證，由下面例3與例4可以看到二重極限與累次極限都可以不存在. 例3 設(shè)，則其在重極限與累次極限都不存在. 例4 設(shè)在點(diǎn)的累次極限 不存在，也不存在，即函數(shù)的兩個(gè)累次極限均不存在，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿軸正向趨于時(shí)，不存在，故函數(shù)的二重

8、極限也不存在3.1.4 兩個(gè)累次極限存在且相等時(shí)，二重極限不存在 由例5開(kāi)始說(shuō)明累次極限的存在也不能保證二重極限的存在性 例5 ，在處的兩個(gè)累次極限都存在且相等，再求二重極限，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿著直線而趨于定點(diǎn)時(shí)，由于此時(shí)，因而有，這一結(jié)果說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)沿著不同斜率的直線趨于原點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的極限值也不同，因此所討論的極限不存在3.1.5 兩個(gè)累次極限存在且不相等時(shí)，二重極限不存在 同樣的，當(dāng)兩個(gè)累次極限結(jié)果不同時(shí)，也不能保證二重極限的存在性 例6設(shè)，它關(guān)于原點(diǎn)的兩個(gè)累次極限分別為： . .當(dāng)沿斜率不同的直線，時(shí)，對(duì)應(yīng)的極限值也不同，因此該函數(shù)的二重極限不存在3.2 二重極限與累次極限在一定條件下的聯(lián)系 通過(guò)以上

9、的五個(gè)情形以及例題，已清楚地了解到累次極限與二重極限之間的存在性并沒(méi)有什么關(guān)聯(lián)，那么在它們之間是否真的毫無(wú)關(guān)系可尋的呢？并非如此定理1 若在點(diǎn)存在重極限 與累次極限 則它們必相等 由定理1可導(dǎo)出如下兩個(gè)便于應(yīng)用的推論推論1 若累次極限 ，和重極限 都存在，則三者相等推論2 若累次極限 與 存在但不相等，則重極限必不存在 定理1保證了在二重極限與其中一個(gè)累次極限都存在時(shí)，它們必相等，但它們對(duì)另一個(gè)累次極限的存在性卻不能得出什么結(jié)論 推論1給出了累次極限次序可交換的一個(gè)充分條件；推論2可用于否定重極限的存在性.3.3 利用累次極限求解二重極限求二重極限的方法大致可歸納為如下幾種： （1）利用二重極

10、限的“”定義； （2）利用有界變量替換與無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量及等價(jià)無(wú)窮小的代換； （3）利用兩邊夾定理； （4）利用變量替換，將二重極限轉(zhuǎn)化為已知極限或一元函數(shù)極限 本文將重點(diǎn)分析如何利用累次極限求解二重極限二重極限與累次極限雖然沒(méi)有必要的聯(lián)系，但是仍然可以通過(guò)累次極限和二重極限的一些關(guān)系來(lái)求解二重極限 例7 解 先求累次極限，再利用定義驗(yàn)證也是二重極限的值事實(shí)上，對(duì)于任意的，都有，取，當(dāng)時(shí)，有，即3.4 數(shù)列的二重極限與累次極限的關(guān)系 考慮二重?cái)?shù)列，這個(gè)數(shù)列的二重極限和累次極限分別表示為，已經(jīng)知道，二重?cái)?shù)列可以看成二元函數(shù)，這樣就有下面的結(jié)論定理2 假設(shè)(1)二重極限存在；(2)對(duì)于所

11、有充分大的n，極限存在；那么先后的累次極限一定存在，并且等于二重極限： . 說(shuō)明：關(guān)于先后的累次極限，也有類(lèi)似的結(jié)論 定理3 對(duì)于數(shù)列.假設(shè) （1）二重極限存在； （2）對(duì)于所有充分大的，極限存在；對(duì)于所有充分大，極限也存在；那么兩個(gè)累次極限都存在，并且都等于二重極限 . 由此就可以看出，二重?cái)?shù)列的累次極限與二重極限的關(guān)系與上文所提的關(guān)系存在相似，所以累次極限與二重極限的關(guān)系同樣適用于數(shù)列中，這也便于記憶和了解累次極限與二重極限的關(guān)系4 結(jié)束語(yǔ) 在前文中可以知道二重極限與累次極限的存在性彼此不能等價(jià)也就是說(shuō)，二重極限的存在不能保證累次極限的存在；兩個(gè)累次極限存在且相等，也不能保證二重極限的存在

12、，更不用說(shuō)三個(gè)極限能相等了二重?cái)?shù)列的極限也符合這樣的規(guī)律參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,2002. 2同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)M.上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,2004.3趙麗琴,白云芬.累次極限與二重極限的關(guān)系研究J.石家莊學(xué)院學(xué)報(bào),2005,7(3):19-20.4劉玉璉,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義M.北京:高等教育出版社,2003.5戴中元.二重極限與累次極限的聯(lián)系及應(yīng)用J.高等數(shù)學(xué)研究,2013,16(2):24-27.6董建偉.數(shù)學(xué)分析中的非蘊(yùn)含關(guān)系J.高師理科學(xué)刊,2012,32(2):43-45.7許汪濤.關(guān)于多元函數(shù)極限概念J.陜西師范大學(xué)教育學(xué)報(bào),2003,20(3):98-99.8齊小忠.淺談二元函數(shù)中六大重要概念間的關(guān)系J.喀什師范學(xué)院學(xué)報(bào),2013,34(3):24-26.9王愛(ài)國(guó).二重