多元函數(shù)微分法及其應用

1、第九章 多元函數(shù)微分學§9.1多元函數(shù)的基本概念一、教學目的、要求：1、理解多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的幾何意義；2、理解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會求簡單的二元函數(shù)的極限問題；3、通過與一元函數(shù)相應概念的比較，培養(yǎng)學生分析與解決問題的能力。二、教學的重點和難點：（一）教學的重點：二元函數(shù)的極限與連續(xù)性。（二）教學的難點：二元函數(shù)的極限問題。三、教學的內(nèi)容：（一）、平面點集和n維空間1、平面點集的相關概念（1）平面點集：坐標平面上具有某種性質(zhì)P的點的集合, 稱為平面點集, 記作 E=(x, y)| (x, y)具有性質(zhì)P（2）鄰域：設P0(x0,

2、y0)是xOy平面上的一個點，d是某一正數(shù)。與點P0(x0, y0)距離小于d的點P (x, y)的全體，稱為點P0的d鄰域，記為U(P0,d)，即 或注：鄰域的幾何意義：U (P0, d)表示xOy平面上以點P0(x0, y0)為中心、d >0為半徑的圓的內(nèi)部的點P (x, y)的全體。 點P0的去心d鄰域，記作，即。（3）點與點集之間的關系：任意一點PÎR2與任意一個點集EÌR2之間必有以下三種關系中的一種： (a)內(nèi)點:如果存在點P的某一鄰域U(P),使得U(P)ÌE,則稱P為E的內(nèi)點； (b)外點：如果存在點P的某個鄰域U(P)，使得U(P)

3、9;E=Æ，則稱P為E的外點； (c)邊界點：如果點P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點，也有不屬于E的點，則稱P點為E的邊點。E的邊界點的全體，稱為E的邊界，記作¶E。注：E的內(nèi)點必屬于E,E的外點必定不屬于E, 而E的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E。（4）聚點：如果對于任意給定的d>0，點P的去心鄰域內(nèi)總有E中的點，則稱P是E的聚點。 由聚點的定義可知，點集E的聚點P本身，可以屬于E，也可能不屬于E。（5）開集：如果點集E 的點都是內(nèi)點，則稱E為開集。 （6）閉集：如果點集的余集E c為開集，則稱E為閉集。（7）連通性：如果點集E內(nèi)任何兩點，都可用折線連結起來，且該折線

4、上的點都屬于E，則稱E為連通集。 （8）區(qū)域(或開區(qū)域)：連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域。 （9）閉區(qū)域：開區(qū)域連同它的邊界一起所構成的點集稱為閉區(qū)域。 （10）有界集：對于平面點集E，如果存在某一正數(shù)r，使得EÌU(O, r), 其中O是坐標原點，則稱E為有界點集。（11）無界集：一個集合如果不是有界集，就稱這集合為無界集。2、n維空間定義1：設n為取定的一個自然數(shù)，n元有序數(shù)組的全體，即 稱為n維空間。稱為n維空間Rn中的一個點，xi稱為該點的第i個坐標。當n =1, 2, 3時，n維空間R n分別是我們熟悉的數(shù)軸、平面及三維空間。n維空間Rn中兩點與的距離規(guī)定為 注：在n維空間R

5、n中定義了距離后，平面中鄰域、區(qū)域及關于點集E的內(nèi)點、邊界點、聚點等概念均可類似地推廣到n維空間Rn的點集上去。（二）、多元函數(shù)的定義例1.圓柱體的體積V 和它的底半徑r、高h之間具有關系V =pr2h。這里，當r、h在集合(r,h)|r>0, h>0內(nèi)取定一對值(r,h)時，V對應的值就隨之確定。 例2.一定量的理想氣體的壓強p、體積V和絕對溫度T之間具有關系，其中R為常數(shù)。這里，當V、T在集合(V ,T)|V>0, T>0內(nèi)取定一對值(V, T)時， p的對應值就隨之確定。定義2：設D為平面上的一個非空點集。如果對于D中每一點P(x,y)，按照法則f，總有唯一確定的

