數(shù)學(xué)模型--spss解決食堂排隊(duì)問題

1、成 績(jī) 評(píng) 定 表學(xué)生姓名班級(jí)學(xué)號(hào)專 業(yè)課程設(shè)計(jì)題目評(píng)語組長(zhǎng)簽字：成績(jī)?nèi)掌?20 年 月 日課程設(shè)計(jì)任務(wù)書學(xué) 院專 業(yè)學(xué)生姓名班級(jí)學(xué)號(hào) 課程設(shè)計(jì)題目實(shí)踐教學(xué)要求與任務(wù):通過數(shù)學(xué)模型用數(shù)學(xué)解決一個(gè)實(shí)際問題并撰寫成一篇研究論文。1. 命題：1）自選：課題來自日常生活、社會(huì)實(shí)踐或其它學(xué)科。要求：選題新穎、實(shí)用 2）老師指定幾個(gè)參考題目，任選其一。仿做或自己創(chuàng)作：讀懂他人的建模論文，模仿完成。若仿作，在論文第一頁下方注明模仿的論文，例如 本文仿做自劉來福的論文 “數(shù)量性狀的遺傳距離及其測(cè)定”，遺傳學(xué)報(bào)，Vol 6，No3，1979要求：不許抄襲，在問題的提法或方法上有一定的改進(jìn)或創(chuàng)新。2. 建模：要求

2、思路清晰、處理恰當(dāng)、構(gòu)思新穎。3. 分析：數(shù)學(xué)應(yīng)用合理恰當(dāng)，應(yīng)用知識(shí)綜合，內(nèi)容豐富。4. 結(jié)論：要有一定的廣度、深度、實(shí)用程度。5. 表達(dá)：文字通順、語言流暢、論述簡(jiǎn)潔、推理嚴(yán)謹(jǐn)。工作計(jì)劃與進(jìn)度安排:第一天 查閱資相關(guān)料； 第二、三天 模型建立； 第四天 論文編寫； 第五天 答辯指導(dǎo)教師： 201 年 月 日專業(yè)負(fù)責(zé)人：201 年 月 日學(xué)院教學(xué)副院長(zhǎng)：201 年 月 日食堂排隊(duì)問題摘要近年來，隨著大學(xué)不斷擴(kuò)招，大學(xué)在校學(xué)生人數(shù)不斷增加，學(xué)生食堂用餐排隊(duì)擁擠現(xiàn)象也日益嚴(yán)重。首先，從網(wǎng)上找到某一高校中午去食堂用餐人數(shù)的時(shí)刻表，利用SPSS中的中心移動(dòng)平均法，觀察到學(xué)生進(jìn)入食堂的人數(shù)近視服從正態(tài)分

3、布。在此基礎(chǔ)上研究了在權(quán)衡學(xué)校食堂和學(xué)生的利益這兩方面時(shí)，利用邊際分析法得到了合理的窗口數(shù)為9個(gè)。計(jì)算由窗口數(shù)變化而產(chǎn)生的平均等待時(shí)間，利用SPSS中的曲線估計(jì)，得到窗口數(shù)與平均等待時(shí)間滿足S型曲線估計(jì)，對(duì)其做靈敏度分析發(fā)現(xiàn)靈敏度很高，并且窗口數(shù)由8個(gè)增加到9個(gè)時(shí)平均等待時(shí)間變化很大，而繼續(xù)增加時(shí)，變化趨于平緩。所以認(rèn)為食堂設(shè)置9個(gè)窗口是合理的。在進(jìn)一步的探討中，由于每個(gè)窗口飯菜好吃與否不同，學(xué)生對(duì)其具有選擇性，在假設(shè)上面9個(gè)窗口吸引學(xué)生的比例后，求其平均等待時(shí)間為40.35秒，是沒有考慮這個(gè)因素的8倍左右，所以這是造成學(xué)生平均等待時(shí)間增加并且浪費(fèi)窗口資源的一個(gè)重要因素。關(guān)鍵詞：食堂排隊(duì)，中心

