線性代數(shù)知識點歸納整理

1、線性代數(shù)知識點歸納整理誠毅學(xué)生 編01、余子式與代數(shù)余子式 .- 2 -02、主對角線 .- 2 -03、轉(zhuǎn)置行列式 .- 2 -04、行列式的性質(zhì) .- 3 -05、計算行列式 .- 3 -06、矩陣中未寫出的元素 .- 4 -07、幾類特殊的方陣 .- 4 -08、矩陣的運算規(guī)則 .- 4 -09、矩陣多項式 .- 6 -10、對稱矩陣 .- 7 -11、矩陣的分塊 .- 7 -12、矩陣的初等變換 .- 7 -13、矩陣等價 .- 7 -14、初等矩陣 .- 7 -15、行階梯形矩陣 與 行最簡形矩陣 .- 8 -16、逆矩陣 .- 8 -17、充分性與必要性的證明題 .- 9 -18、

2、伴隨矩陣 .- 9 -19、矩陣的標準形： .-10-20、矩陣的秩： .-10-21、矩陣的秩的一些定理、推論 .-11-22、線性方程組概念 .-11-23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量） .-11-24、行向量、列向量、零向量、負向量的概念 .-13-25、線性方程組的向量形式 .-13-26、線性相關(guān) 與 線性無關(guān) 的概念 .-13-27、向量個數(shù)大于向量維數(shù)的向量組必然線性相關(guān).-13-28、線性相關(guān)、線性無關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系及其例題. - 13 -29、線性表示 與 線性組合 的概念 .-14-30、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩這

3、三者的關(guān)系其例題 .-14-31、線性相關(guān)（無關(guān)）與線性表示的3 個定理 .-14-32、最大線性無關(guān)組與向量組的秩 .-14-33、線性方程組解的結(jié)構(gòu) .-14-01 、余子式與代數(shù)余子式a11a12a13（1 ）設(shè)三階行列式 D a 21a22a 23，則a31a32a 33元素 a11， a12 ， a13的余子式分別為： M 11 a22a23， M 12 a21a23，M 13 a21a22a32a33a31a33a31a32對 M 11 的解釋：劃掉第1 行、第 1 列，剩下的就是一個二階行列式a22a23a32，這個a33行列式即元素 a11 的余子式 M 11 。其他元素的余子

4、式以此類推。元素 a11， a12 ， a13的代數(shù)余子式分別為： A11 (1)1 1 M 11，A12 (1) 1 2M 12，A13 (1)1 3M 13. 對 A ij 的解釋（ i 表示第 i 行， j 表示第 j 列）：A ij ( 1) ijM ij .（N 階行列式以此類推）（2 ）填空題求余子式和代數(shù)余子式時，最好寫原式。比如說，作業(yè)P1第1題：043+104M31，A31 (-1)0303（3 ）例題：課本 P8 、課本 P21-27、作業(yè) P1 第1 題、作業(yè) P1第 3題2 、主對角線一個 n 階方陣的主對角線，是所有第k 行第 k 列元素的全體， k =1, 2, 3

5、n ，即從左上到右下的一條斜線。與之相對應(yīng)的稱為副對角線或次對角線，即從右上到左下的一條斜線。3 、轉(zhuǎn)置行列式即元素 aij 與元素 aji 的位置對調(diào)（ i 表示第 i 行， j 表示第 j 列），比如說， a12 與 a21 的位置對調(diào)、 a35 與 a53 的位置對調(diào)。04 、行列式的性質(zhì)詳見課本 P5-8 （性質(zhì) 1.1.1 1.1.7）其中，性質(zhì) 1.1.7 可以歸納為這個：ai 1 Ak1 ai 2 Ak 2 ainAkn A ， i k，（i 表示第 i 行， k 表示第 k 列）0 ， i k熟練掌握行列式的性質(zhì)，可以迅速的簡化行列式，方便計算。例題：作業(yè) P1 第 2 題05