6、實數(shù)z與之對應，則稱f是D上的二元函數(shù)，記為z=f(x,y)，(x,y)ÎD或z=f(P)，PÎD點集D稱為函數(shù)的定義域，x、y稱為自變量，z稱為因變量。注：（1）在定義2中，D中每一點(x, y)對應的實數(shù)z稱為f在點(x, y)的函數(shù)值；數(shù)集R =D稱為該函數(shù)的值域；點集S =D稱為二元函數(shù)的圖形。(2) 關于二元函數(shù)的定義域，我們作如下約定: 如果該函數(shù)采用解析式表示，而沒明確指出定義域，則該函數(shù)的定義域理解為使這個解析式有意義的那些點所組成的點集, 這種點集也稱為該函數(shù)的自然定義域。例3.求函數(shù)的定義域。定義3：設D是n維空間R的非空子集。如果對于D中每一點，按照某

7、一法則f總有唯一確定的實數(shù)y與之對應，則稱f是定義在D上的n元函數(shù)。記作y=f(x1,x2 ,.,xn),(x1,x2 ,.,xn)ÎD，或y=f(P),P ÎD。點集D稱為函數(shù)的定義域, x1, x2 ,.,xn稱為自變量，z稱為因變量。在定義中, D中的點P(x1, x2 ,.,xn) 唯一確定的數(shù)y稱為f在點P的函數(shù)值。值域和n元函數(shù)的圖形也可類似地定義。（三）、多元函數(shù)的極限與連續(xù)1、多元函數(shù)的極限定義4：設二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域為D，P0 (x0,y0)是D的聚點。如果對任意給定的正數(shù)e，總存在正數(shù)d，使得對任意點D Ç(P0,d)時，即當0&

8、lt;|P-P0| =<d時,總有成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)z=f(x,y)當(x,y)®(x0,y0)時的極限。記作或注：（1）二元函數(shù)的極限又叫做二重極限；(2)二重極限存在，是指P以任何方式趨于P0時，函數(shù)都無限接近于A；(3)如果當P以兩種不同方式趨于P0時，函數(shù)趨于不同的值，則函數(shù)的極限不存在。例4.求極限。例5.求下列各極限（1） ；（2）例6.設函數(shù), 證明：當時，函數(shù)的極限不存在。二元函數(shù)的極限概念可相應地推廣到n元函數(shù)w=f(P)上去。定義4*：設n元函數(shù)w=f (P)的定義域為D，P0() 是D的聚點。如果對任意給定的正數(shù)e，總存在正數(shù)d，使得當點P(x1, x

9、2,xn)ÎD Ç(P0,d)時，即當0<|P-P0| =<d時, 總有|f (P)-A| <e成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)w=f(P)當P® P0時的極限。記作或f(P)®A。2、多元函數(shù)的連續(xù)性定義5：設n元函數(shù)w=f (P)的定義域為D，P0ÎD且P0是D的聚點。如果 =f (P0)，則稱函數(shù)f (P) 在點P0連續(xù)。特別,對于二元函數(shù)來說，如果，則在點連續(xù)。例7.（補）設f(x,y)=sinx, 證明f(x, y)是R2上的連續(xù)函數(shù)。定義6：設函數(shù)f(x, y)的定義域為D，P0(x0, y0)是D的聚點。如果函數(shù)f(x,

10、y)在點P0(x0, y0)不連續(xù)，則稱P0(x0, y0)為函數(shù)f(x, y)的間斷點。注：根據(jù)定義，若函數(shù)f(P)的定義域的聚點P0 是該函數(shù)的間斷點，則必屬于下列三種情形之一：（1）f(P)在點P0無定義；（2）f(P)在點P0有定義但極限不存在；（3）f(P)在點P0有定義且存在，但¹ f (P0)。例如，直線上的任何一點都是函數(shù)的間斷點。定理1：多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)；多元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。定理2：一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。注：所謂的多元初等函數(shù)與一元初等函數(shù)類似，多元初等函數(shù)是指可用一個式子所表示