4、移動(dòng)平均，曲線估計(jì)，平均等待時(shí)間目錄1.引言：12.模型：12.1問題的簡(jiǎn)化及分析12.2模型假設(shè)12.3符號(hào)說明22.4模型建立23.分析：94.結(jié)論：95.進(jìn)一步的探討：96.模型的評(píng)價(jià)126.1模型的優(yōu)點(diǎn)126.2模型的缺點(diǎn)127.結(jié)束語：13參考文獻(xiàn)141.引言：在學(xué)?；蛘叽笮推髽I(yè)里，經(jīng)?？梢钥吹皆谖绮蜁r(shí)間大量的人涌入食堂。由于午餐時(shí)間相對(duì)固定，導(dǎo)致在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)食堂的人數(shù)激增。原本沒有多少人的食堂頓時(shí)充滿了人，大家都在排隊(duì)買飯。買到的人就開開心心的去吃了，買不到的還在那里排隊(duì)等著買飯，不時(shí)的傳來幾句怨言。這是一個(gè)普遍的問題，有很多人對(duì)其進(jìn)行研究，希望找到更好的辦法來解決這個(gè)問題。食堂

5、排隊(duì)問題的解決可以減少人們的排隊(duì)時(shí)間，所以對(duì)此研究具有一定的意義。在一些初中和高中，有過一些解決這個(gè)問題的一些方法，比如像分年級(jí)、班級(jí)去吃飯，錯(cuò)開人們的吃飯時(shí)間，從而解決這個(gè)問題。但由于大學(xué)里，學(xué)院很多，而且每個(gè)學(xué)生還有自己的選修課，上課地點(diǎn)又不是固定的，所以實(shí)行錯(cuò)開學(xué)生吃飯的方法在這里就不在適用了。對(duì)此我們提出解決食堂排隊(duì)問題的其它方法，對(duì)其進(jìn)行研究。2.模型：2.1問題的簡(jiǎn)化及分析食堂排隊(duì)問題實(shí)際上就是排隊(duì)論問題，對(duì)學(xué)生而言食堂增加賣飯的窗口，學(xué)生的等待時(shí)間就會(huì)減少，而食堂的成本就會(huì)相應(yīng)的增加。而減少食堂窗口的數(shù)量，食堂的利益會(huì)增加，但學(xué)生的等待時(shí)間就會(huì)相應(yīng)的增加。所以我們要權(quán)衡這兩個(gè)方面

6、，對(duì)其進(jìn)行研究。利用邊際分析法，求得其合理的窗口數(shù)。后又考慮到學(xué)生對(duì)每個(gè)窗口的飯菜喜愛程度不同這個(gè)因素，對(duì)前面得到的窗口數(shù)進(jìn)行研究，求得其平均等待時(shí)間，和之前的平均等待時(shí)間進(jìn)行比較，得到增加這個(gè)因素對(duì)平均等待時(shí)間的影響。2.2模型假設(shè) 1.由于學(xué)校學(xué)生多，而食堂少，在中午時(shí)段，學(xué)生又大都集中在11：30至13：30這一時(shí)間段趕去食堂吃飯，故可認(rèn)為在該時(shí)間段中學(xué)生源是無限的，且學(xué)生單獨(dú)到來且相互獨(dú)立。 2.學(xué)生對(duì)菜色沒有特別偏好，每個(gè)窗口對(duì)學(xué)生來說都是一樣的。 3.食堂實(shí)行先來先服務(wù)原則，且學(xué)生可自由在隊(duì)列間進(jìn)行轉(zhuǎn)移，并總向較短的隊(duì)進(jìn)行轉(zhuǎn)移，沒有學(xué)生會(huì)因?yàn)殛?duì)列過長(zhǎng)而離去，故可認(rèn)為排隊(duì)方式是單一隊(duì)

