2005全國高考數(shù)學(xué)2試卷與答案

1、 2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一數(shù)學(xué)（全國2理科卷）試題精析詳解 一、選擇題（5分?12=60分） （1）函數(shù)f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是 （A ）4? （B ）2? （C） （D）2 【思路點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和絕對(duì)值的概念和數(shù)形結(jié)合的思想. 【正確解答】()|sincos|2sin()|fxxxx?，f(x)的最小正周期為?. 選C 【解后反思】三角函數(shù)的周期可以從圖象上進(jìn)行判斷，但是一個(gè)周期函數(shù)加絕對(duì)值后的周期不一定減半.如tanyx?的最小正周期為?，但是，|tan|yx?的最小正周期也是?，因此，對(duì)函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用必須從定義出發(fā)，要學(xué)會(huì)用定義來研究問題.

2、 （2）正方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn).那么，正方體的過P、Q、R的截面圖形是 （A）三角形 （B）四邊形 （C）五邊形 （D）六邊形 【思路點(diǎn)撥】本題考查平面的作法和空間想象能力，根據(jù)公理1可從P、Q在面內(nèi)作直線，根據(jù)公理2，得到面與各棱的交點(diǎn)，與棱相交必與棱所在的兩個(gè)面都有交線段. 【正確解答】畫圖分析.作直線PQ交CB的延長(zhǎng)線于E，交CD的延長(zhǎng)F，作直線ER交1CC的延長(zhǎng)線于G，交1BB于S，作直線GF交1DD于H，交11CD H，連結(jié)PS,RT,HQ，則過P、Q、R的截面圖形為六邊形PQHTRS， 故選D. 【解后反思】要理解立體幾何中的三

3、個(gè)公理及3個(gè)推論是確定平面的含義，但不必深入研究. （3）函數(shù) y=32x1（x0）的反函數(shù) HSRDBCAD1A1B1C1EGFQPT 是 （A）y=3)1(?x(x1) （B）y=3)1(?x(x1) （C）y=3)1(?x(x0) （D）y=3)1(?x(x0) 【思路點(diǎn)撥】本題考查反函數(shù)的求法.要求反函數(shù)的三步曲（一是反解、二是x、y對(duì)調(diào)，三是求出反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域）進(jìn)行，或用互為反函數(shù)的性質(zhì)處理. 【正確解答】解法1：由 y=32x1，且x0 ，解得3(1)xy?，其中，1y?. 則所求反函數(shù)為y= 3)1(?x(x1). 解法2：分析定義域和值域，用排除法.選B. 【解

4、后反思】選擇題中考查反函數(shù)的解法時(shí)，一般只需驗(yàn)證定義域和值域即可，以達(dá)到快速高效之目的，因此，深刻理解互為反函數(shù)的概念和性質(zhì)是關(guān)鍵，并要注意在求出反函數(shù)后注明定義域，這是求反函數(shù)必不可少的一步. （4）已知函數(shù)tanyx? 在（2? ，2?）內(nèi)是減函數(shù)，則 （A）01 （B）10 （C）0 （D）1 【思路點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)?對(duì)于函數(shù)tanyx?性質(zhì)的影響. 【正確解答】由正切函數(shù)的性質(zhì)，正切函數(shù)tanyx? 在（2? ，2?）上是增函數(shù)，而tanyx? 在（2? ，2? ）內(nèi)是減函數(shù)，所以?，即10?.選B 【解后反思】 學(xué)生在解題過程中只注意到|T?，而容易忽略?的符號(hào)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響.

5、 (5)設(shè)a、b、c、dR ，若dicbia?為實(shí)數(shù)，則 （A）bc+ad0 （B）bcad0 （C）bcad0 （D）bc+ad=0 【思路點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)定義和復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則. 【正確解答】22()()()()()()abiabicdiacbdbcadicdicdicdicd? ，由dicbia?為實(shí)數(shù)， 所以bc-ad=0.選C 【解后反思】理解復(fù)數(shù)除法計(jì)算和乘法本質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化，有助于提高運(yùn)算速度. （6 ）已知雙曲線3622yx?1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線上且MF1x軸，則F1到直線F2M的距離為 （A ）563 （B ）665 （C）56 （D ）65 【思路點(diǎn)撥】本題