6、 、計算行列式（1 ）計算二階行列式 a11a12：a21a 22a11a12 a11a22 a12 a21 （即，左上角×右下角右上角×左下角）方法（首選）：a22a21a11a12a方法： a A a A a a a21a21a2211111212112212例題：課本 P14a11a12a13（2 ）計算三階行列式 a 21a22a23：a 31a32a33a11a12a13a21a22a23 a A a A a A a (1)1 1M 11 a(1)1 2M 12 a(1)1 3M 13111112121313111213a31a32a33N 階行列式的計算以此類推

7、。通常先利用行列式的性質(zhì)對行列式進行轉(zhuǎn)化，0 元素較多時方便計算 . （r 是 row ，即行。 c 是 column ，即列）例題：課本 P5 、課本 P9 、課本 P14 、作業(yè) P1 第 4 題、作業(yè) P2 第 3 小題（3 ） n 階上三角行列式（ 0 元素全在左下角）與n 階下三角行列式（ 0 元素全在右上角）：D a11a 22ann （主對角線上元素的乘積）例題：課本 P10 、作業(yè) P3 第 4 小題有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應(yīng)加到第一行”轉(zhuǎn)化成上三角行列式例題：課本 P11（4 ）范德蒙行列式： 詳見課本 P12-13（5 ）有的題可以通過“從第二行起，將各行

8、的元素對應(yīng)加到第一行”提取出“公因式” ，得到元素全為 1 的一行，方便化簡行列式。例題：作業(yè) P2 第 1 小題、作業(yè) P2 第 2 小題6 、矩陣中未寫出的元素課本 P48 下面有注明，矩陣中未寫出的元素都為07 、幾類特殊的方陣詳見課本 P30-32（1 ）上（下）三角矩陣：類似上（下）三角行列式（2 ）對角矩陣：除了主對角線上的元素外，其他元素都為0（3 ）數(shù)量矩陣：主對角線上的元素都相同（4 ）零矩陣：所有元素都為0 ，記作 O（5 ）單位矩陣：主對角線上的元素都為1 ，其他元素全為0，記作 E 或 E n （其行列式的值為1 ）8 、矩陣的運算規(guī)則（1 ）矩陣的加法（同型的矩陣才能

9、相加減，同型，即矩陣A 的行數(shù)與矩陣 B 的行數(shù)相同；矩陣 A 的列數(shù)與矩陣 B 的列數(shù)也相同）：課本 P32 “AB”、“AB”加法交換律： AB BA加法結(jié)合律： A（ B C）（ AB） C（2 ）矩陣的乘法（基本規(guī)則詳見課本P34 陰影）：數(shù)與矩陣的乘法：I. 課本 P33 “ kA ”II. kA k n A（因為 k A 只等于用數(shù) k 乘以矩陣 A 的一行或一列后得到的矩陣的行列式）同階矩陣相乘（高中理科數(shù)學(xué)選修矩陣基礎(chǔ)）：a11a12b11b12a11b11a12b21 a11b12a12b22a21×b21a21b11a22b21 a21b12a22b22a22b2

10、2描述：令左邊的矩陣為，令右邊的矩陣為，令計算得到的矩陣為AB ，則CDA 的值為：中第 1行的每個元素分別乘以中第1 列的每個元素，并將它們相加。即 A a11 × b11 a12 × b21B 的值為：中第 1 行的每個元素分別乘以中第2 列的每個元素，并將它們相加。即 B a11 × b12 a12 × b22C 的值為：中第 2 行的每個元素分別乘以中第1 列的每個元素，并將它們相加。即 C a21 × b11 a22 × b21D 的值為：中第2 行的每個元素分別乘以中第2 列的每個元素，并將它們相加。即 D a21 

11、15; b12 a22 × b22 .a11a12a13b11b12b13a11b11a12b21a13b31a11b12a12b22a13b32a21a22a23× b21b22b23 a21b11a22b21a23b31a21b12a22b22a23b32a31a32a33b31b32b33a31b11a32b21a33b31a31b12a32b22a33b32a11b13 a12b23 a21b13 a22b23 a31b13 a32b23a13b33 a23b33 a33b33ABC描述：令左邊的矩陣為，令右邊的矩陣為，令計算得到的矩陣為DEF，則GHIA 的值為：