7、列等待制。 4.由于每個(gè)窗口服務(wù)員的工作效率是隨機(jī)的，很難對(duì)其進(jìn)行精確的分析。所以由一般統(tǒng)計(jì)規(guī)律，認(rèn)為其滿足指數(shù)分布，平均每個(gè)學(xué)生的服務(wù)時(shí)間是15秒，且服務(wù)員之間無差異。 2.3符號(hào)說明 賣飯窗口數(shù) 窗口服務(wù)強(qiáng)度 每十分鐘進(jìn)入食堂的人數(shù) 每個(gè)窗口每十分鐘服務(wù)的人數(shù) 一次移動(dòng)平均數(shù) 二次移動(dòng)平均數(shù) 平均等待隊(duì)長(zhǎng) 平均等待時(shí)間 每個(gè)窗口的單位時(shí)間成本 每個(gè)學(xué)生在食堂中逗留損失費(fèi)用 到達(dá)每個(gè)窗口的人數(shù)比例2.4模型建立對(duì)學(xué)生在食堂進(jìn)餐的情形進(jìn)行研究，根據(jù)食堂進(jìn)餐排隊(duì)的特點(diǎn)，選擇排隊(duì)模型，進(jìn)行研究。學(xué)生進(jìn)餐可以分解成三個(gè)部分，第一部分：學(xué)生進(jìn)入食堂；第二部分：學(xué)生在窗口買飯；第三部分：吃飯或打包離開。

8、具體流程圖如圖一所示：進(jìn)餐離開排隊(duì)學(xué)生打包圖一：學(xué)生進(jìn)餐流程圖從網(wǎng)上得到查找得到某一高校的食堂進(jìn)餐人數(shù)隨時(shí)間變化如表一所示：表一：某一高校的食堂進(jìn)餐人數(shù)隨時(shí)間變化表時(shí)間10：4010：5011：0011：1011：2011：30人數(shù)1321355281103時(shí)間11：4011：5012：0012：1012：2012：30人數(shù)177245296279235137時(shí)間12：4012：5013：0013：1013：2013：30人數(shù)85616346199對(duì)上面的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，利用EXCEL畫出食堂進(jìn)餐的人數(shù)隨時(shí)間的變化圖，如圖二所示：圖二：食堂進(jìn)餐人數(shù)隨時(shí)間變化圖觀察上圖可以發(fā)現(xiàn)食堂進(jìn)餐人數(shù)在10：

9、40至13：30這個(gè)時(shí)間段內(nèi)有呈現(xiàn)正態(tài)分布的特點(diǎn)。為了使這個(gè)特點(diǎn)更加明顯，我們對(duì)人數(shù)做移動(dòng)中心平均處理。 設(shè)一次移動(dòng)平均數(shù)為，則二次移動(dòng)平均數(shù)的計(jì)算公式為： （1）對(duì)表一中進(jìn)餐人數(shù)分別做一次移動(dòng)平均和二次移動(dòng)平均，結(jié)果如圖三所示：圖三：進(jìn)餐人數(shù)一、二次移動(dòng)平均圖在利用EXCEL對(duì)第二次移動(dòng)平均數(shù)作圖，得到食堂人數(shù)隨時(shí)間變化的趨勢(shì)圖。如圖四所示：圖四：食堂人數(shù)隨時(shí)間變化趨勢(shì)圖觀察上圖，發(fā)現(xiàn)食堂人數(shù)隨時(shí)間的變化服從正態(tài)分布，其函數(shù)為： （2）利用邊際分析法建立模型，求窗口數(shù)。窗口服務(wù)強(qiáng)度： （3）由于不希望等待的學(xué)生人數(shù)越來越多，所以小于等于1。經(jīng)研究認(rèn)為15秒的平均服務(wù)時(shí)間對(duì)于服務(wù)員來說已經(jīng)是極