11、的多元函數(shù)，這個式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合運算而得到的。例8.求極限。3、多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1（有界性定理）如果多元函數(shù)f (P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則該函數(shù)在D上有界，即存在常數(shù)M>0使得對于任意PÎD，都有|f(P)|£M。性質(zhì)2（最大值與最小值定理）如果多元函數(shù)f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則該函數(shù)在D上取得它的最大值和最小值，即存在D上點和使得和分別為函數(shù)的最大值和最小值。性質(zhì)3（介值定理）如果多元函數(shù)f (P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則該函數(shù)在D上必取得介于最大值M和最小值m之間的任何值，對于任何c: m &

12、#163; c £ M ，存在P0 ÎD 使得f(P0)=c 。§9.2 偏導數(shù)一、教學目的、要求：1、理解多元函數(shù)偏導數(shù)的概念；掌握多元函數(shù)偏導數(shù)的求法；2、了解高階偏導數(shù)的求法；3、培養(yǎng)學生利用所學的知識解決問題的能力。二、教學的重點和難點：（一）教學的重點：偏導數(shù)的概念和求法。（二）教學的難點：高階偏導數(shù)的求法。三、教學的內(nèi)容：（一）、多元函數(shù)偏導數(shù)的概念1、偏導數(shù)的定義對于二元函數(shù)z=f(x, y)，如果只有自變量x 變化, 而自變量y固定，這時它就是x的一元函數(shù)，這函數(shù)對x的導數(shù)，就稱為二元函數(shù)z=f(x, y)對于x的偏導數(shù)。定義1：設函數(shù)z=f(x,

13、 y)在點(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當y固定在y0而x在x0處有增量Dx時，相應地函數(shù)有增量f(x0+Dx, y0)-f(x0, y0)。如果極限 存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x, y)在點(x0, y0)處對x的偏導數(shù)，記作，或例如。類似地，函數(shù)z=f(x, y)在點(x0, y0)處對y 的偏導數(shù)定義為，記作 ，或fy(x0, y0)。注：（1）偏導函數(shù)指的是如果函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x, y)處對x的偏導數(shù)都存在，那么這個偏導數(shù)就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)z=f(x, y)對自變量的偏導函數(shù)，記作，或。偏導函數(shù)的定義式：類似地，可定義函數(shù)z=f(x, y)

14、對y的偏導函數(shù)，記為，zy ，或。偏導函數(shù)的定義式：。（2）求時，只要把y暫時看作常量而對x求導數(shù)；求時，只要把x暫時看作常量而對y求導數(shù)。（3）偏導數(shù)的記號是一個整體記號，不能看作分子分母之商。（4）偏導數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)。例如三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(x,y,z)處對x的偏導數(shù)定義為 其中(x,y,z)是函數(shù)u=f(x,y,z)的定義域的內(nèi)點。它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題。一般地，如果n元函數(shù)在點P的鄰域有定義，則它關于第個自變量的偏導數(shù)定義為。例1.求在點處的偏導數(shù)。 例2.（補）求z=x2sin 2y的偏導數(shù)。. 例3.設，求證：。例4.已知理想氣體的狀

15、態(tài)方程（為常量），求證：。2、偏導數(shù)的幾何意義二元函數(shù)z=f(x, y)在點(x0, y0)的偏導數(shù)的幾何意義： fx(x0, y0)=f(x, y0)x¢是截線z=f(x, y0)在點M0處切線Tx對x軸的斜率。 fy(x0, y0) =f(x0, y)y¢是截線z=f(x0, y)在點M0處切線Ty對y軸的斜率。 3、偏導數(shù)與連續(xù)性 對于多元函數(shù)來說，即使各偏導數(shù)在某點都存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。例如 在點(0,0)有fx(0,0)=0, fy(0,0)=0, 但函數(shù)在點(0,0)并不連續(xù)。（二）、高階偏導數(shù)定義2：設函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導數(shù)，那么，在D內(nèi)與都是和