12、中第 1 行的每個元素分別乘以中第1 列的每個元素，并將它們相加。即 A a11 × b11 a12 × b21 a13 × b31B、C、D、E、F、G、H、I 的值的求法與 A 類似。數(shù)乘結(jié)合律： k （lA ）（ kl ）A ，（ kA ） B A （kB ） k （ AB ）數(shù)乘分配律：（k l ） AkA lA ，k （AB ） kA kB乘法結(jié)合律：（AB ）CA（ BC ）乘法分配律： A（B C）AB AC ，（AB ）CACBC需注意的：I. 課本 P34 例題兩個不等于零的矩陣的乘積可以是零矩陣II. 課本 P34 例題數(shù)乘的消去律、交換律不成

13、立III. 一般來講，（AB ）k A k B k ，因為矩陣乘法不滿足交換律IV. 課本 P40 習(xí)題第 2 題：（AB ）2 不一定等于 A22AB B2 ，（AB ）2 不一定等于A22AB B2 ，（AB）（AB）不一定等于 A2B2 . 當(dāng) AB BA 時，以上三個等式均成立（3 ）矩陣的轉(zhuǎn)置運算規(guī)律： (AT )TA (A±B)TA T±B T (kA )T kA T (AB )TB T AT (ABC )TCT B T AT (ABCD )TD TCTB TAT（4 ）同階方陣相乘所得的方陣的行列式等于兩個方陣的行列式的乘積：（詳見課本 P46 ）ABA B（

14、5 ）例題：課本 P35 、課本 P36-37 、課本 P40 第 4 大題、課本 P40 第 5 大題、課本 P51第 1大題、課本 P51 第 4 大題、課本 P60 第 4 大題、作業(yè) P5 全部、作業(yè) P5 第 3 大題、作業(yè)P5第4大題9 、矩陣多項式詳見課本 P 3610 、對稱矩陣（1 ）對稱矩陣、實對稱矩陣、反對稱矩陣的概念（詳見課本 P37 ）（2 ）同階對稱（反對稱）矩陣的和、差仍是對稱（反對稱）矩陣數(shù) 與 對稱（反對稱）矩陣的乘積仍是對稱（反對稱）矩陣對稱（反對稱）矩陣的乘積不一定是對稱（反對稱）矩陣11 、矩陣的分塊線代老師說這部分的內(nèi)容做了解即可。詳見課本 P38-4

15、012 、矩陣的初等變換三種行變換與三種列變換：詳見課本 P 42例題：作業(yè) P6 全部13 、矩陣等價若矩陣 A 經(jīng)過若干次初等變換后變成矩陣B ，則稱矩陣 A 與矩陣 B 等價，記為 AB14 、初等矩陣（1 ）是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的矩陣。詳見課本 P48-49（2 ）設(shè) A 為 m × n 矩陣，則對 A 施行一次初等行變換相當(dāng)于在A 的左邊乘上一個相應(yīng)的m 階初等矩陣； A 施行一次初等列變換相當(dāng)于在A 的右邊乘上一個相應(yīng)的n 階初等矩陣 .詳見課本 P50-51（3 ）課本 P51 第 3 大題15 、行階梯形矩陣 與 行最簡形矩陣（1 ）對任意一個非零矩陣，

16、都可以通過若干次初等行變換（或?qū)Q列）化為行階梯型矩陣（2 ）行階梯形矩陣與行最簡形矩陣：若在矩陣中可畫出一條階梯線，線的下方全為0，每個臺階只有一行（臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)），階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元素，也就是非零行的第一個非零元素，則稱該矩陣為行階梯矩陣。在此基礎(chǔ)上，若非零行的第一個非零元素為都為1，且這些非零元素所在的列的其他元素都為0，則稱該矩陣為行最簡形矩陣。例題： 課本 P45 、作業(yè) P6 全部、課本 P51 第 2 大題16 、逆矩陣（1 ）設(shè) A 為 n 階方陣，如果存在 n 階方陣 B ，使得 AB BA E ，則稱方陣 A 是可逆的，并