6、主要考查雙曲線的基礎(chǔ)知識(shí)，只要依據(jù)分析雙曲線的相關(guān)幾何性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化即可. 【正確解答】由題意知，6a? ，3b?，3c?，設(shè)1F為左焦點(diǎn)，2F為右焦點(diǎn)，則 126(3,0),(3,0),(3,)2FFM?，設(shè)所求距離為d， 則由112211|22MFFFMFd?，得65d?. 選C 【解后反思】利用面積相等來求點(diǎn)到直線的距離應(yīng)用較廣，應(yīng)引起重視. （7）銳角三角形的內(nèi)角A、B滿足tanA A2sin1=tanB,則有 （A）sin2AcosB=0 （B）sin2A+cosB=0 （C）sin2AsinB=0 （D）sin2A+sinB=0 【思路點(diǎn)撥】解斜三角形問題必須注意題目所設(shè)置的情況

7、，從已知等式的左邊進(jìn)行化簡(jiǎn)，產(chǎn)生2A、B的三角函數(shù)之間的關(guān)系. 【正確解答】 221sin12sin1cos2tancot2tansin2sincossin2sin2sin2AAAAABAAAAAA? tan(2)2A?QABC? 是銳角三角形，022A? ，而022BAB?， 即22AB? ?sin2sin()cos2ABB?.選A. 【解后反思】解三角函數(shù)問題時(shí)，要注意角的唯一性，也就是說要將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行求解.這是難點(diǎn)也是關(guān)鍵之處. （8）已知點(diǎn)A （3，1），B（0，0），C （3，0）.設(shè)BAC的平分線AE與BC相交于 E ，那么有CEBC?，其中等于 （A）2 （B）21

8、 （C）3 （D）31 【思路點(diǎn)撥】本題考查平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)，可根據(jù)點(diǎn)C的特殊位置，利用角平分線的性質(zhì)，就可求E點(diǎn)坐標(biāo). 【正確解答】由題意可知ABCV是直角三角形且30ABC?，60CAB?， 30CAE? ，|2|BEAECECE?，|3|BCCE?，3?.選C 【解后反思】靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決問題的有效手段，本題可用向量法，也可由坐標(biāo)法、都要求出點(diǎn)C坐標(biāo)，但相對(duì)來說，用平幾知識(shí)比較方便. （9）已知集合Mxx23x280，N=x|x2x60 ，則MN為 （A）x|4x2或3x7 （B）x|4x2或3x7 （C）x|x2或x3 （D）x|x2或x3 【思路點(diǎn)撥】本題考查不等式的解法和集

9、合的運(yùn)算，可采用直接法，化簡(jiǎn)兩集合時(shí)要注意不等式中的等號(hào)情形，防止漏點(diǎn)或產(chǎn)生多余的點(diǎn). 【正確解答】|47Mxx?，|23Nxxx?或， |4237MNxxx?I或.選A 【解后反思】四個(gè)二次（一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式）始終是高考中考查覆蓋面最大的代數(shù)知識(shí).它們之間的等價(jià)轉(zhuǎn)換要借助數(shù)形結(jié)合思想處理，必須牢固地掌握. （10）點(diǎn)P在平面上作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度向量v（4，3）（即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與v相同，且每秒移動(dòng)的距離為|v|個(gè)單位），設(shè)開始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（10，10），則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （A）（2，4） （B）（30，25） （C）（10，5） （D）（5，10）

10、【思路點(diǎn)撥】本題利用物理知識(shí)考查向量坐標(biāo)公式的由來，借助圖形正確地找出經(jīng)過t秒后點(diǎn)的C的位置. 【正確解答】由題意可得t秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為(104,103)tt?，t=5時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（10，5）.選C. 【解后反思】數(shù)學(xué)學(xué)科中各個(gè)知識(shí)點(diǎn)都是有定義的.定義的理解與掌握是解決一切問題 的基礎(chǔ)的基礎(chǔ)，回歸定義，理解定義是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，也是落腳點(diǎn). (11)如果a1，a2，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d0，則 （A）a1a8a4a5 （B）a1a8a4a5 （C）a1+a8a4+a5 （D）a1a8=a4a5 【思路點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和化歸思想，最有效的辦法是將數(shù)列的通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為首