16、的函數(shù)。如果它們的偏導數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導數(shù)。由于對變量求導的次序不同，函數(shù)的二階偏導數(shù)有如下四個： , ， , 其中第二、三兩個偏導數(shù)稱為混合偏導數(shù)。同樣，對二階偏導數(shù)繼續(xù)求對和偏導數(shù)（如果它們存在），可得三階偏導數(shù)。二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)。例5.設，求,。定理1 如果函數(shù)的兩個二階混合偏導數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)，這兩個二階混合偏導數(shù)必相等。例6.設，驗證 。§9.3 全微分一、教學目的、要求：1、理解全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件；2、了解全微分在近似計算上的應用；3、培養(yǎng)學生的相應的運算能力。二、教學的重點和難點：

17、（一）教學的重點：全微分的概念及計算。（二）教學的難點：全微分存在的條件。三、教學的內(nèi)容：（一）、全微分的定義1、全微分的概念根據(jù)一元函數(shù)微分學中增量與微分的關系，有偏增量與偏微分：f(x+Dx, y)-f(x, y)»fx(x, y)Dx, f(x+Dx, y)-f(x, y)為函數(shù)對x的偏增量，f x(x, y)Dx為函數(shù)對x的偏微分；f(x, y+Dy)-f(x, y)»fy(x, y)Dy，f(x, y+Dy)-f(x, y)為函數(shù))對y的偏增量，f y(x, y)Dy為函數(shù)對y的偏微分。 全增量：Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y)。計算全增量比較復

18、雜，我們希望用Dx、Dy的線性函數(shù)來近似代替之。 定義1：如果函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)的全增量 Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y) 可表示為，其中A、B不依賴于Dx、Dy 而僅與x、y 有關，則稱函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)可微分，而稱ADx+BDy為函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)的全微分，記作dz，即dz=ADx+BDy。 注：（1）如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處都可微分，那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分。（2）可微與連續(xù)：可微必連續(xù)，但偏導數(shù)存在不一定連續(xù)。（3）可類似地給出n元函數(shù)的全微分定義例1.求 z=x2+3xy+y 4 在點（1，2）的全微分。

19、例2.求 的全微分。2、全微分平的充要條件定理1(必要條件) 如果函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)可微分，則函數(shù)在該點的偏導數(shù)、必定存在，且函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)的全微分為 。注：偏導數(shù)、存在是可微分的必要條件，但不是充分條件。例如函數(shù)在點(0,0)處雖然有f x(0, 0)=0及f y(0, 0)=0，但函數(shù)在(0,0)不可微分。定理2(充分條件) 如果函數(shù)z=f(x, y)的偏導數(shù)、在點(x, y)連續(xù), 則函數(shù)在該點可微分。綜合以上兩個定理可知，多元函數(shù)的連續(xù)性、偏導數(shù)存在、可微、偏導數(shù)連續(xù)有如下關系： 偏導數(shù)存在 偏導數(shù)連續(xù) 可微 函數(shù)連續(xù) （二）、全微分在近似計

20、算中的應用當二元函數(shù)z=f(x, y)在點P(x, y)的兩個偏導數(shù)f x (x, y)，f y (x, y)連續(xù),，并且|Dx|，|Dy|都較小時，有近似等式Dz »dz=f x(x,y)Dx+f y (x,y)Dy 即f(x+Dx,y+Dy)»f(x,y)+f x(x,y)Dx+f y (x,y)Dy 我們可以利用上述近似等式對二元函數(shù)作近似計算。例3.計算的近似值。例4.對一大水管表面進行油漆，需求其側(cè)面積，即一圓柱體的側(cè)面積。測量圓柱體底半徑和高分別為20cm和 500cm，可能產(chǎn)生的最大誤差分別為0.1cm和1.5cm。試估計因測量而引起該測面積的絕對誤差和相對誤