17、稱 B 為 A 的逆矩陣 .（由逆矩陣的定義可知，非方陣的矩陣不存在逆矩陣）（2 ）如果方陣 A 可逆，則 A 的逆矩陣是唯一的，并將A 的逆矩陣記作 A 1， AA 1 EA1 A*（3 ） n 階方陣 A 可逆的充要條件為A 0，并且，當(dāng) A 可逆時，A（證明詳見課本 P54）例題：課本 P59 第1 大題（4 ）可逆矩陣也稱為非奇異方陣（否則稱為奇異方陣）（5 ）性質(zhì)：設(shè) A，B 都是 n 階的可逆方陣，常數(shù)k 0 ，那么 (A1)1 A AT 也可逆，并且 (AT )-1 (A-1 )T(kA)-1 1 A-1 kA 也可逆，并且k AB 也可逆，并且 (AB ) -1 B-1 A-1

18、 AB 不一定可逆，而且即使AB 可逆，一般 (AB )-1A-1 B -1A-1 1 AA-1EAA-1 E 1AA-11A例題：課本P58 例 2.3.7、作業(yè) P7第1 題（6 ）分塊對角矩陣的可逆性：課本 P57（7 ）由方陣等式求逆矩陣：課本 P58 例 2.3.6（8 ）單位矩陣、所有初等矩陣都是可逆的（初等矩陣是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的，即初等矩陣可以通過初等變換再變回單位矩陣，而單位矩陣的行列式=1 0 可逆，所以初等矩陣可逆）（9 ）初等矩陣的逆矩陣也是初等矩陣（10）任一可逆方陣都可以通過若干次初等行變換化成單位矩陣（11）方陣 A 可逆的充要條件是： A 可以表

19、示為若干個初等矩陣的乘積（證明：課本 P67 ）（12）利用初等行變換求逆矩陣： A | E初等行變換E |A-1（例題：課本 P68 、課本 P71 ）（13）形如 AX B 的矩陣方程，當(dāng)方陣A 可逆時，有 A-1 AX A-1 B，即 XA-1 B.此時有： A |B初等行變換E | X矩陣方程的 例題：課本 P35 、課本 P69 、課本 P41 第 6 大題、課本 P56 、課本 P58 、課本P59 第3大題、課本 P60 第 5 大題、課本 P60 第 7 大題、課本 P71 第 3 大題矩陣方程計算中易犯的錯誤：課本 P56 “注意不能寫成 ”17 、充分性與必要性的證明題（1

20、 ）必要性：由結(jié)論推出條件（2 ）充分性：由條件推出結(jié)論例題：課本 P41 第 8 大題、作業(yè) P5 第 5 大題18 、伴隨矩陣（1 ）定義： 課本 P52定義 2.3.2（2 ）設(shè) A 為 n 階方陣（ n 2），則 AA *A * A A En （證明詳見課本 P53-54 ）（3 ）性質(zhì)：（注意伴隨矩陣是方陣） A* A A1 (kA )* kA · (kA )-1 k n A ·1 A -1 k n1· A A-1 k n-1 A *（ k 0 ）kk |A*| | AA1| A n ·| A1 |A n · 1 （因為存在 A1 ，

21、所以 A 0 ） A n-1A (A*)* ( A A1)* |A A 1 | ·( A A 1 )1 A n | A 1| · 1 (A1 ) 1A A n 1·1 A A n-2 A （因為 AA 1 E ，所以 A 1 的逆矩陣是 A ，即(A1 )1）A A (AB )*B *A*(A*)-1(A-1) * AA（4 ）例題： 課本 P53 、課本 P55、課本 P58 、課本 P60 第 6 大題、作業(yè) P7 第 2 題、作業(yè) P8 全部19 、矩陣的標準形：（1 ）定義： 課本 P61-62（2 ）任何一個非零矩陣都可以通過若干次初等變換化成標準形20

