2018年河南省鄭州市高考數(shù)學三模試卷(理科)

1、2018年河南省鄭州市高考數(shù)學三模試卷（理科）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5分）已知集合a=x|x22x30，b=x|y=ln（2x），則ab=（） a（1，3）b（1，3c1，2）d（1，2）2（5分）下列命題中，正確的是（） a b復數(shù)z1，z2，z3c，若，則z1=z3 c“a0，b0”是“”的充要條件 d命題“xr，x2x20”的否定是：“xr，x2x20”3（5分）我國古代有著輝煌的數(shù)學研究成果周髀算經、九章算術、海島算經、孫子算經、輯古算經等算經10部專著，有著十分豐富多彩的內容，是了解我國古代數(shù)學的

2、重要文獻這10部專著中有7部產生于魏晉南北朝時期某中學擬從這10部名著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內容，則所選2部名著中至少有一部是魏晉南北朝時期的名著的概率為（） abcd4（5分）若x（e1，1），a=lnx，c=elnx，則（） abcabcbacbacdabc5（5分）設，則的展開式中常數(shù)項是（） a160b160c20d206（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入p=0.8，則輸出的n=（） a3b4c5d67（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，記a為此幾何體所有棱的長度構成的集合，則（） a3ab5ac2ad4a8（5分）在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若=

3、，b=4，則abc的面積的最大值為（） a4b2c2d9（5分）已知數(shù)列an中，an0，a1=1，a100=a96，則a2018+a3=（） abcd10（5分）已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列結論中錯誤的是（） af（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù) bf（x）最大值是1 cf（x）的圖象關于點（，0）對稱 df（x）的圖象關于直線x=對稱11（5分）已知p為橢圓上一個動點，過點p作圓（x+1）2+y2=1的兩條切線，切點分別是a，b，則的取值范圍為（） abcd12（5分）已知函數(shù)，若正實數(shù)a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍為（） a（e，2e+

4、e2）b cd二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13（5分）設x、y滿足約束條件：，則z=x2y的最小值為 14（5分）已知向量與的夾角為30°，且，則= 15（5分）已知a、b、c、d四點在半徑為的球面上，且ac=bd=5，ad=bc=，ab=cd，則三棱錐dabc的體積是 16（5分）已知雙曲線c：=1（ba0）的右焦點為f，o為坐標原點，若存在直線l過點f交雙曲線c的右支于a，b兩點，使=0，則雙曲線離心率的取值范圍是 三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17（12分）已知等差數(shù)列an的公差d0，其前n項和為sn，

5、若a2+a8=22，且a4，a7，a12成等比數(shù)列（）求數(shù)列an的通項公式；（）若，證明：18（12分）隨著經濟模式的改變，微商和電商已成為當今城鄉(xiāng)一種新型的購銷平臺已知經銷某種商品的電商在任何一個銷售季度內，每售出1噸該商品可獲利潤0.5萬元，未售出的商品，每1噸虧損0.3萬元根據往年的銷售經驗，得到一個銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖如右圖所示已知電商為下一個銷售季度籌備了130噸該商品現(xiàn)以x（單位：噸，100x150）表示下一個銷售季度的市場需求量，t（單位：萬元）表示該電商下一個銷售季度內經銷該商品獲得的利潤（）視x分布在各區(qū)間內的頻率為相應的概率，求p（x120）（）將t表示為x

6、的函數(shù)，求出該函數(shù)表達式；（）在頻率分布直方圖的市場需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值（組中值）代表該組的各個值，并以市場需求量落入該區(qū)間的頻率作為市場需求量取該組中值的概率（例如x100，110），則取x=105，且x=105的概率等于市場需求量落入100，110）的頻率），求t的分布列及數(shù)學期望e（t）19（12分）如圖，在四棱錐pabcd中，pa底面abcd，abad，abdc，ad=dc=ap=2ab=2，點e為棱pc的中點，（）證明：bedc；（）若點f為棱pc上一點，且bfac，求二面角fabp的余弦值20（12分）分別過橢圓e：=1（ab0）左、右焦點f1、f2的動直線l1、l2相

