立體幾何中的向量方法-夾角問(wèn)題PPT課件

1、 n A P O 2、向量法求點(diǎn)到平面的距離、向量法求點(diǎn)到平面的距離：第1頁(yè)/共17頁(yè) nabCDABCD為a,b的公垂線則|nABnCD A，B分別在直線a,b上已知a,b是異面直線，n為 的法向量3. 異面直線間的距離異面直線間的距離 即 間的距離可轉(zhuǎn)化為向量 在n上的射影長(zhǎng)，21,llCD第2頁(yè)/共17頁(yè)( (課本第107107頁(yè)練習(xí)2)2)如圖，6060的二面角的棱上有A A、B B兩點(diǎn)，直線ACAC、BDBD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直ABAB，已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求CDCD的長(zhǎng). . BACD 注注: :利利用用本本題題中中的的向向量量關(guān)

2、關(guān)系系我我們們還還可可以以倒倒過(guò)過(guò)來(lái)來(lái)求求二二面面角角的的大大小小. . 第3頁(yè)/共17頁(yè)APDCBMNzxy解：如圖解：如圖,以以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則，則D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )2aaaa2a第4頁(yè)/共17頁(yè)1.異面直線所成角設(shè)直線設(shè)直線, l m的方向向量分別為的方向向量分別為, a b lmb 若兩直線若兩直線 所成的角為所成的角為 , 則則, l m(0)2cosa ba b 復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入a bO第5頁(yè)/共17頁(yè)1. 1.兩條異面直線所成的角兩條異面直線所成的角(0,2 (3)

3、向量求法向量求法:設(shè)直線設(shè)直線a、b的方向向量為的方向向量為 ,其夾角其夾角為為 ,則有則有,a b |cos| cos| |abab 空間三種角的向量求解方法空間三種角的向量求解方法(4)注意注意:兩異面直線所成的角可以通過(guò)這兩條直線兩異面直線所成的角可以通過(guò)這兩條直線的方向向量的夾角求得的方向向量的夾角求得,當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)時(shí),應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角.(1)定義定義:設(shè)設(shè)a,b是兩條異面直線是兩條異面直線,過(guò)空間任一點(diǎn)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直作直線線a a, b b,則則a , b 所夾的銳角或直角叫所夾的銳角或直角叫a

4、與與b所成的角所成的角.(2)范圍范圍:第6頁(yè)/共17頁(yè)2. 2. 線面角線面角 ua設(shè)直線設(shè)直線l的方向向量為的方向向量為 ，平面，平面 的法向量為的法向量為 ，且，且直線直線 與平面與平面 所成的角為所成的角為 ( ),則則a u l02 sin = u 2 (0,0)2 2 而利用 可求 ，從而再求出 | | |2 a nancos 或或|sin()|2 a ua u| cos| lOAB第7頁(yè)/共17頁(yè)2. 2.直線與平面所成的角直線與平面所成的角0,2 a uau|sin|cos| | (1)定義定義:直線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的角直線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的角.(2)范圍范

5、圍:(3)向量求法向量求法:設(shè)直線設(shè)直線l的方向向量為的方向向量為 ,平面平面 的法的法向量為向量為 ,直線與平面所成的角為直線與平面所成的角為 , 與與 的夾的夾角為角為 ,則有則有 u a a u ua 第8頁(yè)/共17頁(yè)l 將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的夾角。如圖，設(shè)二面角 的大小為其中AB ll ABCDl CD, AB CDAB CDAB CDcoscos, 3 3、二面角、二面角DCBA方向向量法方向向量法：第9頁(yè)/共17頁(yè) 將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角。如圖，向量 ，則二面角 的大小 mn，lnm,注意法向量的方向：同進(jìn)同

6、出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角；一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角ln m nm, 3 3、二面角、二面角若二面角若二面角 的大小為的大小為 , 則l (0)cos.u vu v 法向量法法向量法m 第10頁(yè)/共17頁(yè)0, (3)二面角的向量求法:若若AB、CD分別是二面角分別是二面角 的兩的兩個(gè)面內(nèi)與棱個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線垂直的異面直線,則二面角則二面角的大小就是向量的大小就是向量 與與 的夾角的夾角(如圖如圖(1)l AB CD 設(shè)設(shè) 是二面角是二面角 的兩個(gè)面的兩個(gè)面 的法向量的法向量,則向量則向量 與與 的夾角的夾角(或其或其補(bǔ)角補(bǔ)角)就是二面角的平面角的大小就是二面角的平面角的大小

7、(如如圖圖(2)l , n n12, n1 n2 lBDCA(1)l1n 2n (2)(2)范圍范圍:3.3.二面角二面角(1)定義定義:從二面角棱上任取一點(diǎn)從二面角棱上任取一點(diǎn)O，在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)分，在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)分別作棱的垂線別作棱的垂線OA、OB，則稱，則稱 為二面角的平面角。為二面角的平面角。AOB第11頁(yè)/共17頁(yè)例例1、如圖，點(diǎn)、如圖，點(diǎn)M、N分別是正方體分別是正方體 的棱的棱 和和 的中點(diǎn)，求：的中點(diǎn)，求：(1)MN和和 所成的角的大小所成的角的大小.(2) MN和和AD與與所成的角的大小所成的角的大小.BB 【典例剖析】 ABCDA B C D B C CD AC

8、 B D A DCBMNxzy第12頁(yè)/共17頁(yè)例2 (2013新課標(biāo)理， 18)如圖，三棱柱ABC A1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160. (1)證明：ABA1C； (2)若平面 平面 ， ，求直線 與平面 所成角的正弦值.ABC AA B B11A C1BB C C11ABBC2 o解析解析：(1) 取取AB重點(diǎn)重點(diǎn)O，連接，連接CO，A1B，A1O，ABAABAA11,60 BAA1是正三角形是正三角形A OAB1CACB COA OO1 ABCOA1 平平面面A CAB1COAB第13頁(yè)/共17頁(yè)例2 (2013新課標(biāo)理， 18)如圖，三棱柱ABC A1B1C1中，CAC

9、B，ABAA1，BAA160. (2)若平面 平面 ， ，求直線 與平面 所成角的正弦值.ABC AA B B11A C1BB C C11ABBC2 yzxo解析解析：(2) 由由(1)知知1,A OAB COAB1111,ABCABB AABCABB AAB 又又平平面面平平面面平平面面平平面面11OCABB A 平平面面1OCOA1,OA OC OA兩兩相互垂直兩兩相互垂直以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，1,OA OC OA 正交基底建立空間直角坐標(biāo)系正交基底建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz則則1(1,0,0),(0,3,0),(0,0,3),( 1,0,0)AACB 111(1,0,3),( 1,3,0),(0,3,3)BCBBAAA C 設(shè)設(shè) 是平面是平面 的法向量的法向量( , , )nx y z 11CBB C則則 即即100nBCnBB 3030 xzxy 11110cos,5|n A Cn A CnA C 直線直線 與平面與平面 所成交的正弦值為所成交的正弦值為11CBB C1A C105( 3,1, 1)n 可取第14頁(yè)/共17頁(yè),1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0如所示， ABCD 是一直角梯形， ABC=90S平面求面與面所成二面角例的余弦值3ABCDSx