22、 、矩陣的秩：（1 ）定義： 課本 P63（2 ）性質(zhì)：設(shè) A 是 m ×n 的矩陣， B 是 p ×q 的矩陣，則 若 k 是非零數(shù)，則 R (kA )R (A) R (A)R (AT ) 等價矩陣有相同的秩，即若AB ，則 R (A)R (B) 0 R (Am× n )min m , n R (AB )min R ( A) , R(B) 設(shè) A 與 B 都是 m ×n 矩陣，則 R (AB) R (A)R (B )（3 ） n 階方陣 A 可逆的充要條件是： A 的秩等于其階數(shù)，即R (A) n（4 ）方陣 A 可逆的充要條件是： A 可以表示為若干

23、個初等矩陣的乘積。 （證明： P67 ）（5 ） 設(shè) A 是 m ×n 矩陣， P、 Q 分別是 m 階與 n 階可逆方陣，則R (A)R (PA) R (AQ)R (PAQ)（6 ）例題：課本 P64 、課本 P66 、課本 P71 、作業(yè) P7 第 3 題、作業(yè) P9 全部21 、矩陣的秩的一些定理、推論線代老師說這部分的內(nèi)容做了解即可。詳見課本 P7022 、線性方程組概念線性方程組是各個方程關(guān)于未知量均為一次的方程組。線性方程組經(jīng)過初等變換后不改變方程組的解。23 、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量）（1 ）定義： 課本 P81（2 ）方程組的解集、方程組的通解、同

24、解方程組：課本 P81（3 ）系數(shù)矩陣 A、增廣矩陣 A 、矩陣式方程： 課本 P82 （4 ）矛盾方程組（方程組無解） ：課本 P85 例題（5 ）增廣矩陣的最簡階梯形： 課本 P87（6 ）系數(shù)矩陣的最簡階梯形：課本 P87（7 ）課本 P87 下面有注明：交換列只是交換兩個未知量的位置，不改變方程組的解。為了方便敘述，在解方程組時不用交換列。（8 ）克萊姆法則：初步認知：a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1a11a12a13已知三元線性方程組a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 ，其系數(shù)行列式D a21a22a23.a31 x1 a 32 x2 a33 x3 b3a3

25、1a32a33當(dāng) D 0 時，其解為： x 1D 1D 2， x3 D 3， x 2D.DDb1a12a13a11b1a13a11a12b1（其中 D 1 b2a22a 23，D 2 a21b2a23，D 3 a21a 22b2）（ D n 以此類推）b3a32a33a31b3a33a31a32b3定義： 課本 P15使用的兩個前提條件：課本 P18例題： 課本 P3 、課本 P16-17 、課本 P18 、作業(yè) P3 第 7 題（ 9 ）解非齊次線性方程組（方程組施行初等變換實際上就是對增廣矩陣施行初等行變換）例題：課本 P26 、課本 P42 、課本 P82 、課本 P84 、課本 P85

26、 、課本 P86 第 1 大題、課本 P88 、課本 P91 、作業(yè) P10 第 1 題（ 10 ）解齊次線性方程組例題： 課本 P17 、課本 P18 、課本 P85 、課本 P86 、課本 P90 、課本P91 、作業(yè) P1 第 5 題、作業(yè) P10 第 2 題（11 ）n元非齊次線性方程組AX b的解的情況：（R (A)不可能R (A)）R (A)R ( A)無解n有無窮多個解R (A)R ( A)有解特別地，當(dāng)A 是A 0 n有唯一解有唯一解n 階方陣時，可R (A)R ( A)無解由行列式來判斷R (A)R ( A)有解當(dāng)A0有無窮多個解例題：課本 P86 第 2 大題、課本 P88