11、項(xiàng)及公差來探索其大小. 【正確解答】由14853,3aadaad?得，21845459aaaadaa?（0d?） 選B 【解后反思】靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)可簡(jiǎn)化運(yùn)算，而對(duì)于本題等差數(shù)列來說，一般方法，即轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差處理，是最基本的方法，要牢固掌握. (12)將半徑都為1的4個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為 （A ）3623? （B） 2+362 （C ）3624? （D ）36234? 【思路點(diǎn)撥】本題考查正四面體的性質(zhì)和空間想象能力，恰當(dāng)?shù)貙?duì)幾何體進(jìn)行分割，確定鋼球的球心的位置是一關(guān)鍵. 【正確解答】由題意可知，四個(gè)球心為頂點(diǎn)的小正四面體與原正四面體有公共

12、中心，當(dāng)正四面體的表面積最小時(shí)，四個(gè)鋼球的圓心在正四面體內(nèi)也構(gòu)成一個(gè)小正四面體，且兩個(gè)正四面體有相同的中心.把4個(gè)小球的球心連起來，得到棱長(zhǎng)為2的正四面體，且該四面體的中心與原四面體的中心是同一點(diǎn).先求任意正四面體的中心到側(cè)面的距離與高之比：連接中心與4個(gè)頂點(diǎn)，得到4個(gè)正三棱錐. 底面積相等，由等體積法知，所以，該比為14.而棱長(zhǎng)為a 的正四面體的高為63a，所以，棱長(zhǎng)為2 的正四面體，高為263，現(xiàn)在將其中心到側(cè)面的距離4 ，得到這個(gè)正四面體的高的最小值為3624?，選C. 【解后反思】選擇適當(dāng)?shù)慕孛妫蚜讍栴}平面化(降維)是解決此類問題的基本思路. 二、填空題（4分?4= 16分） (1

13、3)圓心為（1，2）且與直線5x-12y-7=0相切的圓的方程為_. 【思路點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式和圓的方程的求法，只要求出點(diǎn)到直線的距離就求出了圓的半徑. 【正確解答】圓心（1，2 ）到直線的距離為圓的半徑，所以21|2512?. 所以圓的方程為22(1)(2)4xy?. 【解后反思】解析幾何主要是以代數(shù)方法研究幾何問題，但并不能忽視幾何性質(zhì)，更確切地來說，要充分挖掘其幾何性質(zhì)，才能使問題解決更快、更活，如直線和圓相切，就有多種研究方法，請(qǐng)學(xué)習(xí)時(shí)認(rèn)真總結(jié). (14) 設(shè)為第四象限的角，若513sin3sin?，則tan2=_. 【思路點(diǎn)撥】本題考查三角變換能力，需要學(xué)習(xí)和體會(huì)三角變

14、換的技巧，達(dá)到角和函數(shù)的統(tǒng)一. 【正確解答】 2sin3sin(2)sincos2cossin2sinsinsin13cos22cos2cos215? 4cos25? ，因?yàn)?2,2)2kk?，所以2(4,4)kk?，又cos20?，所 以3tan24?. 【解后反思】適當(dāng)選擇三角公式可以使問題得到簡(jiǎn)化.三角函數(shù)求值主要是考慮的是角和函數(shù)的差異，同時(shí)要注意由角的范圍來確定三角函數(shù)值的符號(hào). (15)在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有_個(gè). 【思路點(diǎn)撥】本題考查排列組合的基礎(chǔ)知識(shí)及轉(zhuǎn)化能力，注意分類討論思想的運(yùn)用. 【正確解答】解法1：數(shù)字0，1，

15、2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有436536060300AA?個(gè)，能被5整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有32542108AA?個(gè)，所以不能被5整除的數(shù)共有192個(gè). 解法2：因?yàn)椴荒鼙?整除的四位數(shù)中，其末位不是5的倍數(shù)，所以，不能被5整除的四位數(shù)共有：132454()192CAA?個(gè). 【解后反思】“不能”通常用減法可簡(jiǎn)化運(yùn)算，在本題中偏偏反其道而行之.慎之！同時(shí)，解排列組合問題時(shí)要正確運(yùn)用加乘原理，應(yīng)把復(fù)雜的問題分成簡(jiǎn)單問題（分步、分類）做到 既不重復(fù)又不遺漏. （16）下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題： 底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐. 底面是等邊

