大學(xué)物理答案

1、第二章牛頓定律2 -1如圖所示質(zhì)量為m的物體用平行于斜面的細(xì)線聯(lián)結(jié)置于光滑的斜面上若斜面向左方作加速運動，當(dāng)物體剛脫離斜面時，它的加速度的大小為()(A) gsin 0(B) geos 0(C) gtan 0(D) gcot 0題I I的分析與解當(dāng)物體離開斜面瞬間，斜面對物體的支持力消失為零，物體在繩子拉力F t (其 方向仍可認(rèn)為平行于斜面)和重力作用下產(chǎn)生平行水平面向左的加速度a,如圖(b)所示，由其可解得合外力為mgeot 0,故選(D) 求解的關(guān)鍵是正確分析物體剛離開斜面瞬間的物體受力情況 和狀態(tài)特征.2 -2用水平力Fn把一個物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止.當(dāng)Fn逐漸增大時，物

2、體所受的靜摩擦力Ff的大小()(A) 不為零，但保持不變(B) 隨Fn成正比地增大(C) 開始隨Fn增大，達(dá)到某一最大值后，就保持不變(D) 無法確定分析與解與滑動摩擦力不同的是，靜摩擦力可在零與最大值mFn范圍內(nèi)取值.當(dāng)Fn增加時,靜摩擦力可取的最大值成正比增加，但具體大小則取決于被作用物體的運動狀態(tài).由題 意知，物體一直保持靜止?fàn)顟B(tài)，故靜摩擦力與重力大小相等，方向相反，并保持不變，故選(A).2 -3 一段路面水平的公路，轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為R，汽車輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為厲要使汽車不至于發(fā)生側(cè)向打滑，汽車在該處的行駛速率()(A) 不得小于(B)必須等于+匚gR(C)不得大于.用R(D)還應(yīng)

3、由汽車的質(zhì)量m決定分析與解由題意知，汽車應(yīng)在水平面內(nèi)作勻速率圓周運動，為保證汽車轉(zhuǎn)彎時不側(cè)向打滑，所需向心力只能由路面與輪胎間的靜摩擦力提供，能夠提供的最大向心力應(yīng)為疔N .由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)為v = Rg因此只要汽車轉(zhuǎn)彎時的實際速率不大于此值，均能保證不側(cè)向打滑.應(yīng)選(C).2 -4 一物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑，在下滑過程中，則()(A) 它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心，其速率保持不變(B) 它受到的軌道的作用力的大小不斷增加(C) 它受到的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心(D) 它受到的合外力大小不變，其速率不斷增加分析與解由圖可知，物體在下滑過程中受到大小和方向不變的重

4、力以及時刻指向圓軌道中心的軌道支持力 Fn作用，其合外力方向并非指向圓心，其大小和方向均與物體所在位置有關(guān).重力的切向分量(m geos 0)使物體的速率將會不斷增加(由機械能守恒亦可判斷)，則物體作圓周運動的向心力(又稱法向力)將不斷增大，由軌道法向方向上的動力學(xué)方程2Fn mgsin 0 m 可判斷，隨0角的不斷增大過程，軌道支持力Fn也將不斷增大，由此可R見應(yīng)選(B).2 -5 圖示系統(tǒng)置于以a = 1/4 g的加速度上升的升降機內(nèi)，A、B兩物體質(zhì)量相同均 為m，A所在的桌面是水平的，繩子和定滑輪質(zhì)量均不計，若忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦，并不計空氣阻力，則繩中張力為()(A) 58 mg

5、 (B) 12 mg (C) mg (D) 2mg分析與解本題可考慮對A、B兩物體加上慣性力后，以電梯這個非慣性參考系進(jìn)行求解.此時A、B兩物體受力情況如圖(b)所示，圖中a為A、B兩物體相對電梯的加速度，ma為 慣性力.對A、B兩物體應(yīng)用牛頓第二定律，可解得F t = 5/8 mg .故選(A).匚A|>5討論 對于習(xí)題2 -5這種類型的物理問題，往往從非慣性參考系(本題為電梯)觀察到的 運動圖像較為明確，但由于牛頓定律只適用于慣性參考系，故從非慣性參考系求解力學(xué)問題時 必須對物體加上一個虛擬的慣性力.如以地面為慣性參考系求解，則兩物體的加速度aA和aB均應(yīng)對地而言，本題中aA和aB的