21、差。§9.4-9.5 多元復合函數(shù)與隱函數(shù)的求導法一、教學目的、要求：1、理解掌握多元復合函數(shù)的求導法則，會用此法則求多元復合函數(shù)的（偏）導數(shù)；了解全微分形式的不變性；2、掌握隱函數(shù)的求導法則；3、培養(yǎng)學生歸納總結和綜合應用的能力。二、教學的重點和難點：（一）教學的重點：多元復合函數(shù)的求導法則。（二）教學的難點：隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導數(shù)。三、教學的內(nèi)容：（一）、求導的鏈式法則1、復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形設z=f(u,v)，而u=j(t)，v=y(t)，如何求？ 設z=f(u,v)，而u=j(x,y)，v=y(x,y)，如何求和？定理1 如果函數(shù)u=j(t

22、)及v=y(t)都在點t可導，函數(shù)z=f(u,v)在對應點(u, v)具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)z=fj(t)，y(t)在點t可導，且有 注：上述定理可推廣：設z=f (u, v, w), u=j(t), v=y(t), w=w(t), 則z=fj(t), y(t), w(t)對t 的導數(shù)為： 上述稱為全導數(shù)。例1.設z=sinuv，求全導數(shù)。2、復合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形定理2 如果函數(shù)u=j(x,y)，v=y(x, y)都在點(x, y)具有對x及y的偏導數(shù)，函數(shù)z=f(u, v)在對應點(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)z=f j(x, y),y(x, y)在點(x,y)的兩

23、個偏導數(shù)存在，且有 , 注：推廣：設z=f(u,v,w)，u=j(x,y)，v=y(x,y)，w=w(x,y)，則 , 例2.設，求。例3.設的所有二階偏導數(shù)都連續(xù)，證明：，這里。3、復合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù), 又有多元函數(shù)的情形定理3 如果函數(shù)u=j(x, y)在點(x, y)具有對x及對y的偏導數(shù)，函數(shù)v=y(y)在點y可導，函數(shù)z=f(u,v)在對應點(u, v)具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)z=fj(x, y), y(y)在點(x, y)的兩個偏導數(shù)存在，且有 , 例4.設z=eusinv,u=xy,v=x2。求和。例5.（補）設w=f(x+y+z, xyz), f具有二階連續(xù)偏導數(shù)

24、，求及。（二）、全微分形式的不變性設z=f(u, v)具有連續(xù)偏導數(shù)，則有全微分。如果z=f(u, v)具有連續(xù)偏導數(shù)，而u=j(x, y)，v=y(x, y)也具有連續(xù)偏導數(shù)，則 . 由此可見，無論z 是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的。這個性質(zhì)叫做全微分形式不變性。例6.設，的所有偏導數(shù)連續(xù)，求 、。（三）、隱函數(shù)的微分法定理1（隱函數(shù)存在定理1）設函數(shù)F(x, y)在點P(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù)，F(xiàn)(x0,y0)=0, Fy(x0,y0)¹0，則方程F(x,y)=0在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的

25、函數(shù)y=f(x)，它滿足條件y0=f(x0)，并有。注：利用上式可方便地計算隱函數(shù)的導數(shù)。果的二階偏導數(shù)連續(xù)，那么，我們又可求得隱函數(shù)的二階導數(shù)。 例7.方程所確定隱函數(shù)的一階與二階導數(shù)。定理2（隱函數(shù)存在定理2）設函數(shù)F(x,y,z)在點P(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)，F(xiàn)(x0,y0,z0)=0, Fz(x0,y0,z0)¹0 , 則方程F(x,y,z)=0在點(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)z=f(x,y)，滿足條件z0=f(x0,y0)，有, 。例8.由方程所確定的隱函數(shù)z=z(x,y)的偏導數(shù)，。§9.6

26、 多元函數(shù)微分學的幾何應用一、教學目的、要求：1、了解偏導數(shù)在幾何上的應用；2、掌握曲線的切線方程和曲面的切平面方程的求法。二、教學的重點和難點：（一）教學的重點：線的切線方程和曲面的切平面方程的求法。（二）教學的難點：綜合應用所學的知識求曲線一般方程的切線方程。三、教學的內(nèi)容：（一）、空間曲線的切線與法平面1、設空間曲線G的參數(shù)方程為 x=j(t)，y=y(t)，z=w(t)這里假定j(t)，y(t)，w(t)都在a, b上可導。（1）曲線的切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量。向量 T=(j¢(t0)，y¢(t0)，w¢(t0)就是曲線G在點M0處的一個切向