16、三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐. 底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐. 側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐.其中，真命題的編號(hào)是_.(寫出所有真命題的編號(hào)) 【思路點(diǎn)撥】本題考查三棱錐的基礎(chǔ)知識(shí)和邏輯推理能力，理解頂點(diǎn)在三棱錐底面上的射影與底面三角形的關(guān)系就可解決. 【正確解答】如圖，三棱錐PABC?中，作PO?平面ABC于O，作ODAB?于D，作OEBC?于E，作OFAC?于F，連結(jié)OD,OE,OF，則,PDOPEOPFO?分別是側(cè)面與底面所成的二面角的平面角. 是正確的.因?yàn)閭?cè)面與底面所成的二面角都相等，所以，OD=O

17、E=OF，即O是ABC?的中心，且底面是等邊三角形，是錯(cuò)誤的.如PBPCABPA?，是錯(cuò)誤的. 如果頂點(diǎn)在底面上的投影是底面正三角形的旁心，也是可以得出側(cè)面積相等的結(jié)論，是正確的. 側(cè)棱與底面所成的角都相等，則頂點(diǎn)在底面的投影是底面三角形的外心；側(cè)面與底面所成的二面角都相等，則頂點(diǎn)在底面的投影是底面三角形的內(nèi)心，外心與內(nèi)心重合的三角形是正三角形，且是三角形的中心，故填、. 【解后反思】必須深刻掌握正棱錐的定義（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面上的射影是三角形中心的三棱錐是正三棱錐）及其等價(jià)條件. 三、解答題(共6小題，共74分) （17）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)=2|x+1|-|x-1|

18、,求使f(x) 22的x取值范圍. 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、不等式性質(zhì)和解法，考查分析問題的能力和運(yùn)算能力.關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，根據(jù)(0)(0)aaaaa?進(jìn)行分類討論. 【正確解答】由于2xy?在R 上是增函數(shù)，()22fx?等價(jià)于 ABCPOEDF 3|1|1|2xx? （1）當(dāng)1x?時(shí)，|1|1|2xx?，所以式恒成立. （2）當(dāng)11x?時(shí)，|1|1|2xxx?，式化為322x?，即314x?. （2）當(dāng)1x?時(shí)，|1|1|2xx?，式無解， 綜上，x 的取值范圍是3,)4?. 【解后反思】含有絕對(duì)值的問題的處理通常是去掉絕對(duì)值，其方法一般地有兩種，一是討論，二是平方.考慮

19、到本題含有兩個(gè)絕對(duì)值，討論法較宜. （18）（本小題滿分12分）已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列，又bn =na21,n=1,2,3. ()證明?nb為等比數(shù)列； （）如果無窮等比數(shù)列?nb各項(xiàng)的和S=31,求數(shù)列an的首項(xiàng)a1和公差d. (注：無窮數(shù)列各項(xiàng)的和，即當(dāng)n時(shí)數(shù)列前n項(xiàng)和的極限). 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本知識(shí)以及運(yùn)用這些知識(shí)的能力.本題第()問可利用等差、等比的轉(zhuǎn)化關(guān)系得以解決，難點(diǎn)是第（）問中理解題目后的注，要理解之含義. 【正確解答】（1）證明：124lg,lg,lgaaaQ成等差數(shù)列， 2142lglglgaa

20、a?，即2214aaa?， 又設(shè)等差數(shù)列na的公差為d，則2111()(3)adaad?， 這樣 21dad?，從而1()0dda? 0d?Q，10da?，12(21)2nnnaadd?， 21112nnnbad?. 這時(shí)，nb 是首項(xiàng)112bd? ，公比為12的等比數(shù)列. （2）解：如果無窮等比數(shù)列nb的公比1q?，則當(dāng)n?時(shí)其前n項(xiàng)和的極限不存在. 因而10da?，這時(shí)公比12q? ，212bd?，這樣nb的前n 項(xiàng)和111()22112nndS?， 則111()122limlim112nnnndSSd?， 由13S?得公差3d?，首項(xiàng)13ad?. 【解后反思】若正項(xiàng)數(shù)列na是等比數(shù)列，則