6、大小與方向均不相同. 其中aA應(yīng)斜向上.對aA、aB、a和a'之間還要用到相對運動規(guī)律 ，求解過程較繁有興趣的讀者不妨自己嘗試一下.2 -6圖示一斜面，傾角為a,底邊AB長為I = 2.1 m,質(zhì)量為m的物體從題2 -6圖斜面頂 端由靜止開始向下滑動，斜面的摩擦因數(shù)為 尸0.14 試問,當(dāng)a為何值時，物體在斜面上下滑的 時間最短？其數(shù)值為多少？分析 動力學(xué)問題一般分為兩類：（1）已知物體受力求其運動情況；（2）已知物體的運動情況來分析其所受的力.當(dāng)然，在一個具體題目中，這兩類問題并無截然的界限，且都是以加速度作為中介，把動力學(xué)方程和運動學(xué)規(guī)律聯(lián)系起來本題關(guān)鍵在列出動力學(xué)和運動學(xué)方程 后

7、，解出傾角與時間的函數(shù)關(guān)系a= f（t），然后運用對t求極值的方法即可得出數(shù)值來.解取沿斜面為坐標(biāo)軸Ox，原點0位于斜面頂點，則由牛頓第二定律有mgsin a mg pcos a ma(1)又物體在斜面上作勻變速直線運動，故有ICOS a6t2-g sin a(JCOS a t22IgCOS a Sin a pCOS a此時21gCOS a Sin a QOS a0.99 S為使下滑的時間最短-J1，可令0,由式有d aSin a Sin a QOS a COS a COS a ©n a 0則可得1tan2 a,49O2 -7 工地上有一吊車 將甲、乙兩塊混凝土預(yù)制板吊起送至高空.甲

8、塊質(zhì)量為m1 = 2.00X102 kg，乙塊質(zhì)量為m2 = 1.00 W2 kg.設(shè)吊車、框架和鋼絲繩的質(zhì)量不計. 試求下述兩種情 況下，鋼絲繩所受的張力以及乙塊對甲塊的作用力： 兩物塊以10.0 m -s -2的加速度上升；兩物塊以1.0 m s -2的加速度上升從本題的結(jié)果你能體會到起吊重物時必須緩慢加速的道理嗎？O題2-7圖分析 預(yù)制板、吊車框架、鋼絲等可視為一組物體處理動力學(xué)問題通常采用隔離體”的方法，分析物體所受的各種作用力，在所選定的慣性系中列出它們各自的動力學(xué)方程根據(jù) 連接體中物體的多少可列出相應(yīng)數(shù)目的方程式.結(jié)合各物體之間的相互作用和聯(lián)系，可解決物體的運動或相互作用力.解 按

9、題意，可分別取吊車 洽甲、乙）和乙作為隔離體，畫示力圖，并取豎直向上為 Oy軸 正方向（如圖所示）當(dāng)框架以加速度a上升時，有F t -(m1 + m2 )g = (m1 + m2 )aFn2 - m2 g = m2 a(1)解上述方程，得F t = (m1 + m2 )(g + a)Fn2 =m2 (g + a)（1）當(dāng)整個裝置以加速度a = 10 ms -2上升時，由式（3）可得繩所受張力的值為Ft = 5.94 W3 N乙對甲的作用力為F N2 = -F N2 = -m2 （g + a） = -1.98 1W3 N（2）當(dāng)整個裝置以加速度a = 1 ms -2上升時，得繩張力的值為Ft =

10、 3.24 W3 N此時,乙對甲的作用力則為F' N2= -1.08 1W3 N由上述計算可見，在起吊相同重量的物體時，由于起吊加速度不同，繩中所受張力也不同， 加速度大，繩中張力也大因此，起吊重物時必須緩慢加速，以確保起吊過程的安全.2 -8 如圖（a）所示，已知兩物體A、B的質(zhì)量均為m = 3.0kg物體A以加速度a = 1.0 m- s -2運動,求物體B與桌面間的摩擦力.（滑輪與連接繩的質(zhì)量不計）分析該題為連接體問題，同樣可用隔離體法求解.分析時應(yīng)注意到繩中張力大小處處相等是有條件的，即必須在繩的質(zhì)量和伸長可忽略、滑輪與繩之間的摩擦不計的前提下成 立同時也要注意到張力方向是不同