10、限了，如果再加快速度反而可能手忙腳亂，增大出錯(cuò)的可能性，到時(shí)反而會(huì)降低效率，故認(rèn)為平均服務(wù)時(shí)間不可改變，是個(gè)常數(shù)，所以為40。表示的是每十分鐘進(jìn)入食堂的學(xué)生數(shù)，它的取值與上面的食堂進(jìn)餐人數(shù)隨時(shí)間變化的關(guān)系有關(guān)。所以的值可以表示為： （4） 所以得到等于： （5）由狀態(tài)流圖可列出K氏代數(shù)方程并求出相應(yīng)的平穩(wěn)分布： （6）由正則性條件，當(dāng)<1時(shí)，有 （7）于是空閑概率： （8） 于是平均等待隊(duì)長(zhǎng)： （9）平均等待時(shí)間： （10） 為了權(quán)衡學(xué)生與食堂的利益這兩者的關(guān)系，建立如下目標(biāo)： （11）其中為每個(gè)窗口的單位時(shí)間成本，為每個(gè)學(xué)生在食堂中逗留損失費(fèi)用。約束方程為： （12）根據(jù)邊際分析法，最

11、佳的滿足條件： （13）將上面的約束方程代入到最佳滿足條件里得： （14）于是有， （15）整理得， （16）取,時(shí)，此時(shí)，采用邊際分析法，求得，如表二所示：表二：人數(shù)最多時(shí)邊際分析法求窗口數(shù) 812.108792.54571.6260,9.5630100.91970.5430,1.6260110.3767取,時(shí)，此時(shí)，采用邊際分析法，求得，如表三所示：表三：人數(shù)最少時(shí)邊際分析法求窗口數(shù)10.007120.00150.0010,0.005630.00050.0004,0.001040.0001由于進(jìn)入食堂的學(xué)生數(shù)服從正態(tài)分布，所以所需的窗口數(shù)也應(yīng)近似的服從正態(tài)分布。窗口在學(xué)生數(shù)最多時(shí)為9，在學(xué)

12、生數(shù)最少時(shí)為1個(gè)。根據(jù)邊際分析法可以求出每個(gè)時(shí)間點(diǎn)在時(shí)，需要的窗口數(shù)目，利用EXCEL作出窗口數(shù)隨時(shí)間的變化圖，如圖五所示：圖五：窗口數(shù)隨時(shí)間變化圖由于一定，所以影響平均排隊(duì)時(shí)間的只有窗口數(shù)，利用SPSS對(duì)平均排隊(duì)時(shí)間及窗口數(shù)進(jìn)行多種模型曲線估計(jì)，得到下圖：圖六：窗口數(shù)與平均等待時(shí)間的多模型曲線估計(jì)觀察上圖發(fā)現(xiàn)窗口數(shù)與平均等待時(shí)間的曲線估計(jì)最接近S模型，對(duì)其做S模型曲線估計(jì)得到下圖：圖七：窗口數(shù)與平均等待時(shí)間的S模型曲線估計(jì)觀察上圖發(fā)現(xiàn)當(dāng)窗口數(shù)從8個(gè)增加到9個(gè)時(shí)，平均等待時(shí)間迅速下降，后增加窗口數(shù)，平均等待時(shí)間趨于平緩。得到模型匯總和參數(shù)估計(jì)值表，見表四：表四：得到模型匯總和參數(shù)估計(jì)值表模型匯