21、?logana（0a?且1a?）是等差數(shù)列，若數(shù)列na是等差數(shù)列，則數(shù)列?naa（0a?且1a?）是等比數(shù)列，反之亦然. （19）（本小題滿分12分） 甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)排球比賽、根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，單局比賽甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為0.6.本場(chǎng)比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束.設(shè)各局比賽相互間沒有影響.令為本場(chǎng)比賽的局?jǐn)?shù)，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.（精確0.0001） 【思路點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，理解比賽規(guī)則和互斥事件是正確理解和解決本題的難點(diǎn)，如打3局比賽結(jié)束，即甲3：0贏乙，即打3場(chǎng)甲均贏乙. 【正確解答】單局比賽甲隊(duì)勝乙

22、隊(duì)的概率為0.6，乙隊(duì)勝甲隊(duì)的概率為1-0.6=0.4. 比賽3局結(jié)束有兩種情況：甲隊(duì)勝3局或乙隊(duì)勝3局，因而 33(3)0.60.40.28P?， 比賽4局結(jié)束有兩種情況：前3局中甲隊(duì)勝2局，第4局甲隊(duì)勝；或前3局中乙隊(duì)勝2局，第4局乙隊(duì)勝，因而 222233(4)0.60.40.60.40.60.40.3744PCC?， 比賽5局結(jié)束有兩種情況：前4局中甲隊(duì)勝2局，乙隊(duì)勝2局，第五局甲勝或乙勝，因而 22222244(5)0.60.40.60.40.60.40.3756PCC?. 所以?的概率分布為 ? BFADCE(2,(2,1,322222kkk?，22222kkk?3 2BC24 5

23、 P 0.28 0.3744 0.3456 M?的期望3(3)4(4)5(5)4.0656EPPP?. 【解后反思】在利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題要理解實(shí)際問題與數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，而在這一過程中，必須認(rèn)真讀題，縝密審題，確切理解，明確問題的實(shí)際背景， 然后進(jìn)行科學(xué)的抽象、概括，將實(shí)際問題歸納為數(shù)學(xué)問題.一般的解題程序：讀題（文字語言）?建模（數(shù)學(xué)語言）?求解（數(shù)學(xué)應(yīng)用）?反饋（檢驗(yàn)作答）.應(yīng)用題利用數(shù)學(xué)知識(shí)并不難，難的是理解題意，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型. （20）（本小題滿分12分）如圖、四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB

24、的中點(diǎn). （）求證：EF平面PAB； （）設(shè)AB=2BC，求 AC與平面AEF所成的角的大小. 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關(guān)知識(shí)及思維能力和空間想象能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力，此題屬中檔題.尋找平面PAB內(nèi)兩條相交直線是解決第（1）問的關(guān)鍵，尋找AC在平面EFA內(nèi)的射影解決第（）問難點(diǎn)，直覺來說，無論是條件還是結(jié)論都有運(yùn)用空間向量的背景，因此，用空間向量來解應(yīng)是十分簡(jiǎn)便的. 【正確解答】解法1：（1）證法1：連結(jié)EP，PDABCD?Q 底面，DE在平面ABCD內(nèi)， PDDE?，又,CEDEPDADBC?， RtBCERtPDE?，PEBE ?.F

25、Q為PB中點(diǎn)，EFPB?， 由三垂線定理得PAAB?，所以，在RtPAB?中，PFAF?，又PEBEEA?， EFPEFA?，EFFA?.PBQ、FA為平面PAB內(nèi)的相交直線，EFPAB?平面. 證法2：取PA的中點(diǎn)M，連結(jié)MD,MF,FQ是PB的中點(diǎn)，1/2MFABE?Q是CD的中點(diǎn)，1/2MFEDMDEF?是平行四邊形，/MDFEPD?Q平面ABCD，PDAD?，又PDADPAD?Q是等腰直角三角形,而 M 是PA的中點(diǎn)DMPA?Q底面ABCD是矩形，ABAD?，BFGADCPEHP 由PD?平面ABCD，得ABMD?， 又ABAPAMD?QI平面APBEFPAB?平面. （2）不放設(shè)1B