11、的.解 分別對物體和滑輪作受力分析圖 （b） 由牛頓定律分別對物體A、B及滑輪列動力學(xué)方程，有Ft i -F f = mB aF T -2F t i = 0(2)(3)mg m 4m a27.2 NFf(a 1考慮到mA = mB = m，F(xiàn)t = F t ，F(xiàn)ti = F'Ti，a'= 2a，可聯(lián)立解得物體與桌面的摩擦力題2-8圖討論 動力學(xué)問題的一般解題步驟可分為：（1）分析題意，確定研究對象，分析受力，選定坐標(biāo)；（2）根據(jù)物理的定理和定律列出原始方程組；（3）解方程組，得出文字結(jié)果；（4）核對量綱，再代入數(shù)據(jù)，計算出結(jié)果來.2 -9 質(zhì)量為m的長平板A以速度v '

12、在光滑平面上作直線運動 ，現(xiàn)將質(zhì)量為m的木塊B 輕輕平穩(wěn)地放在長平板上，板與木塊之間的動摩擦因數(shù)為卩求木塊在長平板上滑行多遠(yuǎn)才能與板取得共同速度？分析當(dāng)木塊B平穩(wěn)地輕輕放至運動著的平板A上時，木塊的初速度可視為零，由于它與平板之間速度的差異而存在滑動摩擦力，該力將改變它們的運動狀態(tài)根據(jù)牛頓定律可得到它們各自相對地面的加速度.換以平板為參考系來分析，此時，木塊以初速度-v'與平板運動速率大小相等、方向相反）作勻減速運動，其加速度為相對加速度，按運動學(xué)公式即可解得.該題也可應(yīng)用第三章所講述的系統(tǒng)的動能定理來解將平板與木塊作為系統(tǒng)，該系統(tǒng)的動能由平板原有的動能變?yōu)槟緣K和平板一起運動的動能，而

13、它們的共同速度可根據(jù)動量定理求得又因為系統(tǒng)內(nèi)只有摩擦力作功，根據(jù)系統(tǒng)的動能定理，摩擦力的功應(yīng)等于系統(tǒng)動能的增量木塊相對平板移動的距離即可求出.解1以地面為參考系出動力學(xué)方程，在摩擦力F f =卩mg的作用下，根據(jù)牛頓定律分別對木塊、平板列F f = mg= maiF'f = -F f = m a2ai和a2分別是木塊和木板相對地面參考系的加速度.若以木板為參考系，木塊相對平板的加速度a = ai + a2，木塊相對平板以初速度-v '作勻減速運動直至最終停止. 由運動學(xué)規(guī)律 有-v 2 = 2as由上述各式可得木塊相對于平板所移動的距離為2 m v s2馮m m解2以木塊和平板

14、為系統(tǒng)，它們之間一對摩擦力作的總功為W = Ff (s + I) -F f i =卩 mgs式中I為平板相對地面移動的距離.由于系統(tǒng)在水平方向上不受外力，當(dāng)木塊放至平板上時，根據(jù)動量守恒定律，有m V '= (m '+ m) v"由系統(tǒng)的動能定理，有pmgs由上述各式可得2m vs2馮m m2 -10如圖(a)所示，在一只半徑為R的半球形碗內(nèi)，有一粒質(zhì)量為m的小鋼球，當(dāng)小球以 角速度3在水平面內(nèi)沿碗內(nèi)壁作勻速圓周運動時，它距碗底有多高？Or分析維持鋼球在水平面內(nèi)作勻角速度轉(zhuǎn)動時，必須使鋼球受到一與向心加速度相對應(yīng)的力（向心力）,而該力是由碗內(nèi)壁對球的支持力Fn的分力來

15、提供的，由于支持力Fn始終垂直于碗內(nèi)壁，所以支持力的大小和方向是隨3而變的取圖示Oxy坐標(biāo)，列出動力學(xué)方程，即可求解鋼球距碗底的高度.解取鋼球為隔離體，其受力分析如圖且有（b）所示.在圖示坐標(biāo)中列動力學(xué)方程2Fnsin 0 man mR3 sin 0(1)Fncos 0 mg“ R hcos 0由上述各式可解得鋼球距碗底的高度為h R-g23可見，h隨3的變化而變化.2 -11火車轉(zhuǎn)彎時需要較大的向心力，如果兩條鐵軌都在同一水平面內(nèi)（內(nèi)軌、外軌等高），這個向心力只能由外軌提供，也就是說外軌會受到車輪對它很大的向外側(cè)壓力，這是很危險的.因此，對應(yīng)于火車的速率及轉(zhuǎn)彎處的曲率半徑，必須使外軌適當(dāng)?shù)馗?/p>

