外接球內(nèi)切球?qū)ｎ}

1、高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問(wèn)題一、直接法1.若棱長(zhǎng)為3 的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為.2.一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為1,2,3 ，則此球的表面積為.3. 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一9個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為8 ，底面周長(zhǎng)為，則這個(gè)球的體積為.二、構(gòu)造法4.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為3 ，則其外接球的表面積是.5.一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為2 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A.3B.4C.3 3D.66.在等腰梯形ABCD 中， AB=2DC=2，DAB=60 0 ，

2、 E 為 AB 的中點(diǎn)，將ADE 與BEC 分布沿 ED 、 EC 向上折起，使A 、 B 重合于點(diǎn) P ，則三棱錐 P-DCE 的外接球的體積為（） .A.4366D.627B.C.28247.已知球 O 的面上四點(diǎn)、，DA平面 ABC ，ABBC ，DA=AB=BC= 3，ABC D則球 O 的體積等于.8.已知點(diǎn) A、B、C、D在同一個(gè)球面上， AB平面 BCD， BCDC ，若AB 6,AC=213,AD=8 ，則 B、 C 兩點(diǎn)間的球面距離是.再練習(xí)1. 一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1 的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（）A3 3B3C3D34

3、34122. 直三棱柱 ABC A1B1C1 的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若ABACAA12 ,BAC120 ，則此球的表面積等于。3正三棱柱ABCA1 B1C1 內(nèi)接于半徑為2 的球，若 A, B 兩點(diǎn)的球面距離為，則正三棱柱的體積為4. 表面積為 2 3 的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為A2B 1C 2D 2 233335. 已知正方體外接球的體積是32，那么正方體的棱長(zhǎng)等于（）3A.2223C.4243B.33D.36.（ 2006山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為()A.1 3B. 13C. 13 3D. 197.（2008寧夏卷）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，

4、其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為9 ，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為88. （ 2007 天津）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1， 2， 3，則此球的表面積為9.（ 2007 全國(guó)）一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2 cm 的球面上。如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1 cm，那么該棱柱的表面積為cm2 .10.（ 2006 遼寧）如圖，半徑為2 的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐PABCDEF ，則此正六棱錐的側(cè)面積是_PCDBAEF11. 棱長(zhǎng)為 2 的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形 (

5、正四面體的截面) 的面積是.12.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）A3B216CD以上都不對(duì)313.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2 3，則它的外接球的表面積為（）3A 8B 2C 4D43314（ 2012 新課標(biāo)）已知三棱錐SABC 的所有頂點(diǎn)都在球O 的求面上 ,ABC 是邊長(zhǎng)為 1的正三角形 , SC 為球 O 的直徑 ,且SC 2;則此棱錐的體積為（）A2B3C2D2632615（ 2012 遼寧文）已知點(diǎn) P,A,B,C,D是球 O表面上的點(diǎn) ,PA平面 ABCD,四邊形 ABCD是邊長(zhǎng)為 23 正方形 . 若 PA=26, 則 OAB的面積為 _.高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球

6、和外接球問(wèn)題答案：1. 解析：要求球的表面積， 只要知道球的半徑即可 .因?yàn)檎襟w內(nèi)接于球， 所以它的體對(duì)角線正好為球的直徑，因此，求球的半徑可轉(zhuǎn)化為先求正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，再計(jì)算半徑 .故表面積為 27 .2. 解析：關(guān)鍵是求出球的半徑，因?yàn)殚L(zhǎng)方體內(nèi)接于球，所以它的體對(duì)角線正好為球的直徑。長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)為14 ，故球的表面積為 14 .6x3,x1,963 x2 h,2x，高為 h ，則有3.解析 :設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為84h31d3r正六棱柱的底面圓的半徑2 ，球心到底面的距離2.外接球的半徑22V 球4Rrd3 .1.4. 解析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用

7、直角三角形計(jì)算球的半徑 .而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法，所以三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想到長(zhǎng)方體的一個(gè)角， 馬上構(gòu)造長(zhǎng)方體， 且側(cè)棱長(zhǎng)均相等， 所以可構(gòu)造正方體模型，如圖 1，則 AC=BC=CD3 ，那么三棱錐的外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線，故所求表面積是9.(如圖 1)ADBC圖 1EADBC圖 25. 解析：一般解法， 需設(shè)出球心， 作出高線， 構(gòu)造直角三角形， 再計(jì)算球的半徑 .在此，由于所有棱長(zhǎng)都相等，我們聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構(gòu)造一個(gè)正方體，再尋找棱長(zhǎng)相等的四面體，如圖 2，四面體 A BDE 滿足條件，即AB=AD=AE=BD=DEBE2 ，

8、由此可求得正方體的棱長(zhǎng)為1，體對(duì)角線為3 ，從而外接球的直徑也為3 ，所以此球的表面積便可求得，故選A. ( 如圖 2)6. 解析：（如圖 3） 因?yàn)?AE=EB=DC=1 ，DAB= CBE= DEA=60 0 ，所以AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1 ，即三棱錐P-DCE 為正四面體，至此，這與例 6就完全相同了，故選C.DCPAEBDCE圖 37. 解析：本題同樣用一般方法時(shí)，需要找出球心，求出球的半徑.而利用長(zhǎng)方體模型很快便可找到球的直徑，由于DA平面 ABC ， ABBC ，聯(lián)想長(zhǎng)方體中的相應(yīng)線段關(guān)系，構(gòu)造如圖4 所示的長(zhǎng)方體， 又因?yàn)?DA=AB=BC=3 ，則此長(zhǎng)方體為正方體，所以 CD長(zhǎng)即為外接球的直徑，利用直角三角形解出CD=3 .故球 O 的體積等于9.（如圖 4）2DOABC圖 48. 解析：首先可聯(lián)想到例8，構(gòu)造下面的長(zhǎng)方體，于是AD 為球的直徑， O 為球心，OB=OC=4 為半徑，要求 B、C 兩點(diǎn)間的球面距離， 只要求出BOC 即可，在 RtABC 中，求出 BC =4 ，所以BOC=60 0 ，故 B、 C 兩點(diǎn)間的球面距離是4.（如圖 5）3AOBCD圖 5再練習(xí)答案1. B2.解 : 在ABC 中AB AC2 ,BAC120,可得 BC2 3, 由正弦定理, 可得ABC 外接圓半徑r=2, 設(shè)此圓圓心為 O ，球心為 O ，