7、交于p點，與橢圓e分別交于a、b與c、d不同四點，直線oa、ob、oc、od的斜率分別為k1、k2、k3、k4，且滿足k1+k2=k3+k4，已知當l1與x軸重合時，|ab|=2，|cd|=（1）求橢圓e的方程；（2）是否存在定點m，n，使得|pm|+|pn|為定值？若存在，求出m、n點坐標，若不存在，說明理由21（12分）已知f（x）=lnx，h（x）=f（x）g（x）（）若a=3，b=2，求h（x）的極值；（）若函數(shù)y=h（x）的兩個零點為x1，x2（x1x2），記，證明：h'（x0）0請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.選修4-4：坐標系與參數(shù)方

8、程22（10分）在平面直角坐標系xoy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0）以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系已知曲線c的極坐標方程為：cos2=4sin（）求直線l的普通方程與曲線c的直角坐標方程；（）設直線l與曲線c交于不同的兩點a、b，若|ab|=8，求的值選修4-5：不等式選講23已知a0，b0，函數(shù)f（x）=|x+a|+|2xb|的最小值為1（1）求證：2a+b=2；（2）若a+2btab恒成立，求實數(shù)t的最大值2018年河南省鄭州市高考數(shù)學三模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

9、目要求的.1【分析】化簡集合a、b，求出ab即可【解答】解：集合a=x|x22x30=x|1x3=1，3，b=x|y=ln（2x）=x|2x0=x|x2=（，2）；ab=1，2）故選：c【點評】本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎題目2【分析】利用三角函數(shù)的有界性判斷a的正誤；反例判斷b的正誤；充要條件判斷c的正誤；命題的否定判斷d的正誤；【解答】解：因為y=sinx+cosx=sin（x+），所以a不正確；復數(shù)z1，z2，z3c，若，則z1=z3，反例z1=0，z2=i，z3=2i，所以b不正確；當a，b同號時，“”恒成立，所以c不正確；命題“xr，x2x20”的否定是：“xr，x2x20

10、”，滿足命題的否定形式，所以d正確故選：d【點評】本題考查命題的真假的判斷，涉及充要條件，命題的否定，三角函數(shù)的最值，復數(shù)的胎死腹中的應用，是基本知識的考查3【分析】求出從10部名著中選擇2部名著的方法數(shù)、2部都不是魏晉南北朝時期的名著的方法數(shù)，由對立事件的概率計算公式，可得結論【解答】解：從10部名著中選擇2部名著的方法數(shù)為c102=45（種），2部都不是魏晉南北朝時期的名著的方法數(shù)為c32=3（種），由對立事件的概率計算公式得p=1=故選：a【點評】本題考查概率的計算，考查組合知識，屬于中檔題4【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調性判斷出a0；由于b，c的指數(shù)相同，所以研究一個冪函數(shù)的單調性；利用冪

11、函數(shù)的單調性判斷出b，c的大小，b，c都是冪得到b，c全正，比較出a，b，c的大小【解答】解：x（e1，1）a=lnxln1=0即a0考察冪函數(shù)f（t）=tlnxlnx0當t0時，f（t）是減函數(shù)0所以有bca故選：a【點評】本題考查利用對數(shù)函數(shù)的單調性比較大小、考查利用冪函數(shù)的單調性比較大小5【分析】先求出a值，再由二項式展開式的通項公式，令x的指數(shù)為0，求出常數(shù)項【解答】解：a=（cosx）|=cos（cos0）=2，（2）6的通項公式為c（2）6r（）r=c26r（1）rx3r，r=0，1，24，令3r=0，即r=3，則常數(shù)項為c23（1）3=160，故選：b【點評】本題考查二項式展開式