16、出內(nèi)軌，稱為外軌超高現(xiàn)有一質(zhì)量為 m的火車，以速率v沿半徑為R的圓弧軌道轉(zhuǎn)彎，已知路面傾角為Q試求:（1）在此條件下，火車速率vo為多大時，才能使車輪對鐵軌內(nèi)外軌的側(cè)壓力均為零？（2）如果火車的速率v刊0，則車輪對鐵軌的側(cè)壓力為多少？分析 如題所述，外軌超高的目的欲使火車轉(zhuǎn)彎的所需向心力僅由軌道支持力的水平分量FNsinB提供(式中B角為路面傾角).從而不會對內(nèi)外軌產(chǎn)生擠壓.與其對應(yīng)的是火車轉(zhuǎn)彎時必須以規(guī)定的速率 vo行駛.當(dāng)火車行駛速率 v旳o時，則會產(chǎn)生兩種情況：如圖所示,如v >vo時，外軌將會對車輪產(chǎn)生斜向內(nèi)的側(cè)壓力Fi，以補償原向心力的不足,如vvvo時，則內(nèi)軌對車輪產(chǎn)生斜向外

17、的側(cè)壓力 F2，以抵消多余的向心力，無論哪種情況火車都將對外軌或內(nèi)軌產(chǎn) 生擠壓由此可知，鐵路部門為什么會在每個鐵軌的轉(zhuǎn)彎處規(guī)定時速，從而確保行車安全.解(1)以火車為研究對象，建立如圖所示坐標(biāo)系.據(jù)分析，由牛頓定律有2FNsin 0 m RFncos 0 mg 0 解(1)(2)兩式可得火車轉(zhuǎn)彎時規(guī)定速率為Vo gRtan 0(2)當(dāng)v > vo時，根據(jù)分析有FnSin 0 Ficos 0解(3)(4)兩式，可得外軌側(cè)壓力為當(dāng)VV vo時，根據(jù)分析有Fncos 0 F,sin 02vF1m cos 0 gsin 0mg(1)2FNsin 0 F2cos 0 m RFncos 0 F2si

18、n 0 mg 0 解(5)(6)兩式，可得內(nèi)軌側(cè)壓力為2F2m gsin 0 cos 02 -12 一雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車走壁設(shè)演員和摩托車的總質(zhì)量為m,圓筒半徑為R,演員騎摩托車在直壁上以速率 v作勻速圓周螺旋運動，每繞一周上升距離為 h,如 圖所示求壁對演員和摩托車的作用力.分析 雜技演員(連同摩托車)的運動可以看成一個水平面內(nèi)的勻速率圓周運動和一個豎直向上勻速直線運動的疊加其旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋線軌跡展開后，相當(dāng)于如圖(b)所示的斜面.把演員的運動速度分解為圖示的V1和V2兩個分量,顯然V1是豎直向上作勻速直線運動的分速度，而v2則是繞圓筒壁作水平圓周運動的分速度，其中向心力由

19、筒壁對演員的支持力Fn的水平分量FN2提供，而豎直分量FN1則與重力相平衡.如圖(c)所示，其中0角為摩托車與筒壁 所夾角運用牛頓定律即可求得筒壁支持力的大小和方向,據(jù)(b)(c)兩圖應(yīng)有解設(shè)雜技演員連同摩托車整體為研究對象mg 02F N2v m一RV2 vcosFnFn2iF(2以式(3)代入式(2),得F N2m 4 n2R2v2R 4n2R2 h24 <Rmv24<R2 h2將式和式(5)代入式,可求出圓筒壁對雜技演員的作用力(即支承力)大小為Fn. FN F(24 n2Rv224 <R2 h2與壁的夾角0為.FN 2arcta n -F N1arcta n4 <

20、;Rv24<R2 h2 g討論表演飛車走壁時，演員必須控制好運動速度，行車路線以及摩托車的方位，以確保 三者之間滿足解題用到的各個力學(xué)規(guī)律.2 -13 一質(zhì)點沿x軸運動，其受力如圖所示，設(shè)t = 0時，vo= 5m - s -1 ，xo= 2 m，質(zhì)點質(zhì)量m =1kg,試求該質(zhì)點7 s末的速度和位置坐標(biāo).分析首先應(yīng)由題圖求得兩個時間段的F(t)函數(shù)，進(jìn)而求得相應(yīng)的加速度函數(shù)，運用積分方法求解題目所問，積分時應(yīng)注意積分上下限的取值應(yīng)與兩時間段相應(yīng)的時刻相對應(yīng).解由題圖得F t "，35 5t,5st 5st 7s由牛頓定律可得兩時間段質(zhì)點的加速度分別為5sa 2t，a 35 5t

