第一次課 矩陣的初等變換

1、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 主講教師主講教師 理學院理學院 呂建聚呂建聚E-mail: Tel:線 性性 代代 數(shù)數(shù) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 線線 性性 代代 數(shù)數(shù) 教材教材線性代數(shù)線性代數(shù) 程林鳳等程林鳳等 高教出版社高教出版社 主要參考書主要參考書線性代數(shù)線性代數(shù)同濟同濟4 4版版線性代數(shù)學習指導線性代數(shù)學習指導中國礦業(yè)大學出版社中國礦業(yè)大學出版社最近十年的考題（第二周周三下午最近十年的考題（第二周周三下午 2:30500理理A327出售，每冊出售，每冊5元元 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2012-2013學年 第一學期線性代數(shù)答疑安排地點：教1-C3

2、00(答疑室) 時間：周三7-8節(jié)課 答疑安排答疑安排另外，希望參加B層次的同學抓緊報名 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一章第一章 線性方程組線性方程組1.1 1.1 線性方程組線性方程組 1.2 1.2 矩陣及其初等變換矩陣及其初等變換 1.3 1.3 線性方程組的矩陣解法線性方程組的矩陣解法 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.1 1.1 線性方程組線性方程組 一一 引例引例解解路口路口A：1450 x 2=610 x 路口路口B：路口路口C：路口路口D：2520 x 3=480 x 3390 x 4=600 x 4640 x 1=310 x 1223341416040210330 xxx

3、xxxxx 即即1 交通問題交通問題 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2 化學方程式化學方程式 解解適當?shù)剡x擇適當?shù)剡x擇 1234,xxxx，使化學反應的方程式，使化學反應的方程式 12223246126xCOx H Ox Ox C H O為平衡方程式為平衡方程式.令方程式兩邊的碳、氫和氧原子分別相等令方程式兩邊的碳、氫和氧原子分別相等, 得得141234246226212xxxxxxxx1412342460: 226060 xxxxxxxx即 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.1 解線性方程組解線性方程組 12312312322421442xxxxxxxxx12312xxx由由第第二二個個

4、方方程程解解出出 代代入入一一、三三方方程程 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.1 解線性方程組解線性方程組 12312312322421442xxxxxxxxx解解 (1)(2)12312312321224442xxxxxxxxx(2) 2 (1) 12321xxx23322xx123442xxx12312312322421442xxxxxxxxx(3) 4 (1) 1232321322xxxxx23342xx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3) (2) 1232321322xxxxx324x 123232321322342xxxxxxx 回代回代 342x231(22)3xx1231

5、2xxx 22 1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n元線性方程組的一般形式元線性方程組的一般形式: 11 11221121 1222221 122. . . . .nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb齊次線性方程組齊次線性方程組: 非齊次線性方程組非齊次線性方程組: 0(1,2,.,)ibim0ib不全為線性方程組的解集線性方程組的解集: 方程組解的全體方程組解的全體 二二. 基本概念基本概念 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 如何判別方程組無解？有唯一解？有無窮多解？如何判別方程組無解？有唯一解？有無窮多解？(2) 如何求方程組的通解？如何求方程組

6、的通解？(3) 根據(jù)方程組解的判別定理，進行理論證明。根據(jù)方程組解的判別定理，進行理論證明。要解決的問題：要解決的問題：11 11221121 1222221 122. . . . .nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb(3)去掉，這里并沒有涉及去掉，這里并沒有涉及 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三三 解法解法1 線性方程組的同解變換線性方程組的同解變換 （1）交換任意兩個方程的位置；）交換任意兩個方程的位置； （2）任一個方程的兩邊同乘一個非零的實數(shù)；）任一個方程的兩邊同乘一個非零的實數(shù)； （3）任一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上）任一個方程的倍數(shù)加到另

7、一個方程上 2 求解舉例求解舉例 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.2 解引例解引例1.1中的方程組中的方程組 1223341416040210330 xxxxxxxx 解解 1223341416040210-+-330 xxxxxxxx (4)+(1)+2 +4 （ ）（ ）1223341604021000 xxxxxx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 142434330170210 xxxxxx4()xk k設為任意實數(shù) ，則方程組的解為1234330170210 xkxkxkxk1223341604021000 xxxxxx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (12,12, )ijm na

8、 imjnmn由個數(shù)， ，；， ，排成的 行 列的數(shù)表由個數(shù)， ，；， ，排成的 行 列的數(shù)表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 A一一 定義定義,()()ijm nijm nmnAaAaA稱為 行 列矩陣簡記為或或。稱為 行 列矩陣簡記為或或。,( , )ijaAiji j稱為矩陣 的第行第列的元素 簡稱元素。稱為矩陣 的第行第列的元素 簡稱元素。1.2 1.2 矩陣及其初等變換矩陣及其初等變換 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 11的矩陣就是一個數(shù)。的矩陣就是一個數(shù)。 (2) 行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣的矩陣 A，稱為，稱為 n 階方陣或階方陣或