12、的通項公式，以及微積分基本定理，屬于基礎題6【分析】根據程序框圖，依次計算運行的結果，直到不滿足條件s0.8，即可得到n的值【解答】解：第一次運行n=1，s=0，滿足條件s0.8，s=0.5，n=2，第二次運行n=2，s=0.5，滿足條件s0.8，s=+=0.75，n=3，第三次運行n=3，s=0.75，滿足條件s0.8，s=0.75+=0.75+0.125=0.875，n=4，此時s=0.875不滿足條件s0.8輸出，n=4，故選：b【點評】本題考查了當型循環(huán)結構的程序框圖，根據語句判斷框圖的流程是解答此類問題的關鍵，屬于基礎題7【分析】由三視圖知該幾何體一個直三棱柱切去一個三棱錐所得的幾何

13、體，由三視圖求出幾何元素的長度，判斷出線面的位置關系，由勾股定理求出幾何體的棱長，即可得到答案【解答】解：根據三視圖可知幾何體是一個三棱柱截去一個三棱錐，四邊形abcd是一個邊長為4的正方形，且af面abcd，deaf，de=4，af=2，afab、dedc、debd，ec=4，ef=fb=2，be=4，a為此幾何體所有棱的長度構成的集合，a=2，4，4，4，2，故選：d【點評】本題考查三視圖求幾何體的棱長，以及線面垂直的定義和勾股定理的應用，由三視圖正確復原幾何體是解題的關鍵，考查空間想象能力8【分析】由已知式子和正弦定理可得b=，再由余弦定理可得ac16，由三角形的面積公式可得【解答】解：

14、在abc中=，（2ac）cosb=bcosc，（2sinasinc）cosb=sinbcosc，2sinacosb=sinccosb+sinbcosc=sin（b+c）=sina，約掉sina可得cosb=，即b=，由余弦定理可得16=a2+c22accosb=a2+c2ac2acac，ac16，當且僅當a=c時取等號，abc的面積s=acsinb=ac4故選：a【點評】本題考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面積公式，屬中檔題9【分析】根據關系式遞推計算，即可求解【解答】解：根據，那么：=an可得周期t=4a100=a96，即，解得：a100=a96=那么a2018=a100

15、=a96=由，那么：a3=a2018+a3=，故選：c【點評】本題主要考查數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項以及周期數(shù)列的計算10【分析】利用函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性的概念對a、b、c、d四個選項逐一分析即可【解答】解：a，f（x）=cosxsin2x，f（x）=cos（x）sin2（x）=cosxsin2x=f（x），f（x）是偶函數(shù)；又f（x+2）=cos（x+2）sin2（x+2）=cosxsin2x=f（x），f（x）是周期函數(shù)；f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，即a正確；b，|cosx|1，|sin2x|1，二者不能同時取到等號，無論

16、x取什么值，f（x）=cosxsin2x均取不到值1，故b錯誤；c，f（x）+f（x）=cosxsin2x+cos（x）sin2（x）=cosxsin2xcosxsin2x=0，f（x）的圖象關于點（，0）對稱，即c正確；d，f（2x）=cos（2x）sin2（2x）=cosxsin2x=f（x），f（x）的圖象關于直線x=對稱，即d正確綜上所述，結論中錯誤的是：b故選：b【點評】本題考查三角函數(shù)的性質，著重考查函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性及最值，考查分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題11【分析】由題意設pa與pb的夾角為2，通過解直角三角形求出pa，pb的長，利用向量的數(shù)量積公式表示出，利

17、用三角函數(shù)的二倍角公式化簡，換元后再利用基本不等式求出最值得答案【解答】解：橢圓的a=2，b=，c=1，圓（x+1）2+y2=1的圓心為（1，0），半徑為1，由題意設pa與pb的夾角為2，則|pa|=pb|=，=|cos2=cos2=cos2設cos2=t，則y=（1t）+323，p在橢圓的右頂點時，sin=，cos2=12×=，此時的最大值為×=，的取值范圍是：23，故選：c【點評】本題考查圓的切線的性質、三角函數(shù)的二倍角公式、向量的數(shù)量積公式、基本不等式求函數(shù)的最值，屬于中檔題12【分析】圖解法，畫出函數(shù)的圖象，根據圖象分析可得a+b+c的取值范圍【解答】解：如圖，畫出