26、C?，則1ADPD?，2AB?，2PA?，3AC?， PAB? 為等腰直角三角形，且2PB?，F(xiàn)為其斜邊中點(diǎn)，1BF?，且AFPB?. PBQ與平面AEF內(nèi)兩條相交直線EF、AF都垂直， PBAEF?平面. 連結(jié)BE交AC于G，作/GHBP交EF于H，則GHAEF?平面， GAH?為AC與平面AEF所成的角， 由EGCBGA?:可知12EGGB?，13EGEB?，22333AGAC?， 由EGHEBF?:，可知1133GHBF?3sin6GHGAHAG?，所以AC與平面AEF所成的角為3arcsin6. 解法2： 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的長(zhǎng)為單位，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系. （1）證明：設(shè)(,0

27、,0)Ea，其中0a?，則 11(2,0,0),(0,1,0),(2,1,0),(0,0,1),(,)22CaABaPFa11(0,)22EF?uuur，(2,1,1)PBa?uuur，(2,0,0)ABa?uuur， 0EFPB?uuuruuur，EFPB?. 0ABEF?uuuruuur，EFAB? 又PBPAB?平面，ABPAB?平面，PBABB?I，EFPAB?平面. （2）解：由AB?，得2a?，可得1,0),1)ACPB?uuuruuur，cos,6|ACPBACPBACPB?uuuruuuruuuruuuruuuruuur， 異面直線AC、PB所成的角為3arccos6. 2 1

28、1(,),0,222AFAFPBPBAF?uuuruuuruuur， 又PBEF?，,EFAF為平面AEF內(nèi)兩條相交直線， PBAEF?平面，?AC與平面AEF所成的角為33arccos(arcsin)266?， 即AC與平面AEF所成的角為3arcsin6. 【解后反思】三垂線定理（或它的逆定理）是立幾中的十分重要的定理，在證垂直、求角等方面應(yīng)用十分廣泛，而用向量在求證平行、垂直，求角和距離等方面十分有效. （21）（本小題滿分14分）P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓x2+22y=1上，F(xiàn)為橢圓在y軸上的焦點(diǎn).已知?PF與?PQ共線，?MF與?PN共線，且?PF·?MF=0.求四邊形PM

29、QN的面積的最小值和最大值. 【思路點(diǎn)撥】本題注意考查橢圓和直線的方程與性質(zhì)，兩條直線垂直的條件，兩點(diǎn)間的距離，不等式的性質(zhì)等基本知識(shí)及綜合分析能力和運(yùn)算能力.引入?yún)?shù)k并用k分別表示|,|PQMN，構(gòu)建關(guān)于k的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)就不難解決. 【正確解答】如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)(0,1)F，且PQMN?，直線MN、PQ中至少有一條存在斜率，不放設(shè)PQ的斜率為k，又PQ過點(diǎn)(0,1)F，故PQ的方程為 1ykx?. 將此式代入橢圓方程得 22(2)210kxkx?.設(shè),PQ兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為1122(,),(,)xyxy，則 1x?2x?， 從而 2222212122

30、28(1)|()()(2)kPQxxyyk?， 亦即 2222(1)|2kPQk? （1）當(dāng)0k?時(shí)，MN 的斜率為1k?，同上可推得 22122(1(1)|13()kMNk?， 故四邊形面積22222222114(1)(1)4(2)1|122(2)(2)52kkkkSPQMNkkkk?， 令221ukk?，得 4(2)12(1)5252uSuu?. 因?yàn)?2212ukk?，當(dāng)1k?時(shí)，2u? ，169S?， 且S是以u(píng)為自變量的增函數(shù). 所以1629S? （2）當(dāng)0k?時(shí)，MN 為長(zhǎng)軸，|22,|2MNPQ?， 1|22SPQMN?. 綜合（1）（2）知四邊形PMQN面積的最大值為2 ，最小值為169 【解后反思】1