27、量。（2）法平面：通過點M0而與切線垂直的平面稱為曲線G在點M0 處的法平面，其法平面方程為 j¢(t0)(x-x0)+y¢(t0)(y-y0)+w¢(t0)(z-z0)=0例1.求螺旋線在處的切線方程與法平面方程。2、設空間曲線的方程為，取x為參數(shù)，則上述方程可轉(zhuǎn)化為以x為參數(shù)的參數(shù)方程：。 若函數(shù)、在處可導，則曲線在點處的切線方程及法平面方程分別為： 和。（二）、曲面的切平面與法線設曲面S的方程為F(x，y，z)=0，M0(x0，y0，z0)是曲面S上的一點，并設函數(shù)F(x，y，z)的偏導數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零。在曲面S上，通過點M0任意引一條曲線G，假定曲

28、線G的參數(shù)方程式為x=j(t)，y=y(t)，z=w(t)。t=t0對應于點M0(x0，y0，z0)且j¢(t0)，y¢(t0)，w¢(t0)不全為零。曲線在點的切向量為T =(j¢(t0)，y¢(t0)，w¢(t0)?？紤]曲面方程F(x，y，z)=0兩端在t=t0的全導數(shù) Fx(x0，y0，z0)j¢(t0)+Fy(x0，y0，z0)y¢(t0)+Fz(x0，y0，z0)w¢(t0)=0引入向量n=(Fx(x0，y0，z0)，F(xiàn)y(x0，y0，z0)，F(xiàn)z(x0，y0，z0), 易見T與n是垂直的。因為

29、曲線G是曲面S上通過點M0的任意一條曲線，它們在點M0的切線都與同一向量n垂直。所以曲面上通過點M0的一切曲線在點M0的切線都在同一個平面上。這個平面稱為曲面S在點M0的切平面。這切平面的方程式是Fx(x0，y0，z0)(x-x0)+Fy(x0，y0，z0)(y-y0)+Fz(x0，y0，z0)(z-z0)=0。（1）曲面的法線：通過點M0(x0，y0，z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線。法線方程為 （2）曲面的法向量：垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量。向量 n=(Fx(x0，y0，z0)，F(xiàn)y(x0，y0，z0)，F(xiàn)z(x0，y0，z0)就是曲面S在點M0處的一個法向量。

30、例2.求旋轉(zhuǎn)拋物面在點處的切平面方程和法線方程。例3.求橢球面上平行于平面的切平面方程。§9.7方向?qū)?shù)與梯度一、教學目的、要求：1、理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計算方法；2、了解方向?qū)?shù)與梯度的關系。二、教學的重點和難點：（一）教學的重點：方向?qū)?shù)的計算方法。（二）教學的難點：方向?qū)?shù)的概念以及方向?qū)?shù)與梯度的關系。三、教學的內(nèi)容：（一）、方向?qū)?shù)1、方向?qū)?shù)的概念設l是xOy平面上以P0(x0, y0)為始點的一條射線，el=(cos a, cos b)是與l同方向的單位向量。射線l的參數(shù)方程為 x=x0+tcosa, y=y0+tcosb (t³0)定義：設函數(shù)z

31、=f(x，y)在點P0(x0, y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義，P(x0+t cos a, y0+t cos b)為l上另一點，且PÎU(P0). 如果函數(shù)增量f(x0+tcos a, y0+tcos b)-f(x0,y0)與P到P0的距離|PP0|=t的比值 當P沿著l趨于P0(即t®t0+)時的極限存在則稱此極限為函數(shù)f(x，y)在點P0沿方向l的方向?qū)?shù)。記作，即 。注：從方向?qū)?shù)的定義可知，方向?qū)?shù)就是函數(shù)f(x, y)在點P0(x0, y0)處沿方向l的變化率。2、方向?qū)?shù)的計算定理：如果函數(shù)z=f(x，y)在點P0(x0, y0)可微分，那么函數(shù)在該點沿任一