21、,5s t 7s對0 v t v5 s時間段，由 avdvVotadt0積分后得再由v dx得dtt2積分后得X 25t3將t = 5 s代入，得V5= 30 m對 5 sV t v 7 s-i再由xdxXotvdt0和 X5 = 68.7 m時間段，用同樣方法有v 35txdxx5vdvv02.5t2tvdt5 s82.5tx = 17.5t2 -0.83t3 -82.5t + 147.87將t = 7 s代入分別得v7= 40 m -1和 x7 = 142 m-1 求質(zhì)點在任意時刻的速度和位置.分析這是在變力作用下的動力學(xué)問題.由于力是時間的函數(shù)2 -14 一質(zhì)量為10 kg的質(zhì)點在力F的

22、作用下沿x軸作直線運動,已知F = 120t + 40, 式中F的單位為N,t的單位的s.在t = 0時，質(zhì)點位于x = 5.0 m處,其速度vo= 6.0 m- s，而加速度a= dv/dt,這時, 動力學(xué)方程就成為速度對時間的一階微分方程，解此微分方程可得質(zhì)點的速度 v；由速度的定義v = dx /d t,用積分的方法可求出質(zhì)點的位置.解因加速度a= dv/dt,在直線運動中，根據(jù)牛頓運動定律有120t 40m竺dt依據(jù)質(zhì)點運動的初始條件，即t0 = 0時V0 = 6.0 m s -1，運用分離變量法對上式積分，得vtdv 12.0t 4.0 dtv°0v = 6.0+4.0t+

23、6.0t2又因v= dx /dt,并由質(zhì)點運動的初始條件：t0 = 0時X0 = 5.0 m,對上式分離變量后積分， 有xdxx0七 6.0 4.0t 6.0t2 dt0x = 5.0 + 6.0t+2.0t2 +2.0t32 -15 輕型飛機連同駕駛員總質(zhì)量為 1.0 W3 kg 飛機以55.0 m s-1的速率在水平跑道 上著陸后，駕駛員開始制動，若阻力與時間成正比，比例系數(shù)a= 5.0 X102 N-s -1 ,空氣對飛機升 力不計，求：（1）10 s后飛機的速率；（2）飛機著陸后10s內(nèi)滑行的距離.分析飛機連同駕駛員在水平跑道上運動可視為質(zhì)點作直線運動.其水平方向所受制動力F為變力，且

24、是時間的函數(shù).在求速率和距離時，可根據(jù)動力學(xué)方程和運動學(xué)規(guī)律，采用分離變量法求解.解 以地面飛機滑行方向為坐標(biāo)正方向，由牛頓運動定律及初始條件，有F ma m業(yè)dtvdvvot a型dt0 m得v v0 t22m因此，飛機著陸10s后的速率為v = 30 m sx0dxV。2mdt故飛機著陸后10 s內(nèi)所滑行的距離a 3s x Xq vott 467 m6m2 -16 質(zhì)量為m的跳水運動員，從10.0 m高臺上由靜止跳下落入水中.高臺距水面距離為h.把跳水運動員視為質(zhì)點，并略去空氣阻力運動員入水后垂直下沉，水對其阻力為bv2 ,其中b為一常量.若以水面上一點為坐標(biāo)原點O,豎直向下為Oy軸，求：

25、（1）運動員在水中的速率v與y的函數(shù)關(guān)系；（2）如b /m = 0.40m -1 ,跳水運動員在水中下沉多少距離才能使其速 率v減少到落水速率V0的1 /10 ?（假定跳水運動員在水中的浮力與所受的重力大小恰好相等）分析 該題可以分為兩個過程，入水前是自由落體運動，入水后，物體受重力P、浮力F和 水的阻力F f的作用，其合力是一變力，因此,物體作變加速運動.雖然物體的受力分析比較簡單 但是，由于變力是速度的函數(shù)（在有些問題中變力是時間、位置的函數(shù)）,對這類問題列出動力學(xué)方程并不復(fù)雜，特別需要注意到積分變量的統(tǒng)一和初始條件的確定.解（1）運動員入水前可視為自由落體運動，故入水時的速度為V。 2g