27、 、課本 P92 、作業(yè) P11 第三題（12 ）n 元齊次線性方程組AX O 的解的情況：（只有零解和非零解兩種情況，有唯一解的充要條件是只有零解，有無窮多個解的充要條件是有非零解）R (A) n只有零解（有唯一解，為0 ）R (A) n有非零解（有無窮多個解）特別地，當(dāng) A 是 n 階方陣A 0只有零解（有唯一解，為0）時，可由行列式來判斷A 0有非零解（有無窮多個解）例題：課本 P24 、課本 P90-91 、作業(yè) P11 全部24 、行向量、列向量、零向量、負向量的概念詳見課本 P92-93將列向量組的分量排成矩陣計算時，計算過程中只做行變換，不做列變換。初等行變換與初等行列變換的使用

28、情況：矩陣、線性方程組、向量涉及行變換；列變換只在矩陣中用。（行列式的性質(zhì)包括行與列的變換）手寫零向量時不必加箭頭。25 、線性方程組的向量形式詳見課本 P9326 、線性相關(guān) 與 線性無關(guān) 的概念詳見課本 P93-94例題：課本 P101 第 6 大題 、作業(yè) P14 第五大題27 、向量個數(shù)大于向量維數(shù)的向量組必然線性相關(guān)線代老師課上提到的結(jié)論。28 、線性相關(guān)、線性無關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系及其例題詳見課本 P94定理 3.3.1 、定理 3.3.2例題：課本 P94-95例 3.3.2 、課本 P101 第 3 大題、課22 本 P101 第 5 大題、作業(yè) P12

29、第3小題、作業(yè) P12 第二大題、作業(yè)P13 第三大題、作業(yè)P13 第四大題29 、線性表示 與 線性組合 的概念詳見課本 P9530 、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系其例題詳見課本 P95-96定理 3.3.3例題：課本 P95-96例 3.3.431 、線性相關(guān)（無關(guān)）與線性表示的 3 個定理詳見課本 P96定理 3.3.4 、課本 P97 定理 3.3.5 、課本 P98 定理 3.3.632 、最大線性無關(guān)組與向量組的秩詳見課本 P98-100定義 3.3.5 、定義 3.3.6 、定 3.3.7單位列向量，即“只有一個元素為 1 ，且其余元素都為 0 ”的一列向

30、量 （求最大線性無關(guān)組 用）例題：課本 P100 例 3.3.5 、課本 P101 第 4 大題、作業(yè) P14 第六大題33 、線性方程組解的結(jié)構(gòu)看此內(nèi)容之前，最好先復(fù)習(xí)下“n 元非齊次線性方程組AX b 的解的情況”與“ n 元齊次線性方程組 AX O 的解的情況”。（1 ） n 元齊次線性方程組 AX O 解的結(jié)構(gòu) 定理 3.4.1 ：詳見課本 P101-102 定義 3.4.1 （并理解“基礎(chǔ)解系、通解、結(jié)構(gòu)式通解、向量式通解”）：詳見課本 P102 定理 3.4.2 ：詳見課本 P102 解題步驟（“注”為補充說明）（以課本 P104例 3.4.1為例）：10274（I）A 011310000000000注：往“行最簡形矩陣”方向轉(zhuǎn)化（因為在解方程組時不用列變換，所以一般沒法真正轉(zhuǎn)化成行最簡形矩陣，所以說“往 方向轉(zhuǎn)化”）。（II ）得到同解方程組x1 2x37x44x5x2 x3 3x4x5x1 2x37 x44x5 0注：由 x2 x33x4x5 0得到同解方程組274131（III ） 此方程組的一組解向量為：1 1，2 0，3 0010001注：在草稿紙上寫成以下形式，其中未寫出的系數(shù)有的是1 有的是 0 ，一看便知x1 2x37x44x5x2x33x4x5x3 x3x4x4x5x5（IV ）顯然 1，2，3 線性無關(guān)。注：根據(jù)課本 P93-94 定