32、方向l 的方向?qū)?shù)都存在。且有 , 其中cosa，cosb是方向l 的方向余弦。注：（1）當射線的方向是, 即x軸的正向時，；當射線的方向是, 即x軸的負正向時，. 當射線的方向分別為軸的正向、負向時，有類似的結果。（2）易證函數(shù)在點存在偏導數(shù)的充要條件是函數(shù)在點沿軸正向、負向的方向?qū)?shù)都存在且相等。（3）類似地，若三元函數(shù)在點可微，則三元函數(shù)在點沿方向e =的方向?qū)?shù)是例1.求函數(shù)在點處沿從點到點的方向的方向?qū)?shù)。（二）、梯度1、梯度的概念定義：設函數(shù)z=f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則對于每一點P0(x0,y0)ÎD，都可確定一個向量 fx(x0,y0)i+fy(

33、x0,y0)j, 這向量稱為函數(shù)f(x,y)在點P0(x0,y0)的梯度。記作gradf(x0,y0)。即 grad f(x0,y0)= fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j2、梯度與方向?qū)?shù)如果函數(shù)f(x,y)在點P0(x0,y0)可微分，el=(cosa, cosb)是與方向l同方向的單位向量，則 , = gradf(x0, y0)×el =| gradf(x0,y0)|×cos(gradf(x0,y0) el)注：（1）這一關系式表明了函數(shù)在一點的梯度與函數(shù)在這點的方向?qū)?shù)間的關系。特別，當向量el與grad f(x0, y0)的夾角q=0，即沿梯度方向時，方向

34、導數(shù)取得最大值，這個最大值就是梯度的模|grad f(x0, y0)|。這就是說：函數(shù)在一點的梯度是個向量，它的方向是函數(shù)在這點的方向?qū)?shù)取得最大值的方向，它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值。（2）上述梯度和向量場的概念可以推廣的多元函數(shù)上去。例2.設f(x,y,z)=yz2+x3z。求（1）gradf(x,y,z)，（2）gradf (1,2,1)。例3.求grad(其中k為常數(shù))。§9.8 多元函數(shù)的極值及其求法一、教學目的、要求：1、理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值；2、會用拉格郎日乘數(shù)法求條件極值，

35、會求簡多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題；3、培養(yǎng)學生分析解決實際問題的能力。二、教學的重點和難點：（一）教學的重點：1、多元函數(shù)極值和條件極值的求法；2、多元函數(shù)的最值應用。（二）教學的難點：多元函數(shù)的最值問題。三、教學的內(nèi)容：（一）、無條件極值1、極值的概念定義：設函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某個鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)任何異于(x0,y0)的點(x,y)，都有 f(x,y)<f(x0,y0)(或f(x,y)>f(x0,y0)則稱函數(shù)在點(x0,y0)有極大值(或極小值)f(x0, y0)，點稱為函數(shù)的極大（小）值點。極大值點、極小值點統(tǒng)稱為

36、極值點；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。例如，函數(shù)在點有極小值；函數(shù)在點沒有極值；函數(shù)在點有極大值。注：以上關于二元函數(shù)的極值概念，可推廣到n元函數(shù)。設n元函數(shù)u=f(P)在點P0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)任何異于P0的點P，都有f(P)<f(P0)(或f(P)>f(P 0)則稱函數(shù)f(P)在點P0有極大值(或極小值)f(P0)。2、極值存在的充要條件定理1(必要條件) 設函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)具有偏導數(shù), 且在點(x0,y0)處有極值，則有fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0。 注：（1）從幾何上看，這時如果曲面z=f(x,y)在點(x0,y0,z0)處有切平面，則切平面z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)成為平行于xOy坐標面的平面z=z0。（2）類似地可推得，如果三元函數(shù)u=f (x,y,z)在點(x0,y0,z0)具有偏導數(shù)，則它在點(x0,y0,z0)具有極值的必要條件為fx(x0,y0,z0)=0，fy(x0,y0,z0)=0，fz(x0,