26、h運動員入水后，由牛頓定律得P -F f -F = ma由題意 P = F、F f = bv2 ,而a = dv /dt = v （d v /dy）,代入上式后得-bv2= mv （d v /dy）考慮到初始條件y0 = 0時，v°, 2gh，對上式積分，有-dy bv dvv0 vby / mv°e,2ghe by/m 將已知條件b/m = 0.4 m -1 ,v = 0.1v0代入上式，則得m v ”y ln 5.76 mb V0m= 136 kg,長 I =*2 -17直升飛機的螺旋槳由兩個對稱的葉片組成.每一葉片的質(zhì)量3.66 m.求當(dāng)它的轉(zhuǎn)速n= 320 r/mi

27、n時，兩個葉片根部的張力.(設(shè)葉片是寬度一定、厚度均分析 螺旋槳旋轉(zhuǎn)時，葉片上各點的加速度不同，在其各部分兩側(cè)的張力也不同；由于葉 片的質(zhì)量是連續(xù)分布的，在求葉片根部的張力時，可選取葉片上一小段，分析其受力，列出動力 學(xué)方程，然后采用積分的方法求解.葉片轉(zhuǎn)動時，該小段葉片作圓周運動解 設(shè)葉片根部為原點 O,沿葉片背離原點 O的方向為正向，距原點O為r處的長為dr- 小段葉片，其兩側(cè)對它的拉力分別為Ft(r)與Ft(r + dr).由牛頓定律有dFpFtrFt r drm 2 , w rdrl由于r =l時外側(cè)Ft = 0,所以有Ft2-rdr l2m w 2l22lc22 nmn ,22l r

28、l上式中取r = 0,即得葉片根部的張力F t 0 = -2.79負(fù)號表示張力方向與坐標(biāo)方向相反.105 N2 -18 一質(zhì)量為m的小球最初位于如圖(a)所示的A點撚后沿半徑為r的光滑圓軌道 ADCB下滑.試求小球到達(dá)點 C時的角速度和對圓軌道的作用力.aoa分析 該題可由牛頓第二定律求解在取自然坐標(biāo)的情況下，沿圓弧方向的加速度就是切向加速度at,與其相對應(yīng)的外力Ft是重力的切向分量 mgsin a而與法向加速度an相對應(yīng)的外 力是支持力Fn和重力的法向分量 mgcosa.由此，可分別列出切向和法向的動力學(xué)方程Ft =mdv/dt和Fn = man .由于小球在滑動過程中加速度不是恒定的，因此

29、，需應(yīng)用積分求解，為使運算簡便，可轉(zhuǎn)換積分變量.倡該題也能應(yīng)用以小球、圓弧與地球為系統(tǒng)的機械能守恒定律求解小球的速度和角速度，方法比較簡便.但它不能直接給出小球與圓弧表面之間的作用力.解 小球在運動過程中受到重力 P和圓軌道對它的支持力 Fn .取圖(b)所示的自然坐標(biāo) 系，由牛頓定律得dvFtmgsin a m(1)2mvFnFn mgcos a m(2)由式(2)得2Fn mmmgcos a 3mgcos a由vds dtrd a，得dt dtrd a，代入式(1),并根據(jù)小球從點A運動到點C的始末條件，進(jìn)v行積分，有vavdvorgsin ad av090o得v2rgcosa則小球在點C

30、的角速度為w . 2gcos a/rr由此可得小球?qū)A軌道的作用力為Fn Fn 3mgcos a負(fù)號表示F N與en反向.2 -19光滑的水平桌面上放置一半徑為R的固定圓環(huán)，物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)作圓周運動其摩擦因數(shù)為 仏開始時物體的速率為 V0 ,求：（1） t時刻物體的速率；（2）當(dāng)物體速率從V0減少 到12 vo時,物體所經(jīng)歷的時間及經(jīng)過的路程.分析 運動學(xué)與動力學(xué)之間的聯(lián)系是以加速度為橋梁的，因而，可先分析動力學(xué)問題.物體在作圓周運動的過程中，促使其運動狀態(tài)發(fā)生變化的是圓環(huán)內(nèi)側(cè)對物體的支持力Fn和環(huán)與物體之間的摩擦力 F f ,而摩擦力大小與正壓力Fn成正比，且Fn與Fn又是作用力與反作用力

