求數(shù)列通項(xiàng)公式及求和的基本方法(共13頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上求數(shù)列通項(xiàng)公式及求和的基本方法1.公式法：利用熟知的的公式求通項(xiàng)公式的方法稱為公式法，常用的公式有，等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。例一 已知無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且，求的通項(xiàng)公式？ .反思：利用相關(guān)數(shù)列與的關(guān)系：,與提設(shè)條件，建立遞推關(guān)系，是本題求解的關(guān)鍵.2.累加法：利用求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。累加法是求型如的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（可求前項(xiàng)和）.已知,求數(shù)列通項(xiàng)公式.3. 累乘法:利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法,累乘法是求型如: 的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法(數(shù)列可求前項(xiàng)積).已知,求數(shù)列通項(xiàng)公式. .反思: 用累乘法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形

2、為.4.構(gòu)造新數(shù)列: 類型1 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知數(shù)列滿足，求 解： 類型2 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知數(shù)列滿足，求。解：變式:（全國I,）已知數(shù)列an，滿足a1=1， (n2)，則an的通項(xiàng) 解類型3 （其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例4:已知數(shù)列中，求. .解：類型4 （其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)） 。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例5:已知數(shù)

3、列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解 (特征根法)：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。例6: 數(shù)列：， ,求解（特征根法）：的特征方程是：。,。又由，于是 故練習(xí):已知數(shù)列中，,，求。變式:（福建,文,22）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（I）解： 類型6 遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：利用與消去 或與消去進(jìn)行求解。例7：數(shù)列前n項(xiàng)和.

4、（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式.解：（1）由得：于是所以.（2）應(yīng)用類型4（其中p，q均為常數(shù)，）的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列求和的常用方法數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，也是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查對象。數(shù)列求和的基本思路是，抓通項(xiàng)，找規(guī)律，套方法。下面介紹數(shù)列求和的幾種常用方法：一、直接（或轉(zhuǎn)化）由等差、等比數(shù)列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式：3、 4、5、例1（山東文18）設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和已知，且構(gòu)成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的等差數(shù)列

5、（2）令求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）由已知得解得設(shè)數(shù)列的公比為，由，可得又，可知，即，解得由題意得故數(shù)列的通項(xiàng)為（2）由于由（1）得， 又是等差數(shù)列故練習(xí)：設(shè)Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.二、錯(cuò)位相減法設(shè)數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和求解，均可用錯(cuò)位相減法。例2（高考天津）在數(shù)列中，其中（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）解：由，可得，所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0，故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，式減去式，得，這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和當(dāng)時(shí)，這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和例3（高考全國文21）設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（）求，的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的

6、前n項(xiàng)和解：（）設(shè)的公差為，的公比為，則依題意有且解得，所以，（），得，三、逆序相加法把數(shù)列正著寫和倒著寫再相加（即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣）例4設(shè)函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)P1(x1, y1)、P2(x2, y2)，若,且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.（I）求證：P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個(gè)定值；（II）若（I）,且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.P是的中點(diǎn)，且由（I）知，（1）+（2）得：四、裂項(xiàng)求和法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如： （1）（2）（3）等。例5 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè) （

7、裂項(xiàng)） 則 （裂項(xiàng)求和） 例6（高考湖北）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m；解：（）設(shè)這二次函數(shù)f(x)ax2+bx (a0) ,則 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，所以3n22n.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1（3n22n）6n5.當(dāng)n1時(shí)，a1S13×1226×15，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）<（）成立的m,必須且僅須滿足，即m10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.評(píng)析：一般地，若數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項(xiàng)也不為0，則求和：首先考慮則=。下列求和： 也可用裂項(xiàng)求和法。五、分組求和法所謂分組法求和就是：對一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。例7數(shù)列an的前n項(xiàng)和，數(shù)列bn滿 .（）證明數(shù)列an為等比數(shù)列；（）求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn。解