9、n 階階矩陣。矩陣。 (3) 只有一行的矩陣只有一行的矩陣 naaaA,21 稱為行矩陣或稱為行矩陣或 n 維行向量。維行向量。ai 稱為稱為A的第的第 i 個分量。個分量。稱為列矩陣或稱為列矩陣或 m 維列向量。維列向量。(4) 只有一列的矩陣只有一列的矩陣 maaaA21【注注】幾種特殊矩陣幾種特殊矩陣 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (5) 元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為O 。(6) 矩陣矩陣 111E(約定未寫出元素全為零約定未寫出元素全為零)稱為單位矩陣。稱為單位矩陣。(7) 矩陣矩陣 nD 21稱為對角矩陣。記作稱為對角矩陣。記作12(,.,)nDd

10、iag 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二二 兩個矩陣相等兩個矩陣相等設設 ，如果，如果(),()ijm nijm nAaBb(1,;1, )ijijab im jn則稱則稱 ，記作，記作 A = B。 0000 000000問問： 與與 相等嗎？相等嗎？ 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3) 把矩陣的某一行乘上一個數(shù)加到另一行上，把矩陣的某一行乘上一個數(shù)加到另一行上，矩陣的三種矩陣的三種(1) 交換矩陣的某兩行，記為交換矩陣的某兩行，記為jirr (2) 以不等于的數(shù)乘矩陣的某一行，記為以不等于的數(shù)乘矩陣的某一行，記為irk 記為記為jirkr 類似定義三種類似定義三種jiijikcckkcc

11、c )3()0()2()1(以上六種變換統(tǒng)稱為矩陣的以上六種變換統(tǒng)稱為矩陣的三三 矩陣的初等變換矩陣的初等變換 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 矩陣的初等行變換舉例。矩陣的初等行變換舉例。12rr 212411214142A112121244142 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 212rr 112103224142112103220342314rr 32rr 112103220024 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 【注注2】jirr jirr ikrirk1jikrr jikrr 初等列變換也有類似的結(jié)果初等列變換也有類似的結(jié)果逆變換逆變換逆變換逆變換逆變換逆變換 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

12、及及( (行最簡行最簡形就是所謂的最簡單的形就是所謂的最簡單的“代表代表”) ) 書書P9 P9 定義定義1.1.4 0000100021200211 00000000002100010230行階梯形矩陣行階梯形矩陣 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 行最簡階梯形矩陣行最簡階梯形矩陣 0000100001100201 00000000002100010210（1）臺階左下方元素全為零臺階左下方元素全為零；（2）每個臺階上只有一行每個臺階上只有一行；（3）每個臺階上第一個元素不為零每個臺階上第一個元素不為零。行階梯形矩陣行階梯形矩陣：行最簡階梯形行最簡階梯形 (1)(2)(3) + (4)臺階上的第

13、一個元素為臺階上的第一個元素為1,1,且其所在列其它元素全為零。且其所在列其它元素全為零。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 243022301211)1( 420022301211)2( 210020103011)3( 210020101001)4( 矩陣矩陣(2)稱為稱為， 矩陣矩陣(4)稱為稱為 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0000100021200211 00000000002100010230下面矩陣也是下面矩陣也是行階梯形矩陣行階梯形矩陣下面矩陣是下面矩陣是行最簡階梯形矩陣行最簡階梯形矩陣 0000100001100201 00000000002100010210 目錄 上頁 下頁

14、返回 結(jié)束 【定理定理1.1】 每個非零矩陣都可以經(jīng)過有限次初等行變換化為每個非零矩陣都可以經(jīng)過有限次初等行變換化為行階梯形矩陣行階梯形矩陣, 進而化為行最簡階梯形矩陣進而化為行最簡階梯形矩陣. 21112112144622436979A 9796321132211124121121rr 321r 3433063550022204121132rr 143rr 132rr 31000620000111041211221r243rr 235rr 例例1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0000031000011104121110104011030001300000B43rr 342rr 21rr 3

15、2rr 31000620000111041211【問題問題】如果可以利用初等列變換，矩陣如果可以利用初等列變換，矩陣B可以化簡成的最可以化簡成的最簡單形式是什么？簡單形式是什么？加注：階梯形加注：階梯形不唯一，最簡不唯一，最簡階梯形唯一階梯形唯一此問題可以考慮不要此問題可以考慮不要 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 接例接例1 97963422644121121112 00000310003011040101r43 cc 00000001000001000001 00000301003001040001 00000301003101041001214ccc 3215334cccc OOOEr形狀為形狀為 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 等價具有下列性質(zhì)：等價具有下列性質(zhì)：定義定義2 2、如果矩陣如果矩陣B B可以由矩陣可以由矩陣A A經(jīng)過一系列初等經(jīng)過一系列初等變換得到，則稱變換得到，則稱A A與與B B等價，記為等價，記為 。BA 如果矩陣如果矩陣B可以由矩陣可以由矩陣A經(jīng)過一系列行初等變換得到，經(jīng)過一系列行初等變換得到，則稱