13、總和參數(shù)估計(jì)值因變量:平均等待時(shí)間方程模型匯總參數(shù)估計(jì)值R 方Fdf1df2Sig.常數(shù)b1S.998960.63712.001-9.526101.265自變量為 窗口數(shù)。從上表中可以看出Sig值為0.001，說明S模型曲線估計(jì)效果很好，參數(shù)估計(jì)值中常數(shù)值為-9.526，b1值為101.265。所以模型曲線方程為下面再分析在學(xué)生數(shù)最多時(shí)平均排隊(duì)時(shí)間對(duì)窗口數(shù)的靈敏度： （17）由于窗口數(shù)為整數(shù)，所以求得如下數(shù)據(jù)，見表五：表五：平均排隊(duì)時(shí)間對(duì)窗口數(shù)的靈敏度分析89101124.215.081.830.74靈敏度33.8217.6515.97從上表可以看出，平均排隊(duì)時(shí)間對(duì)窗口數(shù)十分敏感，靈敏度均達(dá)到

14、了15以上，其中在窗口數(shù)從8變到9時(shí)，平均排隊(duì)時(shí)間由24.21秒變?yōu)榱?.08秒。3.分析：通過上面的靈敏度分析得到，當(dāng)食堂的窗口數(shù)超過9個(gè)時(shí)，即使增加再多的窗口數(shù)，其平均排隊(duì)時(shí)間變化的絕對(duì)值也只在5秒左右，而這么小的時(shí)間間隔對(duì)學(xué)生造成的影響是很小的。但是每增加一個(gè)窗口就會(huì)花費(fèi)很大的成本，他們自然也不可能增加。但小于9個(gè)窗口時(shí)，從表四中可以看出，平均排隊(duì)時(shí)間會(huì)大大增加，這將會(huì)引起學(xué)生的極大不滿，當(dāng)然也是不合理的。至此可看出，最佳的窗口設(shè)置是9個(gè)。 對(duì)于學(xué)生來說，當(dāng)然是窗口數(shù)越多越好。而對(duì)于食堂來說，窗口數(shù)的增加一方面會(huì)導(dǎo)致成本的增加，另一方面會(huì)縮短排隊(duì)時(shí)間，即意味著它能為更多學(xué)生服務(wù)，所以它是

15、否會(huì)增加窗口數(shù)就取決于成本和收益的大小關(guān)系。 4.結(jié)論：本文在把握學(xué)生進(jìn)餐人數(shù)隨時(shí)間變化規(guī)律的情況下，以動(dòng)態(tài)變化的人流量來研究窗口數(shù)的隨時(shí)間的變化情況，改進(jìn)了原來研究固定人流量的模型，使得研究的結(jié)果更加接近實(shí)際。在權(quán)衡減少學(xué)生平均等待時(shí)間和增加食堂利益這兩方面時(shí)，給出合理的食堂窗口數(shù)。5.進(jìn)一步的探討：由于食堂每個(gè)窗口的飯菜口味都不相同，學(xué)生去每個(gè)窗口買飯的人數(shù)也會(huì)出現(xiàn)很大的差別。基于這個(gè)條件，對(duì)其進(jìn)行研究。設(shè)每個(gè)窗口到達(dá)的人數(shù)比例分別為，由于每個(gè)窗口的工作人員能力相同。所以每個(gè)窗口的服務(wù)強(qiáng)度為， （18）此外，通過網(wǎng)絡(luò)的投票調(diào)查得到同學(xué)們?cè)诰筒团抨?duì)時(shí)，排隊(duì)人數(shù)在多少時(shí)會(huì)選擇離開隊(duì)伍，重新尋找

16、隊(duì)伍排隊(duì)甚至離開食堂，見下表：表六：排隊(duì)人數(shù)影響選擇排隊(duì)表隊(duì)伍人數(shù)5-67-89-1011-1213-1415及以上票數(shù)3930324從上表可以看出排隊(duì)人數(shù)在15人及以上的人數(shù)最多，說明學(xué)生可以等待的時(shí)間較長(zhǎng)，也就是說學(xué)生在選擇食堂飯菜的時(shí)候很有可能都愿意去同一家吃，導(dǎo)致這一家排隊(duì)人數(shù)很多。而相對(duì)的飯菜味道不好的，學(xué)生去的少，也就導(dǎo)致了窗口資源的浪費(fèi)。在上面求得在人數(shù)最多時(shí)的窗口數(shù)應(yīng)該為9個(gè)，現(xiàn)在假設(shè)依據(jù)飯菜的可口程度給這9個(gè)窗口附上去買飯的學(xué)生數(shù)比例，分別0.4，0.3，0.1，0.07，0.05，0.03，0.02，0.02，0.01。由此可得在學(xué)生人數(shù)最多的時(shí)候去9個(gè)窗口的人數(shù)分別118