31、，這樣，就可通過它們把切向和法向兩個加速度聯(lián)系起來了，從而可用運動學(xué)的積分關(guān)系式求解速率和路程.解（1）設(shè)物體質(zhì)量為m，取圖中所示的自然坐標(biāo)，按牛頓定律，有Fnman2 mvRFfdvmatdt由分析中可知，摩擦力的大小F f=uF，由上述各式可得V2dv口Rdt取初始條件t = 0時v = V0 ,并對上式進(jìn)行積分，有tdt0R v dv2 口 Vo VRv0vR v0就 當(dāng)物體的速率從V0減少到1/2V0時，由上式可得所需的時間為物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程s 0vdtRvoR v0山dt£|n2(12 -20 質(zhì)量為45.0 kg的物體，由地面以初速60.0 m s -1豎直向

32、上發(fā)射，物體受到空氣的阻力為Fr = kv,且k = 0.03 N/( m s -1 ). (1)求物體發(fā)射到最大高度所需的時間.(2)最大高度為多少？分析物體在發(fā)射過程中，同時受到重力和空氣阻力的作用，其合力是速率v的一次函數(shù) 動力學(xué)方程是速率的一階微分方程，求解時,只需采用分離變量的數(shù)學(xué)方法即可.但是,在求解高度時，則必須將時間變量通過速度定義式轉(zhuǎn)換為位置變量后求解，并注意到物體上升至最大高度時，速率應(yīng)為零.解(1)物體在空中受重力mg和空氣阻力Fr=kv作用而減速.由牛頓定律得dvm一mg kvdt(1)tdt0mlnkkv。6.11smg利用穿vdv的關(guān)系代入式(1),可得分離變量后積

33、分mgkvdvmv一dy根據(jù)始末條件對上式積分，有dvv 討論如不考慮空氣阻力y°dy1 kvo mgVomvdvmg kvv0183 m,則物體向上作勻減速運動.由公式2v分別算2g得t6.12s和yH84 m,均比實際值略大一些.2 -21 一物體自地球表面以速率 V0豎直上拋.假定空氣對物體阻力的值為2F r = kmvv。 mg kv其中m為物體的質(zhì)量,k為常量.試求：（1）該物體能上升的高度；物體返回地面時速度的值.（設(shè)重力加速度為常量.）2 - 21 ：7|分析由于空氣對物體的阻力始終與物體運動的方向相反，因此，物體在上拋過程中所受重力P和阻力Fr的方向相同；而下落過程中

34、，所受重力P和阻力Fr的方向則相反又因阻 力是變力，在解動力學(xué)方程時，需用積分的方法.解 分別對物體上拋、下落時作受力分析，以地面為原點，豎直向上為y軸（如圖所示）.（1） 物體在上拋過程中，根據(jù)牛頓定律有mg kmv2dvm一dtvdvdy依據(jù)初始條件對上式積分，有dy0 vdvVo g kv2In U2k g kvo物體到達(dá)最高處時，v = 0,故有hymax（2）物體下落過程中，有2 vdv mg kmv m - dy對上式積分，有yody0 vdvvo g kv2v Vo 1kv21 /22 -22 質(zhì)量為m的摩托車，在恒定的牽引力F的作用下工作，它所受的阻力與其速率的平 方成正比，它

35、能達(dá)到的最大速率是 Vm 試計算從靜止加速到 Vm/2所需的時間以及所走過的路 程.分析 該題依然是運用動力學(xué)方程求解變力作用下的速度和位置的問題 兩題相似，只是在解題過程中必須設(shè)法求出阻力系數(shù) 方向相反；故當(dāng)阻力隨速度增加至與恒力大小相等時根據(jù)速度最大值可求出阻力系數(shù)來但在求摩托車所走路程時解 設(shè)摩托車沿x軸正方向運動，在牽引力F和阻力Fr,求解方法與前k.由于阻力Fr = kv2，且Fr又與恒力F的 ，加速度為零，此時速度達(dá)到最大.,需對變量作變換.因此當(dāng)加速度a = dv/dt = 0時，摩托車的速率最大由式（1）和式（2）可得根據(jù)始末條件對式（3）積分,有dt01m2vmF 0t mv

36、ml n32FF kv2同時作用下，由牛頓定律有dvmdt,因此可得k= F/Vm221爲(wèi)Vmdvmdt(1)又因式（3）中m®dtmvdv，再利用始末條件對式dxxdx01vm2021與 dv vm積分,有2 v 2 vmdv2mvm i 4 c v mvx 一 In 0.1442F 3*2 -23 飛機降落時=-k1 v2 ,升力F2= k2 v2 ,其中v為飛機的滑行速度，兩個系數(shù)之比k1/ k2稱為飛機的升阻比. 驗表明，物體在流體中運動時，所受阻力與速度的關(guān)系與多種因素有關(guān)，以vo的水平速度著落后自由滑行,滑行期間飛機受到的空氣阻力F1實，如速度大小、流體性質(zhì)、物體形狀等.