18、函數(shù)的圖象，設abc，則|lna|=|lnb|，即有l(wèi)na+lnb=0，即有ab=1，當xe時，y=2lnx遞減，且與x軸交于（e2，0），ece2，可得a1，當a趨近于時，b，c趨近于e；當a趨近于1時，b趨近于1，c趨近于e2，可得a+b+c的取值范圍是（+2e，2+e2）故選：b【點評】此題是個中檔題考查利用函數(shù)圖象分析解決問題的能力，以及對數(shù)函數(shù)圖象的特點，體現(xiàn)數(shù)形結合的思想二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13【分析】先根據條件畫出可行域，設z=x+2y，再利用幾何意義求最值，將最小值轉化為y軸上的截距最大，只需求出直線z=x+2y，取得截距的最小值，從而得到z最

19、小值即可【解答】解：由約束條件得到如圖可行域，由目標函數(shù)z=x2y得到y(tǒng)=x，當直線經過b時，直線在y軸的截距最大，使得z最小，由得到b（1，2），所以z的最小值為12×2=3；故答案為：3【點評】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題；借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想、化歸思想線性規(guī)劃中的最優(yōu)解，通常是利用平移直線法確定14【分析】根據，對的兩邊平方即可得出關于的方程，解方程即可得出的值【解答】解：，；解得故答案為：【點評】考查向量夾角的概念，以及向量數(shù)量積的運算及計算公式15【分析】構造長方體，其面上的對角線構成三棱錐dabc，計算出長方體的長寬高，即可求得三棱

20、錐dabc的體積【解答】解：由題意，構造長方體，其面上的對角線構成三棱錐dabc，如圖所示，設長方體的長寬高分別為a，b，c，則，解得a=4，b=3，c=5三棱錐dabc的體積是v=4×3×54×=20故答案為：20【點評】本題考查三棱錐體積的計算，考查學生的計算能力，構造長方體是關鍵16【分析】設焦點為f（c，0），設直線ab：y=k（xc），a（x1，y1），b（x2，y2），聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去y，運用韋達定理和判別式大于0，由兩直線垂直的條件：斜率之積為1，可得k，即可得到離心率的范圍【解答】解：直線的斜率不存在時，a（c，），b（c，），由于o

21、aob，則有x1x2+y1y2=0，可得e=；焦點為f（c，0），直線ab：y=k（xc），設a（x1，y1），b（x2，y2），則聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程，可得（b2a2k2）x2+2ca2k2xa2k2c2a2b2=0，則=4c2a4k4+4（b2a2k2）（a2k2c2+a2b2）0，x1+x2=，x1x2=，則y1y2=k2（x1x2+c2c（x1+x2）=k2，由于oaob，則有x1x2+y1y2=0，即有a2b2+a2k2c2+k2（a2b2b2c2）=0，即有k2=，ba，e，故答案為e【點評】本題考查雙曲線的離心率的范圍，考查聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去未知數(shù)，運用韋達定理

22、和判別式大于0，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17【分析】（）利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項公式，求出數(shù)列的首項與公差，然后求數(shù)列an的通項公式；（）化簡數(shù)列的通項公式，利用裂項相消法求解數(shù)列的和即可推出結果【解答】解：（）因為an為等差數(shù)列，且a2+a8=22，由a4，a7，a12成等比數(shù)列，得，即（11+2d）2=（11d）（11+7d），d0，d=2，a1=114×2=3故an=2n+1（nn*）（）證明：，=故【點評】本題考查數(shù)列的綜合應用，等差數(shù)列以及等比數(shù)列的應用，數(shù)列求和，考查計算能力18