17、，88，30，21，15，9，6，6，3，因?yàn)槊總€(gè)窗口每十分鐘服務(wù)的人數(shù)是40人，所以可以看出前兩個(gè)窗口將有大量的學(xué)生排隊(duì)，而后面的幾個(gè)窗口都有空閑時(shí)間。這就造成了學(xué)生平均等待時(shí)間的大量增加。由于只有前兩個(gè)窗口有等待的學(xué)生，所以研究平均等待時(shí)間只需要研究前兩個(gè)窗口即可。根據(jù)上面的比列可以得到在每個(gè)時(shí)間段前兩個(gè)窗口在學(xué)生用餐的人數(shù)，見表七所示：表七：前兩個(gè)窗口的學(xué)生人數(shù)時(shí)間10:4010:5011：0011:1011:2011:30窗口24611162431時(shí)間11:4011:5012:0012:1012:2012:30窗口171981181089455窗口253749

18、8847141時(shí)間12:4012:5013:0013:1013:2013:30窗口22618191463由于每個(gè)窗口每十分鐘可以為40人服務(wù)，所以當(dāng)人數(shù)超過40時(shí)就開始排隊(duì)，從上表可以看出窗口1從11:30就開始排隊(duì)，窗口2在11:40開始排隊(duì)。排隊(duì)人數(shù)會(huì)隨著時(shí)間逐漸積累，具體積累數(shù)據(jù)如表八所示：表八：兩個(gè)窗口排隊(duì)人數(shù)積累表時(shí)間11:3011:4011:5012:0012:1012:2012:3012:40窗口113258136204258273266窗口201347105149180181167時(shí)間12:5013:0013:1013:2013:3013:4013:5

19、014:00窗口1242227205173137975717窗口2145124986427000 根據(jù)上表畫出這兩個(gè)窗口的排隊(duì)人數(shù)隨時(shí)間變化圖，如圖八所示：圖八：兩個(gè)窗口排隊(duì)人數(shù)隨時(shí)間變化圖所以總等待人數(shù)為3683人次，每人等待時(shí)間為15秒，所以等待總時(shí)間為55245秒，平均等待時(shí)間至少為40.35秒。而上面計(jì)算得到的平均等待時(shí)間為5.08秒，所以學(xué)生對(duì)窗口飯菜的喜好對(duì)平均等待時(shí)間有很大的影響，并且這還會(huì)造成學(xué)校窗口資源的浪費(fèi)。所以為了使食堂窗口資源得到合理利用，并且減少學(xué)生的平均等待時(shí)間，食堂應(yīng)增加每個(gè)窗口的飯菜種類，提高飯菜的口感。這樣不僅可以解決因?qū)W生對(duì)窗口飯菜喜愛程度不同而導(dǎo)致的平均排隊(duì)時(shí)間增加，而且可以提高學(xué)生對(duì)食堂的滿意度。6.模型的評(píng)價(jià)6.1模型的優(yōu)點(diǎn) 1、 在問題的求解中，充分運(yùn)用了表格和圖，使結(jié)果明了清晰。 2、 本文采用了多種專業(yè)軟件對(duì)模型進(jìn)行求解，如EXCEL，SPSS等，提高了模型的精確度。 3、 本文所有模型建立均完全基于實(shí)際的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，擬合成近似曲線進(jìn)行處理，科學(xué)合理。 6.2模型的缺點(diǎn) 1、