37、在速度較小或流體密度較小時有F * v,而在速度較大或流體密度較大的有F* v2，需要精確計算時則應(yīng)由實驗測定.本題中由于飛機速率較大，故取F* v2作為計算依據(jù).設(shè)飛機與跑道間的滑動摩擦因數(shù)為卩試求飛機從觸地到靜止所滑行的距離.以上計算實際上已成為飛機跑道長度設(shè)計的依據(jù)之一.分析 如圖所示，飛機觸地后滑行期間受到5個力作用，其中Fi為空氣阻力，F(xiàn)2為空氣升力，F(xiàn)3為跑道作用于飛機的摩擦力，很顯然飛機是在合外力為變力的情況下作減速運動，列出牛頓第二定律方程后，用運動學(xué)第二類問題的相關(guān)規(guī)律解題由于作用于飛機的合外力為速 度v的函數(shù)，所求的又是飛機滑行距離X，因此比較簡便方法是直接對牛頓第二定律方

38、程中的積dx分變量dt進(jìn)行代換，將dt用 巴 代替，得到一個有關(guān)v和x的微分方程，分離變量后再作積分.v解取飛機滑行方向為X的正方向，著陸點為坐標(biāo)原點，如圖所示，根據(jù)牛頓第二定律有FnFnk1v2k2v2dv m一dtmg 0(1)將式(2)代入式(1),并整理得. 2dvdvpmgk12 vm一mvdtdx分離變量并積分，有vmvdv2dxv0mgki2v0得飛機滑行距離xmIn(ingK % v22 k1比2考慮飛機著陸瞬間有 Fn= 0和v= vo應(yīng)有k2v02 = mg，將其代入 式，可得飛機滑行距離 x的另一表達(dá)式ki*2討論如飛機著陸速度vo= 144 km-h-1，尸0.1,升阻

39、比 '5,可算得飛機的滑行距離x=560 m，設(shè)計飛機跑道長度時應(yīng)參照上述計算結(jié)果.2 -24在卡車車廂底板上放一木箱，該木箱距車箱前沿?fù)醢宓木嚯xL = 2.0 m,已知剎車時卡車的加速度a = 7.0 m -s -2 ,設(shè)剎車一開始木箱就開始滑動.求該木箱撞上擋板時相對卡車的速率為多大？設(shè)木箱與底板間滑動摩擦因數(shù)尸0.50 分析 如同習(xí)題2 -5分析中指出的那樣，可對木箱加上慣性力Fo后，以車廂為參考系進(jìn)行求解，如圖所示，此時木箱在水平方向受到慣性力和摩擦力作用，圖中a為木箱相對車廂的加速度.解由牛頓第二定律和相關(guān)運動學(xué)規(guī)律有Fo -F f = ma -卩 m于 ma'(1)

40、v' 2 = 2a' L(2)聯(lián)立解(1)(2)兩式并代入題給數(shù)據(jù)，得木箱撞上車廂擋板時的速度為*2 -25 如圖(a)所示，電梯相對地面以加速度 a豎直向上運動.電梯中有一滑輪固定在電 梯頂部，滑輪兩側(cè)用輕繩懸掛著質(zhì)量分別為 mi和m2的物體A和B .設(shè)滑輪的質(zhì)量和滑輪與繩 索間的摩擦均略去不計已知 mi > m2，如以加速運動的電梯為參考系 ，求物體相對地面的加 速度和繩的張力.分析 如以加速運動的電梯為參考系須引入慣性力.在通常受力分析的基礎(chǔ)上，則為非慣性系.在非慣性系中應(yīng)用牛頓定律時必，加以慣性力后，即可列出牛頓運動方程來.解 取如圖(b)所示的坐標(biāo)，以電梯為參考系，分別對物體A、B作受力分析，其中Fi =mia，F(xiàn)2 = m2a分別為作用在物體 A、B上的慣性力.設(shè)ar為物體相對電梯的加速度根據(jù)牛頓定律有mg maFT1mA(i)m2gm2aFT2m2arFt2Ft2由上述各式可得mim2ar- g amim2Ft-Ft-皿 g am-m2由相對加速度的矢量關(guān)系，可得物體A、B對地面的加速度值為m- m2 g 2m2a a-am- m-r r r2mia mi