23、【分析】（）根據頻率分布直方圖及兩兩互斥事件概率的可加性得p（x120）=p（120x130）+p（130x140）+p（140x150）（）當x100，130）時，t=0.5x0.3（130x）=0.8x39；當x130，150時，t=0.5×130，即可得出（）由題意及（）可得：當x100，110）時，t=0.8×10539，p（t=45）=0.010×10；當x110，120）時，t=0.8×11539，p（t=53）=0.020×10；當x120，130）時，t=0.8×12539，p（t=61）=0.030×10；

24、當x130，150）時，t=65，p（t=65）=（0.025+0.015）×10即可得出t的分布列及其數(shù)學期望【解答】解：（）根據頻率分布直方圖及兩兩互斥事件概率的可加性得p（x120）=p（120x130）+p（130x140）+p（140x150）=0.030×10+0.025×10+0.015×10=0.7（）當x100，130）時，t=0.5x0.3（130x）=0.8x39；當x130，150時，t=0.5×130=65t=（）由題意及（）可得：當x100，110）時，t=0.8×10539=45，p（t=45）=0.01

25、0×10=0.1；當x110，120）時，t=0.8×11539=53，p（t=53）=0.020×10=0.2；當x120，130）時，t=0.8×12539=61，p（t=61）=0.030×10=0.3；當x130，150）時，t=65，p（t=65）=（0.025+0.015）×10=0.4所以t的分布列為t45536165p0.10.20.30.4（10分）所以，e（t）=45×0.1+53×0.2+61×0.3+65×0.4=59.4（萬元） （12分）【點評】本題考查了頻率分布直方

26、圖及兩兩互斥事件概率的可加性、隨機變量的分布列及其數(shù)學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題19【分析】（）以a為原點，ab為x軸，ad為y軸，ap為z軸，建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，利用，即可證明bedc（）設，（01），通過bfac，解得：，求出平面fab的法向量，平面abp的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可【解答】解：（）證明：pa底面abcd，abad以a為原點，ab為x軸，ad為y軸，ap為z軸，建立空間直角坐標系，由題意得：b（1，0，0），p（0，0，2），c（2，2，0），e（1，1，1），d（0，2，0），即bedc（），由點f在棱pc上，設，（

27、01），bfac，解得：，設平面fab的法向量為，則，不妨令z=1，可得為平面fab的一個法向量，取平面abp的一個法向量則，易知，二面角fabp是銳角，所以其余弦值為【點評】本題考查二面角的平面角的求法，真丑與平面垂直的判斷定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力20【分析】（1）由已知條件推導出|ab|=2a=2，|cd|=，由此能求出橢圓e的方程（2）焦點f1、f2坐標分別為（1，0），（1，0），當直線l1或l2斜率不存在時，p點坐標為（1，0）或（1，0），當直線l1，l2斜率存在時，設斜率分別為m1，m2，設a（x1，y1），b（x2，y2），由，得，由此利用韋達定理結合題設條件能

28、推導出存在點m，n其坐標分別為（0，1）、（0，1），使得|pm|+|pn|為定值2【解答】解：（1）當l1與x軸重合時，k1+k2=k3+k4=0，即k3=k4，l2垂直于x軸，得|ab|=2a=2，|cd|=，解得a=，b=，橢圓e的方程為（2）焦點f1、f2坐標分別為（1，0），（1，0），當直線l1或l2斜率不存在時，p點坐標為（1，0）或（1，0），當直線l1，l2斜率存在時，設斜率分別為m1，m2，設a（x1，y1），b（x2，y2），由，得，=，同理k3+k4=，k1+k2=k3+k4，即（m1m2+2）（m2m1）=0，由題意知m1m2，m1m2+2=0，設p（x，y），則，即，x±1，由當直線l1或l2斜率不存在時，p點坐標為（1，0）或（1，0）也滿足，點p（x，y）點在橢圓上，存在點m，n其坐標分別為（0，1）、（0，1），使得|pm|+|pn|為定值2【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查是否存在定點m，n，使得|pm|+|pn|為定值的判斷與證明，對數(shù)學思維的要求較高，有一定的探索性，解題時要注意函數(shù)與方程思想、等價轉化思想的合理運用21【分析】（）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，